数学实验报告样本.docx

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数学实验报告样本

数学实验报告

实验序号：

3

日期：

2013年12月

14日

班级

应数一班

姓名陈菲

学号

1101114209

实验

求代数方程的近似根

名称

问题背景描述：

求代数方程f（x）0的根是最常见的数学问题之一，当f（x）是一次多项式时，称f（x）0

为线性方程，否则称之为非线性方程．

当f（x）0是非线性方程时，由于f（x）的多样性，尚无一般的解析解法可使用，但如果

对任意的精度要求，能求出方程的近似根，则可以认为求根的计算问题已经解决，至少能满足实际要求．

本实验介绍一些求方程实根的近似值的有效方法，要求在使用这些方法前先确定求根区间

[a,b]，或给出某根的近似值x0．

实验目的：

1.了解代数方程求根求解的四种方法：

对分法、迭代法、牛顿切线法

2.掌握对分法、迭代法、牛顿切线法求方程近似根的基本过程。

１

实验原理与数学模型：

1．对分法

对分法思想：

将区域不断对分，判断根在某个分段内，再对该段对分，依此类推，直到满足精度为止．对分法适用于求有根区间内的单实根或奇重实根．

设f（x）在[a,b]上连续，f（a）f（b）

0，即f（a）

0，f（b）

0

或f（a）

0，f（b）0．则根据

连续函数的介值定理，在（a,b）内至少存在一点

，使f（）

0

．

下面的方法可以求出该根：

x0

a

b

令

2，计算f（x0）；

若

f（x0）0

，则

x0

是

f（x）0

的根，停止计算，输出结果

xx0

．

若f（a）

f（x0）

0，则令a1

a，b1

x0，若f（a）f（x0）

0，则令a1

ak

bk

⋯⋯，有ak、bk以及相应的

xk

2．

f（xk）

xk

（3）若

（

为预先给定的精度要求），退出计算，输出结果

反之，返回

（1），重复

（1），

（2），（3）．

a1

b1

x0，b1

b

x1

2．

；

akbk

2；

以上方法可得到每次缩小一半的区间序列

{[ak,bk]}，在（ak,bk）中含有方程的根．

ak

bk

当区间长bk

ak很小时，取其中点

xk

2为根的近似值，显然有

xk

1

1

1

ak1）

1

（ba）

（bk

ak）

（bk1

k1

2

2

2

2

以上公式可用于估计对分次数k．

2.迭代法

迭代法的基本思想：

由方程f（x）0构造一个等价方程

x（x）

从某个近似根x0出发，令

xk1

（xk），k0,1,2,

可得序列{xk}，这种方法称为迭代法．

若{xk}收敛，即

limxk

x*

k

，

只要（x）连续，有

limxk1

lim（xk）

（limxk）

k

k

k

即

２

可知，{xk}的极限x*

x*

（x*）

是x（x）

的根，也就是f（x）0的根．

当然，若xk发散，迭代法就失败．

迭代过程xk1

（xk）收敛的常用判别标准：

当根区间

[a,b]

较小，且对某一

x0[a,b]

，

'（x）

明显小于1时，则迭代收敛

2）迭代法的加速：

a）松弛法：

若（x）与xk同是x*的近似值，则xk1（1k）xkk（xk）是两个近似值的加权平均，其中k称

为权重，现通过确定k看能否得到加速．

迭代方程是：

x

（x）

其中

（x）

（1

）x

（x），令

'（x）

1

'（x）

0，试确定

：

1

k

1

1k

'（xk）

当'（x）1时，有

'（x），即当

1'（xk），

'（xk）时，

1

1

k

1

可望获得较好的加速效果，于是有松弛法：

xk1

（1

k）xkk

（xk），

1'（xk）

b）Altken方法：

x*

（x*），x*是它的根，x0是其近似根．

设x1

（x0），x2

（x1），因为

x*

x2[x*

x2]

x2

[（x*）

（x1）]

x2

'（）（x*

x1），

x2

x1

（x1）

（x0）

用差商x1

x0

x1

x0

近似代替'（

），有

x*

x2x2

x1（x*

x1）

x1

x0

，

解出x*，得

*

（x

x）2

x

x2

2

1

x2

2x1

x0

由此得出公式

xk

（1）

（xk）；

xk

（2）

（xk

（1））；

xk1

（2）

（xk

（2）

xk

（1））2

xk

xk

（2）

2xk

（1）

xk，k0,1,2,

３

这就是Altken公式。

3.牛顿（Newton）法（牛顿切线法）

1）牛顿法的基本思想：

f（x）0是非线性方程，一般较难解决，多采用线性化方法．

f（x）

f（x

）f'（x

）（x

x

）

f''（）（xx）2

0

0

0

2!

