华师网络学院数学建模在线作业题答案.docx

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华师网络学院数学建模在线作业题答案

数学建模作业题

注意事项：

作业共十题，每题十分，全部是比较简单的建模计算题，题目既是课本上的习题，在课本304~315有参考解答，又是在线题库的题目，在题库里有更详细的解答。

学员应该先自己动脑筋解决，然后才参考一下课本及题库的解答。

评分高低主要是看完成作业的态度、独立程度和表达清晰程度。

上传的作业必须是包括全部作业的单独一份word文档，必须自己录入，不允许扫描，不允许直接插入题库答案中的图片。

严重违反者，不及格。

请于有效期结束前两周提交上传作业，教师尽快批改，请学员有效期结束前一周查看成绩，不及格的学员可以在课程答疑栏目提出或者课程论坛提出重交申请，教师删除原作业后，这些学员可以在有效期结束前之前重交作业。

每人只有一次重交机会。

作业题与考试相关（当然不会一模一样），认真完成作业的学员，必将在考试取得好成绩。

一、教材76页第1章习题1第7题（来自高中数学课本的数学探究问题，满分10分）

表1.17是某地一年中10天的白昼时间（单位：

小时），请选择合适的函数模型，并进行数据拟合.

表1.17某地一年中10天的白昼时间

日期

1月1日

2月28日

3月21日

4月27日

5月6日

白昼时间

5.59

10.23

12.38

16.39

17.26

日期

6月21日

8月14日

9月23日

10月25日

11月21日

白昼时间

19.40

16.34

12.01

8.48

6.13

1.解：

根据地理常识，某地的白昼时间是以一年为周期变化的，以日期在

一年中的序号为自变量x，以白昼时间为因变量y,则根据表1.17的数据可知在一年（一个周期）内，随着x的增加，y先增后减，y大约在6月21日（夏至）达到最大值，在12月21日（冬至）达到最小值，在3月21日（春分）或9月21日（秋分）达到中间值。

选择正弦函数

y=Asin（

x—1.3712）+12.385

预测该地12月21日的白昼时间为5.49小时

二、教材100页第2章习题2第1题（满分10分）

继续考虑第2.2节“汽车刹车距离”案例，请问“两秒准则”和“一车长度准则”一样吗？

“两秒准则”是否足够安全？

对于安全车距，你有没有更好的建议？

2．解：

“两秒准则”表明前后车距D与车速ν成正比例关系D=K2ν,其中K2=2s,对于小型汽车，“一车长度准则”与“两秒准则”不一致。

由d—D=ν[κ2ν—（K2—κ1）]可以计算得到当ν＜（K2—κ1）/κ2=54.428㎞/h时有d＜D，“两秒准则”足够安全，或者吧刹车距离实测数据和“两秒准则”都画在同一幅图中，根据图形指出“两秒准则”足够安全的车速范围。

用最大刹车距离除以车速，得到最大刹车距离所需要的尾随时间，并以尾随时间为根据，提出更安全的准则，如“3秒准则”、“4秒准则”或“t秒准则”（如下图）。

t秒准则，刹车距离的模型和数据

三、教材100页第2章习题2第3题（满分10分）

继续考虑第2.3节“生猪出售时机”案例，做灵敏度分析，分别考虑农场每天投入的资金对最佳出售时机和多赚的纯利润的影响.

解：

（1）考虑每天投入的资金c发生的相对为△c/c,则生猪饲养的天数t发生的相对变化△t/t是△c/c的多少倍，即定义t对c的灵敏度为

S（t,c）=

因为△c→0，所以重新定义t对c的灵敏度为

S（t,c）=

=

×

①

由课本上可知t=

②

所以t=

-

所以t是c的减函数

为了使t﹥0，c应满足rp（0）-gω（0）-c>0

结合①②

可得S（t,c）=—

=－

=－2这个结果表示的意思是如果农场每天投入的资金c增加1%，出售时间就应该提前2%。

（2）同

（1）理总收益Q对每天投入资金c的灵敏度为

S（Q,c）=

×

③

Qmax=

④

结合③④得

Qmax=－

=－

=－4这结果表示的意思是如果每天投入的资金c增加1%，那么最大利润就会减少4%

四、教材143页第3章习题3第2题（满分10分）

某种山猫在较好、中等及较差的自然环境下，年平均增长率分别为1.68%、0.55%和-4.5%.假设开始时有100只山猫，按以下情况分别讨论山猫数量逐年变化的过程及趋势：

