中考二次函数压轴题解题通法重点中学整理.docx
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中考二次函数压轴题解题通法重点中学整理
中考二次函数压轴题
解题通法研究
二次函数在全国中考数学中常常作为压轴题，同时在省级，国家级数学竞赛中也有二次函数大题，在宜宾市的拔尖人才考试中同样有二次函数大题，在成都，绵阳，泸县二中等地的外地招生考试中也有二次函数大题，很多学生在有限的时间内都不能很好完成。
由于在高中和大学中很多数学知识都与函数知识或函数的思想有关，学生在初中阶段函数知识和函数思维方法学得好否，直接关系到未来数学的学习。
所以二次函数综合题自然就成了相关出题老师和专家的必选内容。
我通过近6年的研究，思考和演算了上1000道二次函数大题，总结出了解决二次函数压轴题的通法，供大家参考。
几个自定义概念：
1三角形基本模型：
有一边在X轴或Y上，或有一边平行于X轴或Y轴的三角形称为三角形基本模型。
2动点（或不确定点）坐标“一母示”：
借助于动点或不确定点所在函数图象
的解析式，用一个字母把该点坐标表示出来，简称“设横表纵”。
如：
动点P在y=2x+1上，就可设P（t,2t+1）.若动点卩在丫=3x22x1,贝何设为P（t,
3t22t1）当然若动点M在X轴上，则设为（t,0）.若动点M在Y轴上，设为（0,t）．
3动三角形：
至少有一边的长度是不确定的，是运动变化的。
或至少有一个顶点是运动，变化的三角形称为动三角形
4动线段：
其长度是运动，变化，不确定的线段称为动线段。
5定三角形：
三边的长度固定，或三个顶点固定的三角形称为定三角形。
6定直线：
其函数关系式是确定的，不含参数的直线称为定直线。
^口：
y=
3x—6。
7X标，Y标：
为了记忆和阐述某些问题的方便，我们把横坐标称为x标，纵
坐标称为y标。
8直接动点：
相关平面图形（如三角形，四边形，梯形等）上的动点称为直接动点，与之共线的问题中的点叫间接动点。
动点坐标“一母示”是针对直接动点坐标而言的。
1.求证“两线段相等”的问题：
借助于函数解析式，先把动点坐标用一个字母表示出来；
然后看两线段的长度是什么距离（即是“点点”距离，还是“点轴距离”，还是
“点线距离”，再运用两点之间的距离公式或点到x轴（y轴）的距离公式或点到直
线的距离公式，分别把两条线段的长度表示出来，分别把它们进行化简，即可证得两线段相等。
2、“平行于y轴的动线段长度的最大值”的问题：
由于平行于y轴的线段上各个点的横坐标相等（常设为t），借助于两个端点所
在的函数图象解析式，把两个端点的纵坐标分别用含有字母t的代数式表示出来，
再由两个端点的高低情况，运用平行于y轴的线段长度计算公式y上-y下，把动线
段的长度就表示成为一个自变量为t，且开口向下的二次函数解析式，利用二次函数的性质，即可求得动线段长度的最大值及端点坐标。
3、求一个已知点关于一条已知直线的对称点的坐标问题：
先用点斜式（或称K点法）求出过已知点，且与已知直线垂直的直线解析式，再求出两直线的交点坐标，最后用中点坐标公式即可。
4、“抛物线上是否存在一点，使之到定直线的距离最大”的问题
（方法1）先求出定直线的斜率，由此可设出与定直线平行且与抛物线相切
的直线的解析式（注意该直线与定直线的斜率相等，因为平行直线斜率（k）相
等），再由该直线与抛物线的解析式组成方程组，用代入法把字母y消掉，得到一个关于x的的一元二次方程，由题有△二b2-4ac=0（因为该直线与抛物线相切，只有一个交点，所以b2-4ac=0）从而就可求出该切线的解析式，再把该切线解析
式与抛物线的解析式组成方程组，求出x、y的值，即为切点坐标，然后再利用
点到直线的距离公式，计算该切点到定直线的距离，即为最大距离。
（方法2）该问题等价于相应动三角形的面积最大问题，从而可先求出该三角形取得最大面积时，动点的坐标，再用点到直线的距离公式，求出其最大距离。
