怎样画带电粒子在磁场中的运动轨迹裴际和1解读.docx
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怎样画带电粒子在磁场中的运动轨迹裴际和1解读
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怎样画带电粒子在磁场中的运动轨迹
江西省吉安县第二中学裴际和
不考虑带电粒子的重力,在有界磁场中,带电粒子垂直磁场方向进入磁场。
若不能做完整的圆周运动,不管题中所求的是什么物理量,都必须画轨迹、定圆心、寻半径、找圆心角、求运动时间几个环节。
然而最关键的一步是画轨迹,画不出带电粒子的运动轨迹,一切都是徒劳。
如何画轨迹?
一、根据曲线运动的特点画轨迹
先确定带电粒子所受的洛仑兹力f洛方向,根据曲线运动是朝受力方向弯曲的特点画出轨迹。
二、根据带电粒子在有界磁场中运动规律画轨迹
规律1:
带电粒子以与边界成θ角射入磁场,从同一边界出射时,速度方向与边界仍成θ角。
如图1所示。
规律2:
带电粒子沿半径方向射入圆形区域的磁场,从磁场中出射时仍沿半径方向。
如图2所示。
例1:
电视机的显像管中,电子束的偏转是用磁偏转技术实现的。
电子束经过电压为U的加速电场后,进入一圆形匀强磁场区,如图3甲所示,磁场方向垂直于圆面,磁场区的中心为O,
半径为r,当不加磁场时,电子束将通过O点而
打到屏幕的中心M点,为了让电子束射到屏幕边缘P
需要加磁场,使电子束
偏转一已知角度θ,此时磁场的磁感应强度B应为多少?
解析:
由规律2,画出电子在磁场中运动轨迹,如图3乙,圆心为C,半径为R。
以υ表示电子进入磁场时的速度,m、e分别表示电子的质量和电量,则
2
21υmeU=
R
mBe2
υυ=
又有R
r=2
tan
θ
×××××
图3乙
2
由以上各式解得2
tan
21θe
mUr
B=
规律3:
带电粒子速度的偏转角等于其圆弧所对的圆心角。
例2:
一质量为m,带电量为q的粒子以速度0υ从O点沿y轴正方向射入磁感应强度为B的一圆形匀强磁场区域,磁场方向垂直于纸面,粒子飞出磁场区后,从b处穿过x轴,速度方向与x轴正向夹角为30°,如图4甲所示（粒子重力忽略不计,试求圆形磁场区的最小面积。
解析:
将x轴b点处的0υ方向反向延长,交y轴于C点,速度偏转角为∠bcy,由速度方向与圆弧相切和规律3,画出轨迹,如图4
带电粒子在磁场中做匀速圆周运动qB
mRυ=
由图可知,︒='∠60bOa,磁场区域最小半径
qB
mRr2330cos0υ=
︒=
最小磁场面积22
2
02
2
43B
qmrSυππ==
三、根据带电粒子在有界磁场中运动的临界条件画轨迹。
⑴带电粒子刚好从某边界穿出磁场的临界条件,其运动轨迹与该边界相切。
⑵带电粒子不从某边界穿出磁场的临界条件,其运动轨迹与该边界相切。
例3:
一足够长的矩形区域abcd内充满磁感应强度为B,方向垂直纸面向里的匀强磁场,矩形区域的左边界
ad长为L,现从ad中点O垂直于磁场射入一速度方向与ad边夹角为30°,大小为0υ的带正电粒子,如图5甲所示,已知粒子电荷量为q,质量为m（重力不计,若要求粒子能从ab边射出磁场,0υ应满足什么条件?