0

记：

P（x）f（x0）

f'（x0）（xx0）

P（x）是一次多项式，用P（x）

0作为f（x）

0的近似方程．

P（x）

f（x0）f'（x0）（x

x0）

0的解为

xx0

f（x0）

f'（x0）

（f'（x0）0）

记为x1，一般地，记

xk1

f（xk）

xk

k

0,1,2,

f'（xk）

即为牛顿法公式。

实验所用软件及版本：

MatlabR2012b

主要内容（要点）：

分别用对分法、普通迭代法、松弛迭代法、Altken迭代法、牛顿切法线等5种方法，求方程txsin（x）的正的近似根，0t1．（建议取t0.5．）

４

实验过程记录（含基本步骤、主要程序清单及异常情况记录等）：

1.对分法

symsxfx;

a=0.001;b=3;

fx=0.5*x-sin（x）;

x=（a+b）/2;k=0;

ffx=subs（fx,'x',x）;

ifffx==0;

disp（['therootis:

',num2str（x）]）

elsedisp（'kakbkf（xk）'）

whileabs（ffx）>0.0001&a

disp（[num2str（k）,'',num2str（a）,'',num2str（b）,'',num2str（ffx）]）

fa=subs（fx,'x',a）;ffx=subs（fx,'x',x）;

iffa*ffx<0

b=x;

else

a=x;

end

k=k+1;x=（a+b）/2;

end

disp（[num2str（k）,'',num2str（a）,'',num2str（b）,'',num2str（ffx）]）

end

fprintf（'所求的解是：

x=%f,迭代步数是：

%d/n',x,k）

【调试结果】

00.0013-0.24728

11.50053-0.24728

21.50052.25020.34721

31.87542.2502-0.016286

41.87542.06280.15002

51.87541.96910.062824

61.87541.92220.022239

71.87541.89880.0027165

81.88711.8988-0.0068499

91.89291.8988-0.002083

101.89291.89590.0003127

111.89441.8959-0.00088616

121.89511.8959-0.00028698

131.89511.89551.2794e-005

所求的解是：

x=1.895327,迭代步数是：

13

５

3.普通迭代法

symsxfxgx;

gx=sin（x）/0.5;fx=0.5*x-sin（x）;

disp（'kxf（x）'）

x=1.1;k=0;

ffx=subs（fx,'x',x）;

whileabs（ffx）>0.0001;

disp（[num2str（k）,'',num2str（x）,'',num2str（ffx）]）;

x=subs（gx,'x',x）;ffx=subs（fx,'x',x）;k=k+1;

end

disp（[num2str（k）,'',num2str（x）,'',num2str（ffx）]）

fprintf（'所求的解是：

x=%f,迭代步数是：

%d/n',x,k）

【调试结果】

01.1-0.34121

11.7824-0.086485

21.95540.050739

31.8539-0.033238

41.92040.020677

51.879-0.013357

61.90570.0084433

71.8889-0.005416

81.89970.0034431

91.8928-0.0022017

101.89720.0014028

111.8944-0.00089584

121.89620.00057125

131.895-0.00036462

141.89580.00023259

151.8953-0.00014842

161.89569.4692e-005

所求的解是：

x=1.895610,迭代步数是：

16

3.松弛迭代法

symsfxgxxdgx;

gx=sin（x）*2;fx=0.5*x-sin（x）;dgx=diff（gx,'x'）;

x=1.8;k=0;

ggx=subs（gx,'x',x）;ffx=subs（fx,'x',x）;dgxx=subs（dgx,'x',x）;

disp（'kxw'）

whileabs（ffx）>0.0001;

w=1/（1-dgxx）;

disp（[num2str（k）,'',num2str（x）,'',num2str（w）]）

x=（1-w）*x+w*ggx;k=k+1;

ggx=subs（gx,'x',x）;ffx=subs（fx,'x',x）;dgxx=subs（dgx,'x',x）;

end

disp（[num2str（k）,'',num2str（x）,'',num2str（w）]）

fprintf（'所求的解是：

x=%f,迭代步数是：

%d\n',x,k）

６

【调试结果】

kxw

01.80.68757

11.90160.60624

21.89550.60624

所求的解是：

x=1.895515,迭代步数是：

2

4.altken法

symsfxgxx;

gx=sin（x）*2;fx=0.5*x-sin（x）;

disp（'kxx1x2'）

x=1.5;k=0;

ffx=subs（fx,'x',x）;

whileabs（ffx）>0.0001;

u=subs（gx,'x',x）;v=subs（gx,'x',u）;

disp（[num2str（k）,'',num2str（x）,'',num2str（u）,'',num2str（v）]）

x=v-（v-u）^2/（v-2*u+x）;k=k+1;ffx=subs（fx,'x',x）;