（方法3）先把抛物线的方程对自变量求导，运用导数的几何意义，当该导数
等于定直线的斜率时，求出的点的坐标即为符合题意的点，其最大距离运用点到直线的距离公式可以轻松求出。
5.常数问题：
（1）点到直线的距离中的常数问题：
“抛物线上是否存在一点，使之到定直线的距离等于一个固定常数”的问题：
先借助于抛物线的解析式，把动点坐标用一个字母表示出来，再利用点到直线的距离公式建立一个方程，解此方程，即可求出动点的横坐标，进而利用抛物线解析式，求出动点的纵坐标，从而抛物线上的动点坐标就求出来了。
（2）三角形面积中的常数问题：
“抛物线上是否存在一点，使之与定线段构成的动三角形的面积等于一个
定常数”的问题：
先求出定线段的长度，再表示出动点（其坐标需用一个字母表示）到定直线的距离，再运用三角形的面积公式建立方程，解此方程，即可求出动点的横坐标，再利用抛物线的解析式，可求出动点纵坐标，从而抛物线上的动点坐标就求出来了。
（3）几条线段的齐次幂的商为常数的问题：
用K点法设出直线方程，求出与抛物线（或其它直线）的交点坐标，再运用两
点间的距离公式和根与系数的关系，把问题中的所有线段表示出来，并化解即可。
6.“在定直线（常为抛物线的对称轴，或x轴或y轴或其它的定直线）上是否存在一点，使之到两定点的距离之和最小”的问题：
先求出两个定点中的任一个定点关于定直线的对称点的坐标，再把该对称点和另一个定点连结得到一条线段，该线段的长度〈应用两点间的距离公式计算〉即为符合题中要求的最小距离，而该线段与定直线的交点就是符合距离之和最小的点，其坐标很易求出（利用求交点坐标的方法）。
7.三角形周长的“最值（最大值或最小值）”问题：
1“在定直线上是否存在一点，使之和两个定点构成的三角形周长最小”的问题（简称“一边固定两边动的问题）：
由于有两个定点，所以该三角形有一定边（其长度可利用两点间距离公式计算），只需另两边的和最小即可。
2“在抛物线上是否存在一点，使之到定直线的垂线，与y轴的平行线和定
直线，这三线构成的动直角三角形的周长最大"的问题（简称“三边均动的问题）
在图中寻找一个和动直角三角形相似的定直角三角形，在动点坐标一母示
后，运用3=斜边剋，把动三角形的周长转化为一个幵口向下的抛物线来破解。
C定V斜边定V
8.三角形面积的最大值问题：
1“抛物线上是否存在一点，使之和一条定线段构成的三角形面积最大”的
问题（简称“一边固定两边动的问题”）:
（方法1）先利用两点间的距离公式求出定线段的长度；然后再利用上面3的方法，求出抛物线上的动点到该定直线的最大距离。
最后利用三角形的面积公式1底•高。
即可求出该三角形面积的最大值，同时在求解过程中，切点
2
即为符合题意要求的点。
（方法2）过动点向y轴作平行线找到与定线段（或所在直线）的交点，
从而把动三角形分割成两个基本模型的三角形，动点坐标一母示后，进一步可
1
得到◎三角形-（y±（动）-办（动））？
匕右（定）-X左（定））
2，转化为一个幵口向下的二次函
数问题来求出最大值。
2“三边均动的动三角形面积最大”的问题（简称“三边均动"的问题）：
先把动三角形分割成两个基本模型的三角形（有一边在X轴或y轴上的三角形,
或者有一边平行于x轴或y轴的三角形，称为基本模型的三角形）面积之差，设出动点在x轴或y轴上的点的坐标，而此类题型，题中一定含有一组平行线，从而可以得出分割后的一个三角形与图中另一个三角形相似（常为图中最大的那一个三角形）。
利用相似三角形的性质（对应边的比等于对应高的比）可表示出分割后的一个三角形的高。
从而可以表示出动三角形的面积的一个幵口向下的二次函数关系式，相应问题也就轻松解决了。
9.“一抛物线上是否存在一点，使之和另外三个定点构成的四边形面积最大的
问题”：
由于该四边形有三个定点，从而可把动四边形分割成一个动三角形与一个定三角形（连结两个定点，即可得到一个定三角形）的面积之和，所以只需动三角形的面积最大，就会使动四边形的面积最大，而动三角形面积最大值的求法及抛物线上动点坐标求法与7相同。
