第二章矩阵及其运算习题课精.docx
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第二章矩阵及其运算习题课精
矩阵及赵算
转蛛力降
矩阵是线性代数中非常亜要的理论Z-.它贯穿r线件代数内容的始终。
英匸要内容包扌斤
W念，妙阵•转K出降•冬建叶•冋也禺阵等
迄„（绘性迖算：
如阵的加法■&与披，•陈的乘沖；
貝I如FT相痕//Ftm次慕
“J角術阵•帕位矩W丄角妙阵.上二饬加臥{＜二《越阵对称加阵・&对祢炉阵
I如許的行列式.力阡乘枳的行列式.《1卜＞倚片妙阶・逆知阵•什随用龄分块W-W：
分块対角矩阵・0»^^分块Mi眸的求連矩阴的秩$矩阡的k阶fSt満秩矩肾
M等血PbE{iJ\Eii（k}\f（y（Jt»
G阵的初等变换:
・矩阵的杯术形
利III协鸽•空换求収理妙M.$阵的轶
矩阵的乘法:
1严前而的矩阵的列数与后而矩阵的行数相同时才可以相乘;
2•矩阵的乘法不满足交换律，即ABhBA,
3.矩阵的乘浓不满足消左律,即YAB-AC时,不一定冇BC当AB-0时,不一定有A-0或B-0
注：
当A为方阵H.町逆时，若ABAC,AB=O,则仃B二C,B=0
4.设A为n阶方阵，当I舛hO时，凡“为解数时，仃
定理方阵A可逆的充分必要条件是存在有限个初等方阵轉…比，使4=轉马…乙
求方阵A的逆矩阵的方法
1.构造B,使AB=E
2.A-'
3.（AE）初等行变换・（EA-'
初尊列变换
求矩阵的秩的基本方法
（1）计算矩阵的各阶子式，从阶数最高的子开始，找到不等于零的子式中阶数最大的一个子式,则这个子式的阶数就是矩阵的秩.
（2）用初等变换.
第一种方法当矩阵的行数与列数较高时，计算量很大，第二种方法则较为简单实用.
三.关于秩的基本性质
1』1于A中非冬了式的阶数不会12!
过R（A）,|大]此，若矩阵4中仃東个S阶子式不为零，m若A中所仃F阶了式金人0，贝取C4）vr
2.若4为加阵，贝1£）*,h];
3•若A为nxn矩阵，贝lR（A）=nU>A|hOU>A町逆OA满秩OA非奇异
4J?
（A0=R（A）
5•若A~B，贝I」7?
（A）=/?
（B）.
6,若F、Q可逆，贝吹（PAQ）=/?
（A）
8.Z?
（A+3）<尺（A）十尺（ff）;
9R（A和„B„,）IO•若=O，则R（A）+R（B）II
•一个矩阵和满秩矩阵相乘，原来矩阵的秩不改变。
馥性网爼
用初等行变换化方程组的增广矩阵为阶梯形矩阵，根据不等于零或等于零判断原方程组是否有解，如果^+1*0,则有r（/4）=r,而尸（/4/>）二严1,即r（/0*r（/fh）,此时（3.1）无解；
如果<^+1=0,则有尸（/）=r（/42>）=r,此时（3.1）有解.
当尸=〃时，有唯一解；当厂<耐，有无穷多个解.然后，回代求出解。
定理3.1线性方程组有解的充分必要条件是：
r（Xh）=r（/O，且当/•（/h）=〃时有唯一解;当/•（/<6）<耐有无穷多解。
定理3・2齐次线性方程组有非零解O尸（>4）齐次线性方程组解的结构
4x=（）A=（□"•）刚“
1.
7v^r,
如果#],IS是4兀=0的两个解，则勺+^2也是它的解•
2.如果p3.如果“严2八••，叫都是A兀=0的解，则其线性组合C,Vj+勺卩2+・+
也是它的解，其申都是任意常数.