end

disp（[num2str（k）,'',num2str（x）,'',num2str（u）,'',num2str（v）]）

fprintf（'所求的解是：

x=%f,迭代步数是：

%d\n',x,k）

【调试结果】

k

x

x1

x2

0

1.51.9951.8227

1

1.86721.91281.8842

2

1.89521.89571.8954

3

1.89551.89571.8954

所求的解是：

x=1.895494,迭代步数是：

3

5.牛顿法

symsxfxgx;

fx=0.5*x-sin（x）;gx=diff（fx,'x'）;

x1=0.8;x2=1.5;x3=4;k=0;

disp（'kx1x2x3'）

fx1=subs（fx,'x',x1）;fx2=subs（fx,'x',x2）;fx3=subs（fx,'x',x3）;

gx1=subs（gx,'x',x1）;gx2=subs（gx,'x',x2）;gx3=subs（gx,'x',x3）;

whileabs（fx1）>0.0001|abs（fx2）>0.0001|abs（fx3）>0.0001;

disp（[num2str（k）,'',num2str（x1）,'',num2str（x2）,'',num2str（x3）]）x1=x1-fx1/gx1;x2=x2-fx2/gx2;x3=x3-fx3/gx3;k=k+1;fx1=subs（fx,'x',x1）;fx2=subs（fx,'x',x2）;fx3=subs（fx,'x',x3）;gx1=subs（gx,'x',x1）;gx2=subs（gx,'x',x2）;gx3=subs（gx,'x',x3）;

end

disp（[num2str（k）,'',num2str（x1）,'',num2str（x2）,'',num2str（x3）]）

fprintf（'所求的解是:

x1=%f,x2=%f,x3=%f,迭代步数:

%d\n',x1,x2,x3,k）

７

【调试结果】

kx1x2x3

00.81.54

1-0.813352.07661.6104

20.896791.91051.97

3-1.78561.89561.8984

4-1.90371.89551.8955

5-1.89551.89551.8955

所求的解是:

x1=-1.895533,x2=1.895494,x3=1.895494,迭代步数:

5

【情况记录】

1.对分法简单，然而，若在是有几个零点时，只能算出其中一个零点，它不能求重根，

也不能求虚根.另一方面，即使在上有零点，也未必有。

这就限制了对

分法的使用范围。

对分法只能计算方程的实根。

对分法的收敛速度较慢，它常用来试

探实根的分布区间，或求根的近似值．

寻找满足定理条件的等价形式是难于做到的。

事实上，如果为的零点，若能构造等价

形式而，由的连续性，一定存在的邻域，其上有

，这时若初值迭代也就收敛了。

由此构造收敛迭代式有两个要

素，其一，等价形式应满足；其二，初值必须取自的充分小邻域，这个

邻域大小决定于函数，及做出的等价形式。

松弛法的加速效果明显，甚至不收敛的迭代函数经加速后也能获得收敛．

松弛法要先计算'（xk），在使用中有时不方便，而Altken公式，它的加速效果是十分明显的，它同样可使不收敛的迭代格式获得收敛。

5.牛顿法的收敛速度明显快于对分法。

牛顿法也有局限性。

牛顿法至少是二阶收敛的，而在重

根附近，牛顿法是线性收敛的，且重根收敛很慢。

另外，在牛顿法中，选取适当迭代初始值

是求解的前题，当迭代的初始值在某根的附近时迭代才能收敛到这个根，有时会发生从一个

根附近跳向另一个根附近的情况，尤其在导数数值很小时。

８

实验结果报告及实验总结：

调试结果：

1.对分法

所求的解是：

x=1.895327,迭代步数是：

13

2.普通迭代法

所求的解是：

x=1.895610,迭代步数是：

16

3.松弛迭代法

所求的解是：

x=1.895515,迭代步数是：

2

4.altken法

所求的解是：

x=1.895494,迭代步数是：

3

5.牛顿法

所求的解是:

x1=-1.895533,x2=1.895494,x3=1.895494,迭代步数:

5

总结：

在调试和运行的过程中，选取不同的等价方程和不同的初值，得到的结果不同，精确度也有相差异。

但五种方法所得的数值相近，基本在误差允许范围内。

且从运行结果知，相对而言，二分法和

普通迭代法的收敛速度过慢，不是最佳方法。

松弛迭代法和altken法的加速效果是明显的。

牛顿法的收敛速度也较快，但需要得出原函数的导函数，在某些情况下是不可行的。

故在这五种方法中，相较而言，松弛迭代法和altken法更为可行。

思考与深入：

通过本实验加深了解了求方程实根的近似值的有效方法。

学习并掌握了用对分法、迭代法、牛

顿切线法求方程近似根的基本过程。

并认识到对于不同的题目，需要确定好求根区间[a,b]，

或给出某根的近似值x0．这对于结果的精度有很大影响。

同时，对于自身，要深刻了解对分法、迭代法、牛顿切线法求方程近似根四种方法的基本思想，熟练掌握编程语句，更快更准确且熟练地设计出程序。

９

教师评语：

１０