10、“定四边形面积的求解”问题：
有两种常见解决的方案：
方案
（一）：
连接一条对角线，分成两个三角形面积之和；
方案
（二）：
过不在x轴或y轴上的四边形的一个顶点，向x轴（或y轴）作垂线，或者把该点与原点连结起来，分割成一个梯形（常为直角梯形）和一些三角形的面积之和（或差），或几个基本模型的三角形面积的和（差）
11.“两个三角形相似”的问题：
两个定三角形是否相似：
（1）已知有一个角相等的情形：
运用两点间的距离公式求出已知角的两条夹边，看看是否成比例？
若成比例，则相似;否则不相似。
（2）不知道是否有一个角相等的情形：
运用两点间的距离公式求出两个三角形各边的长，看看是否成比例？
若成比例，则相似;否则不相似。
一个定三角形和动三角形相似：
（1）已知有一个角相等的情形：
先借助于相应的函数关系式，把动点坐标表示出来（一母示），然后把两个目标三角形（题中要相似的那两个三角形）中相等的那个已知角作为夹角，分别计算或表示出夹角的两边，让形成相等的夹角的那两边对应成比例（要注意是否有两种情况），列出方程，解此方程即可求出动点的横坐标，进而求出纵坐标，注意去掉不合题意的点。
（2）不知道是否有一个角相等的情形：
这种情形在相似性中属于高端问题，破解方法是，在定三角形中，由各个顶点坐标求出定三角形三边的长度，用观察法得出某一个角可能是特殊角，再为该角寻找一个直角三角形，用三角函数的方法得出特殊角的度数，在动点坐标“一母示”后，分析在动三角形中哪个角可以和定三角形中的那个特殊角相等，借助于特殊角，为动点寻找一个直角三角形，求出动点坐标，从而转化为已知有一个角相等的两个定三角形是否相似的问题了，只需再验证已知角的两边是否成比例？
若成比例，则所求动点坐标符合题意，否则这样的点不存在。
简称“找特角，求（动）点标，再验证”。
或称为“一找角，二求标，三验证”。
12.、“某函数图象上是否存在一点，使之与另两个定点构成等腰三角形”的问题：
首先弄清题中是否规定了哪个点为等腰三角形的顶点。
（若某边底，则只有一种情况；若某边为腰，有两种情况；若只说该三点构成等腰三角形，则有三种情况）。
先借助于动点所在图象的解析式，表示出动点的坐标（一母示），按分类的情况，分别利用相应类别下两腰相等，使用两点间的距离公式，建立方程。
解出此方程，即可求出动点的横坐标，再借助动点所在图象的函数关系式，可求出动点纵坐标，注意去掉不合题意的点（就是不能构成三角形这个题意）。
13、“某图象上是否存在一点，使之与另外三个点构成平行四边形”问题：
这类问题，在题中的四个点中，至少有两个定点，用动点坐标“一母示”分别设出余下所有动点的坐标（若有两个动点，显然每个动点应各选用一个参数字母来“一母示”出动点坐标），任选一个已知点作为对角线的起点，列出所有可能的对角线（显然最多有3条），此时与之对应的另一条对角线也就确定了，然后运用中点坐标公式，求出每一种情况两条对角线的中点坐标，由平行四边形的判定定理可知，两中点重合，其坐标对应相等，列出两个方程，求解即可。
进一步有：
1若是否存在这样的动点构成矩形呢？
先让动点构成平行四边形，再验证两条对角线相等否？
若相等，则所求动点能构成矩形，否则这样的动点不存在。
2若是否存在这样的动点构成棱形呢？
先让动点构成平行四边形，再验证任意一组邻边相等否？
若相等，则所求动点能构成棱形，否则这样的动点不存在
3若是否存在这样的动点构成正方形呢？
先让动点构成平行四边形，再验证任意一组邻边是否相等？
和两条对角线是否相等？
若都相等，则所求动点能构成正方形，否则这样的动点不存在。
14、“抛物线上是否存在一点，使两个图形的面积之间存在和差倍分关系”的问题：
（此为“单动问题”〈即定解析式和动图形相结合的问题〉，后面的19实为本类型的特殊情形。
）
