二次函数解析式的求法专题.docx

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二次函数解析式的求法专题

1.已知二次函数的顶点坐标为A（1，9），且其图象经过点（-1，5）

（1）求此二次函数的解析式；

（2）若该函数图象与x轴的交点为B、C，求△ABC的面积．

2.已知：

如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，其中A点

坐标为（-1，0），B点坐标为（5，0）点C（0，5），M为它的顶点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）求△MAB的面积．

3.如图，二次函数的图象与x轴交于A（-3，0）和B（1，0）两点，交y轴于点C（0，3），点C、D是二次函数图象上的一对对称点，一次函数的图象过点B、D．

（1）求二次函数的解析式；

（2）根据图象直接写出使一次函数值大于二次函数值的x的取值范围．

4.二次函数的图象经过（3，1），且当x=2时有最大值为3．求此函数关系式．

5.设二次函数的图象的顶点坐标为（-2，2），且过点（1，1），求这个函数的关系式．

6.已知抛物线对称轴是直线x=2，且图象经过点（2，1）和点（1，0）．

（1）求抛物线解析式；

（2）若抛物线与x轴交于点A，点B，与y轴交于点C，求△ABC的面积．

7.如图，已知二次函数y=

x2+bx+c的图象经过A（2，0），B（0，-6）两点．

（1）求这个二次函数的解析式并写出它的对称轴；

（2）把该抛物线平移，使它的顶点与B点重合，直接写出

平移后抛物线的解析式．

8.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象上部分点的坐标（x，y）满足下表：

…

-1

…

-4

-2

…

（1）求这个二次函数的解析式；

（2）用配方法求出这个二次函数图象的顶点坐标和对称轴．

9.一个二次函数的图象经过（0，-1），（-2，0），（

，0）三点，求这个二次函数的解析式．

10.已知二次函数图象的顶点为（3，-1），与y轴交于点（0，-4）

（1）求二次函数解析式；

（2）求函数值y＞-4时，自变量x的取值范围．

答案和解析

1.【答案】解：

（1）设抛物线解析式为y=a（x-1）2+9，

把（-1，5）代入得a（-1-1）2+9=5，解得a=-1，

所以抛物线解析式为y=-（x-1）2+9；

（2）当y=0时，-（x-1）2+9=0，解得x1=4，x2=-2，

所以B、C两点的坐标为（-2，0），（4，0），

所以△ABC的面积=

×9×（4+2）=27．

【解析】

（1）先利用待定系数法求出抛物线解析式；

（2）通过解方程-（x-1）2+9=0得到B、C两点的坐标，然后根据三角形面积公式求解．

本题考查了抛物线与x轴的交点：

把求二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．

2.【答案】解：

（1）设抛物线解析式为y=a（x+1）（x-5），

把C（0，5）代入得a•1•（-5）=5，解得a=-1，

所以抛物线解析式为y=-x2+4x+5；

（2）y=-x2+4x+5=-（x-2）2+9，则M（2，9）

所以△MAB的面积=

×（5+1）×9=27．

【解析】

（1）设交点式y=a（x+1）（x-5），然后把C（0，5）代入求出a即可得到抛物线解析式；

（2）先把解析式配成顶点式，然后写出M点的坐标，再利用三角形面积公式求解．

本题考查了抛物线与x轴的交点：

从二次函数的交点式：

y=a（x-x1）（x-x2）（a，b，c是常数，a≠0）可直接得到抛物线与x轴的交点坐标（x1，0），（x2，0）．

3.【答案】解；

（1）设二次函数的解析式为y=a（x+3）（x-1），

把C（0，3）代入得a•3•（-1）=3，解得a=-1，

所以抛物线解析式为y=-（x+3）（x-1），即y=-x2-2x+3；

（2）当y=3时，-x2-2x+3=3，解得x1=0，x2=-2，则D（-2，3），

观察函数图象得当x＜-2或x＞1时，一次函数值大于二次函数值．

【解析】

（1）由于已知抛物线与x轴两交点，则设交点式y=a（x+3）（x-1），然后把C（0，3）代入求出a的值即可得到抛物线解析式；

（2）通过解方程-x2-2x+3=3可得到D（-2，3），然后观察函数图象，写出一次函数图象在抛物线上方所对应的自变量的范围即可．

本题考查了抛物线与x轴的交点：

由二次函数的交点式y=a（x-x1）（x-x2）（a，b，c是常数，a≠0）可直接得到抛物线与x轴的交点坐标（x1，0），（x2，0）．也考查了二次函数与不等式．