如果V1,V2,…，F5是齐次线性方程组
Ax=0向量组的一个极大无关组，则称v1,v2,...,kv是方程组的一个基础解系。
如果齐次线性方程组/4a*=0的系数矩阵/的秩z
…皿称为齐次线性方程纽•r=0的基础解系如果
是=0的一组线性无対解
（2）Ax=0的任一解都可囱,7,…龙线性表出
如果7,02,…，7为齐次线性方程组4*=0
的一组基础解系那么Ax=Q的通解可表示为
X=kg+km■*Hkg
冲你处，…&是任意常数
依次得
非齐次线性方程组Ax=b与它的导出组Ax=0的解仝有下列性质：
1.如果S是Ax=b的一个解，“1是A¥=0的一个解，则5+些也是Ax=b的一个解；
2.如果5"2是&*=b的两个解，则6・"2是其导出组（Ax=0）的解。
定理如果S是非齐次线性方程组的一个解，"是其导出组的全部解，则u=s+K是非齐次线性方程组的全部解.
习题
例1：
廿n阶炉阵A的行列式为|A|=Z求|3A|J-A|.|/V\（4aF7a・・例2：
设A为n阶町逆矩阵，求
（1）7.
（）、
0，求心心川.
2,
侦J4：
P73&3）.
郦:
P73J3（3）.
例6：
求矩阵A=-3
12
-2-1、
4
0
5的伴随矩阵"和逆矩阵zTl
（2
例7：
Sa=
例&
TO14.
例9：
P73,12.
0
0
4
2
/
<0
1
0、
-r
-1
1
1
2
0
0
-L
、5
kAX+B=X.求矩阵X・
已知A=
‘100、
设AP=FZ?
具屮〃=0I0,P=
.00-b
P74J7.
Li知川阶方阵A満足/V=4£证1叽4-E,A-2E均i】丁逆.
UE叨任7/阶力阵均町衣示为•个対称矩阵％—个反对称矩
P73JO.
P74,22.
例17：
P74,23.
例18设屮=（）,证明（=E+A+a2+・・・方法一v（E-A）（E+A+A'+…+・・・（E_A）J=E+/1+/P+…+AZ.
方法二•・・A*=0
・・・E=E-A*=（E-A）（E+A+42+・・・+a・・・（E-A）J=E+A+A2+…+A2.方法三V=Q
・・・£；=£；一4+人一屮+"+・——42+占一屮=（E-A）+（A-屮）+屮+巧+（占-A*）
=（E—A）E+（E_4）A+（E_A）a2+…+（E-A）a*+A+A2+---+A*""）
=E+A+A2+…+A*"'・
例19：
设Ag"的秩r（A）=m.ma、A的任个ni阶子式不为0
b、A
。
卜0
C、为AB=OI甘，必4iB=0
cl、当r（B）=nlJ4»4*j'r（AB）=in
例20jP113.8
-方法：
利用定理3・9:
-向甲:
组B（十个向虽〉有A（S个向虽〉线性农示，S卄则B线件相关
・方法利用疋理3.6:
-线性机关的充鏗条件足至少■个向老足其余向駅的线性级1>
・方法三：
线性相关的疋义
例2hP113,16
（1）
例22：
Pl14,17（5）
例23：
Pl14,19
例24：
Pl14,20（1>
证明设4B.C的最头线性无关组分别为A\B\C\含有的向量个数（秩）分别为r"2，＜r则分别与/V,/rC等价•易知儿B均可由C线性表示，则秩（C）2秩（A），秩（C*）2秩（8b即niax{ri，r,}^r3
设/V与/r中的向量共同构成向量组D,则儿B均口J由D线性表示，
即C可由D线性表示，从而r可由D线性表示，所以秩（CJ＜秩（PhD为斤+7*2阶矩阵，所以秩+尸2即＜耳+厂2・
r
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