先用动点坐标“一母示”的方法设出直接动点坐标，分别表示（如果图形是动图形就只能表示出其面积）或计算（如果图形是定图形就计算出它的具体面积），然后由题意建立两个图形面积关系的一个方程，解之即可。
（注意去掉不合题意的点），如果问题中求的是间接动点坐标，那么在求出直接动点坐标后，再往下继续求解即可。
15、“某图形〈直线或抛物线〉上是否存在一点，使之与另两定点构成直角三
角形”的问题：
若夹直角的两边与y轴都不平行：
先设出动点坐标（一母示），视题目分类的情况，分别用斜率公式算出夹直角的两边的斜率，再运用两直线（没有与y轴平行的直线）垂直的斜率结论（两直线的斜率相乘等于-1），得到一个方程，解之即可。
若夹直角的两边中有一边与y轴平行，此时不能使用斜率公式。
补救措施是：
过余下的那一个点（没在平行于y轴的那条直线上的点）直接向平行于y的直线作垂线或过直角点作平行于y轴的直线的垂线与另一相关图象相交，则相关点的坐标
可轻松搞定。
16、“某图象上是否存在一点，使之与另两定点构成等腰直角三角形”的问题。
1若定点为直角顶点，先用k点法求出另一直角边所在直线的解析式（如斜率不存在，根据定直角点，可以直接写出另一直角边所在直线的方程），利用该解析式与所求点所在的图象的解析式组成方程组，求出交点坐标，再用两点间的距离公式计算出两条直角边等否？
若等，该交点合题，反之不合题，舍去。
2若动点为直角顶点：
先利用k点法求出定线段的中垂线的解析式，再把该解析式与所求点所在图象的解析式组成方程组，求出交点坐标，再分别计算出该点与两定点所在的两条直线的斜率，把这两个斜率相乘，看其结果是否为-1？
若为-1，则就说明所求交点合题；反之，舍去。
17、“题中含有两角相等，求相关点的坐标或线段长度”等的问题：
题中含有两角相等，则意味着应该运用三角形相似来解决，此时寻找三角形相
似中的基本模型“A”或“X”是关键和突破口。
18.“在相关函数的解析式已知或易求出的情况下，题中又含有某动图形（常为动三角形或动四边形）的面积为定常数，求相关点的坐标或线段长”的问题：
（此为“单动问题”〈即定解析式和动图形相结合的问题〉，本类型实际上是前面14的特殊情形。
）
x轴或y轴上,
先把动图形化为一些直角梯形或基本模型的三角形（有一边在或者有一边平行于x轴或y轴）面积的和或差，设出相关点的坐标（一母示），按化分后的图形建立一个面积关系的方程，解之即可。
一句话，该问题简称“单动问题”，解题方法是“设点（动点）标，图形转化（分割），列出面积方程”。
19.“在相关函数解析式不确定（系数中还含有某一个参数字母）的情况下，题中又含有动图形（常为动三角形或动四边形）的面积为定常数，求相关点的坐标或参数的值”的问题：
此为“双动问题”（即动解析式和动图形相结合的问题）。
如果动图形不是基本模型，就先把动图形的面积进行转化或分割（转化或分割后的图形须为基本模型），设出动点坐标（一母示），利用转化或分割后的图形建立面积关系的方程（或方程组）。
解此方程，求出相应点的横坐标，再利用该点所在函数图象的解析式，表示出该点的纵坐标（注意，此时，一定不能把该点坐标再代入对应函数图象的解析式，这样会把所有字母消掉）。
再注意图中另一个点与该点的位置关系（或其它关系，方法是常由已知或利用
（2）问的结论，从几何知识的角度进行判断，表示出另一个点的坐标，最后把刚表示出来的这个点的坐标再代入相应解析式，得到仅含一个字母的方程，解之即可。
如果动图形是基本模型，就无须分割（或转化）了，直接先设出动点坐标（一母式），然后列出面积方程，往下操作方式就与不是基本模型的情况完全相同。
一句话，该问题简称“双动问题”，解题方法是“转化（分割），设点标，建方程，再代入，得结论”。
中考二次函数压轴题分析
【凉山州中考】如图，在平面直角坐标系中，直线y=x+4与x轴，y轴分别交于A,B,
两点，抛物线yx2bxc经过A,B,两点，并与x轴交于另一点C（点C在点A的右侧），点P是抛物线上一动点。
（1）求抛物线的解析式及点C的坐标.