4.【答案】解：

根据题意设抛物线解析式为y=a（x-2）2+3，

把（3，1）代入得：

a+3=1，

解得：

a=-2，

则抛物线解析式为y=-2（x-2）2+3=-2x2+8x-5．

【解析】

根据题意找出顶点坐标，设出顶点式，把已知点坐标代入求出即可．

此题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图象上点的坐标特征，以及二次根式的最值，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．

5.【答案】解：

设这个函数的关系式为y=a（x+2）2+2，

把点（1，1）代入y=a（x+2）2+2得9a+2=1，

解得a=-

，

所以这个函数的关系式为y=-

（x+2）2+2．

【解析】

由于已知抛物线的顶点坐标，则可设顶点式y=a（x+2）2+2，然后把点（1，1）代入求出a的值即可．

本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式：

在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．

6.【答案】解：

（1）∵抛物线对称轴是直线x=2，

而抛物线与x轴的一个交点为（1，0），

∴抛物线与x轴的另一个交点为（3，0），

设抛物线解析式为y=a（x-1）（x-3），

把（2，1）代入得a•1•（-1）=1，解得a=-1，

所以抛物线解析式为y=-（x-1）（x-3），即y=-x2+4x-3；

（2）由

（1）得A（1，0），B（3，0），

当x=0时，y=-x2+4x-3=-3，则C（0，-3），

所以△ABC的面积=

×（3-1）×3=3．

【解析】

（1）利用抛物线的对称性可得到抛物线与x轴的另一个交点为（3，0），则可设交点式y=a（x-1）（x-3），然后把（2，1）代入求出a的值即可；

（2）由

（1）可确定A点和B点坐标，再求出C点坐标，然后根据三角形的面积公式求解．

本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：

7.【答案】解：

（1）把A（2，0），B（0，-6）代入y=-

x2+bx+c得

，解得

，

所以抛物线解析式为y=-

x2+4x-6，

∵y=-

（x-4）2+2，

∴抛物线的对称轴为直线x=4，

（2）y=-

x2-6．

【解析】

（1）把A点和B点坐标代入y=-

x2+bx+c得到关于b、c的方程组，然后解关于b、c的方程组即可得到抛物线解析式，再把解析式配成顶点式得到对称轴；

（2）利用顶点为（0，-6）写出抛物线解析式．

本题考查了二次函数图象与几何变换：

由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：

一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．

8.【答案】解：

（1）由题意，得

，

解这个方程组，得 a=1，b=3，c=-2，

所以，这个二次函数的解析式是y=x2+3x-2；

（2）y=x2+3x-2=（x+

）2-

，

顶点坐标为（-

，-

），

对称轴是直线x=-

．

【解析】

（1）把已知三点坐标代入求出a，b，c的值，即可确定出解析式；

（2）利用顶点坐标公式及对称轴公式求出即可．

此题考查了待定系数法求二次函数解析式，以及二次函数的性质，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．

9.【答案】解：

设抛物线解析式为y=a（x+2）（x-

），

把（0，-1）代入得a•2•（-

）=-1，

解得a=1．

所以抛物线解析式为y=（x+2）（x-

），即y=x2+

x-1．

【解析】

由于已知抛物线与x轴的交点坐标，则可设交点式y=a（x+2）（x-

），然后把（0，-1）代入求出a的值即可．

本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：

10.【答案】解：

（1）设抛物线解析式为y=a（x-3）2-1，

把（0，-4）代入得9a-1=-4，解得a=-

，

所以抛物线解析式为y=-

（x-3）2-1，

（2）y=-4时，-

（x-3）2-1=-4，解得x1=0，x2=6，

所以当0＜x＜6时，y＞-4．

【解析】

（1）设顶点式y=a（x-3）2-1，然后把（0，-4）代入求出a即可得到抛物线解析式；

（2）计算函数值为-4所对应的自变量的值，然后利用二次函数图象求解．

本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：

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