解析:
要使粒子从ab边射出,就不能从dc边射出,所以轨迹圆与cd边相切,此时是粒子能从ab边射出磁场区域时轨迹圆半径最大的情况,设此半径为R1,如图5乙所示分析可知︒='∠60ROO,则有
112
60cosRLR=+
︒,得LR=1
要使粒子从ab边射出,则轨迹圆与ab边相切,此时是粒子能从ab边射出磁场区域时轨迹圆半径最
x
图4甲
x
图5甲
图5乙
3
小的情况,设此半径为R2,如图5丙所示分析可知︒='∠120QOO,则有
3
230sin222LRLRR=
=
+︒
故粒子从ab边射出的条件为LRL≤<3
根据R
m
Bq2
00υυ=,得
m
qBLm
qBL≤
<03υ。
四、根据带电粒子在磁场中运动的时间画轨迹带电粒子在磁场中运动时间T
tπ
θ
2=,通过计算,得出带电粒子运动轨迹圆
弧所对的圆心角,从而确定轨迹。
例4:
如图6甲,在axy<<>0,0的区域有垂直于纸面向里的匀强磁场,
磁感应强度大小为B。
在的axy>>,0区域有垂直于纸面向外的匀强磁场,磁感应强度大小为2B。
在O点处有一带正电粒子沿x轴射入磁场,最后会从x轴上某点射出磁场（不计重力的影响,已知该粒子在ax<<0的区域中运动的时间与在ax>的区域中运动的时间之比为2:
3。
在磁场中运动的总时间为5T/12。
其中T是该粒子在磁感应强度为B的匀强磁场中作圆周运动的周期。
试求该粒子从x轴上射出时的位置坐标。
解析:
带电粒子在磁场中运动轨迹存在着多种可能性,如图6乙所示中的几个轨迹圆弧。
因此先要通过题中给出的时间关系,求出圆弧所对的圆心角,才能画出轨迹圆弧。
设粒子在ax<<0的区域中运动的时间为t1,轨迹圆弧所对的圆心角为1θ,粒子在ax>的区域中运动时间为t2,轨迹圆弧所对圆心角为2θ,则
TTTtTtTtttt2
1,360
360
125,
32222211212
1=
=
=
=
+=θθ
以上各式联解得︒=︒=180,6021θθ,由此可得粒子运动轨迹是图6
乙中的实线。
不难求出粒子从x轴上射出时的位置坐标为ax2=。
图5丙
xx
4
五根据带电粒子在磁场中运动的轨迹半径画轨迹
根据题中给出的条件,运用RmBq/2υυ=得R=mv/Bq计算出轨迹半径,画出带电粒子在匀强磁场中的运动轨迹.
例5:
如图7所示,质量为2g的小球,带电量为-1×10-3
C。
置于水平绝缘的桌面MN上的P点,P距右端点N的距离为0.5m,小球与水平桌面之间的动摩擦因数为0.1。
桌面MN距水平面OO′高度为2.95m,过N点的竖直线CD右侧存在互相正交的匀强电场和匀强磁场,电场方向竖直向下,场强
E=20N/C,磁场方向水平向里,磁感应强度B=5T,
现突然在桌面正上方,CD线的左边区域内加一场强也为E,方向水平向左的匀强电场。
使小球MN运动,最终落在水平面OO′上,g取10m/s2,求小球从P点到刚落到水平面OO′所需的时间。
解析:
根据题意,小球从P到N点做匀加速直线运动则mamgEq=-μ,解得9=am/s2
32==
∴PNasυm/s,3
11=
=
a
tυ
s
小球从N点进入CD线右边的复合场,因NEqNmg22102,102--⨯=⨯=,电场力等于重力.所以小球在洛仑兹力的作用下做匀圆周运动,最终落在水平面OO′上。
其运动轨迹存在着多种可能性。
如图8所示中的几个轨迹圆弧,只有准确地画出轨迹,才能求解。
因此先要通过题中条件,算出轨迹圆弧的半径,才能确定轨迹圆弧是哪条。
由RmBq/2υυ=,得2.1==
Bq
mRυm
显然轨迹是图8中的实线,小球在复合场中运动时间为sBq
mTtππ4.0221212==
=
小球CD线出射后作平抛运动,于是有
23
21m,45.04.285.2gt
hh=
=-=,得st3.03=
D
O
O′
图7
D
C
O
O′
图8
5
∴小球从P点到刚落到水平面OO′所用时间
stttt89.1321=++=
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