⑵若点P在第二象限内，过点P作PDx轴于D,交AB于点E.当点P运动到什么位置时，线段PE最长？
此时PE等于多少？
（3）如果平行于x轴的动直线1与抛物线交于点Q,与直线AE交于点N,点M为O
A的中点，那么是否存在这样的直线1,使得三角形MON是等腰三角形？
若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理.
【广安市中考】在平面直角坐标系xOy中，AB丄x轴于点
B,AB=3,tan/AOB=3/4将厶OAB绕着原点0逆时针旋转90°，得到△OAB;再
将厶OAB绕着线段OB的中点旋转180°，得到△OABi,抛物线y=ax2+bx+c（a^0）
经过点B、Bi、A
（1）求抛物线的解析式;
（2）在第三象限内，抛物线上的点P在什么位置时，△PBB的面积最大？
求出这时点P的坐标;
（3）在第三象限内，抛物线上是否存在点Q,使点Q到线段BB
的距离为一2?
若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说
2
明理由。
【乐山中考】如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（m,
m,点B的坐标为（n，-n），抛物线经过A、OB三点，连接OAOBAB,线段AB交y轴于点C.已知实数mn（m（1）求抛物线的解析式；
（2）若点P为线段0B上的一个动点（不与点OB重合），直线PC与抛物线交于D、
E两点（点D在y轴右侧），连接ODBD
1当△OPC为等腰三角形时，求点P的坐标；
2求△BOD面积的最大值，并写出此时点D的坐标.
【成都中考】如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数
y5xm（m为常数）的图象与x轴交于点A（3，0），与y轴交于点C.以直线
4
x=1为对称轴的抛物线yax2bxc（a,b，c为常数，且a工0）经过A,C两点,
并与x轴的正半轴交于点B.
（1）求m的值及抛物线的函数表达式;
（2）设E是y轴右侧抛物线上一点，过点E作直线AC的平行线交x轴于点F.是
否存在这样的点E,使得以A,C,E,F为顶点的四边形是平行四边形？
若存在,
求出点E的坐标及相应的平行四边形的面积；若不存在,
请说明理由；
（3）若P是抛物线对称轴上使△ACP的周长取得最小值的点，过点P任意作一条与y轴不平行的直线交抛物线于
M。
，yj,M2（x2,y2）两点，试探究MlP"2卩是否为定值，并写出探究过程.
M1M2
【2013绵阳市中考】如图，二次函数y二ax2+bx+c的图象的顶点C的坐标为（0,-2）,
交x轴于AB两点，其中
A（-1,0）,直线丨：
x=m（m>1）与x轴交于D
（1）求二次函数的解析式和
B的坐标；
（2）在直线丨上找点P（P在第一象限），使得以P、DB为顶点的三角形与以B
CO为顶点的三角形相似，求点P的坐标（用含m的代数式表示）；
（3）在
（2）成立的条件下，在抛物线上是否存在第一象限内的点Q使ABPQ是以
【自贡市中考】如图，已知抛物线y=ax2+bx-2（a^0）与x轴交于A、B两点，与
y轴交于C点，直线BD交抛物线于点D,并且D（2,3），tan/DBA=.
2
（1）求抛物线的解析式；
（2）已知点M为抛物线上一动点，且在第三象限，顺次连接点B、MC、A，求四边形BMCAT积的最大值；
（3）在
（2）中四边形BMCAa积最大的条件下，过点M作直线平行于y轴，在这条直线上是否存在一个以Q点为圆心，OQ为半径且与直线AC相切的圆？
若存在，求出圆心Q的坐标；若不存在，请说明理由.
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