（1）三种自然环境下25年的变化过程，结果要列表并图示；

（2）如果每年捕获3只，山猫数量将如何变化？

会灭绝吗？

如果每年只捕获1只呢？

（3）在较差的自然环境下，如果要使山猫数量稳定在60只左右，每年要人工繁殖多少只？

①解记第k年山猫xk,设自然坏境下的年平均增长率为r，则列式得

xk+1=（1+r）xk,k=0,1,2…

其解为等比数列

xk=x0（1+r）k,k=0,1,2…

当分别取r=0.0168,0.0055和-0.0450时，山猫的数量在25年内不同的环境下的数量演变为

年较好中等较差

0100100100

110210196

210310191

310510287

410710283

510910379

611110376

711210472

811410469

911610566

1011810663

1112010660

1212210758

1312410755

1412610852

1512810950

1613110948

1713311046

1813511044

1913711142

2014011240

2114211238

2214411336

2314711335

2414911433

2515211532

从上可以得出结论：

（1）在较好的自然环境下即r=0.0168时，xk单调增趋于无穷大，山猫的数量将无限增长；

（2）在中等的自然环境下即r=0.0055时，xk单调增并且趋于稳定值；

（3）在较差的环境中即r=-0.0450时，xk单调衰减趋于0，山猫将濒临灭绝。

②若每年捕获3只,b=－3，则列式为

Xk+1=（1+r）xk－b

则山猫在25年内的演变为

年较好中等较差

0100100100

1999893

2979585

3969378

4959072

5938866

6928560

7908354

8898049

9877743

10867539

11847234

12837029

13816725

14796421

15786217

16765913

17745610

1873546

1971513

2069480

216746-3

226543-6

236340-9

246137-11

255935-14

由图上可知，无论在什么环境下，如果每年捕获山猫3只，单调减趋于0，那么最终山猫的数量都会灭绝，在较差的环境中第20年就会灭绝。

同理，如果每年人工捕获山猫1只，那么山猫在不同环境中的演变为

年较好中等较差

0100100100

110110095

21019989

31029984

41039879

51049875

61049770

71059766

81069662

91079659

101079555

111089551

121099448

131109445

141119342

151119339

161129236

171139234

181149231

191159129

201169126

211179024

221189022

231198920

241208818

251218816

如果每年人工捕获山猫一只，在较好的环境下山猫的数量仍然会一直增加，在中等的环境下，山猫的数量趋于稳定，但会慢慢减少，在较差的环境下，山猫的数量一直在减少，很快就会灭绝。

③若要使山猫的数量稳定在60只左右，设每年需要人工繁殖b只，到第k年山猫的数量为xk=（1+r）xk-1+b,k=0,1,2…

这时xk=xk-1=60，r=-4.5%，代入上式得b≈3

五、教材143页第3章习题3第4题（满分10分）

某成功人士向学院捐献20万元设立优秀本科生奖学金，学院领导打算将这笔捐款以整存整取一年定期的形式存入银行，第二年一到期就支取，取出一部分作为当年的奖学金，剩下的继续以整存整取一年定期的形式存入银行……请你研究这个问题，并向学院领导写一份报告.

解：

记存款的年利息为r,由于一开始存入银行的本金为x0,第k年存入银行的钱为Xk,并且每年取出当奖金的钱为b,则它们之间存在的关系有：

每年利息=本年存入款项⨯年利息

每年取出款项=上一年存入款项+每年利息

每年存入款项=每年取出款项-奖金

列式得：

由上式解得

由实际情况，已知x0=20（万元），r在近10多年的变化幅度在2%~4%之间，我们取3个值，分别为2%，3%，4%，

（1）当年利率为2%时，每年存入款项随奖金数变化如下

年数\奖金数额2千元4千元6千元

020.000020.000020.0000

1.000020.200020.000019.8000

2.000020.404020.000019.5960

3.000020.612120.000019.3879

4.000020.824320.000019.1757

5.000021.040820.000018.9592

6.000021.261620.000018.7384

7.000021.486920.000018.5131

8.000021.716620.000018.2834

9.000021.950920.000018.0491

10.000022.189920.000017.8101

11.000022.433720.000017.5663

12.000022.682420.000017.3176

13.000022.936120.000017.0639

14.000023.194820.000016.8052

15.000023.458720.000016.5413

16.000023.727920.000016.2721

17.000024.002420.000015.9976

18.000024.282520.000015.7175

19.000024.568120.000015.4319

20.000024.859520.000015.1405

21.000025.156720.000014.8433

22.000025.459820.000014.5402

23.000025.769020.000014.2310

24.000026.084420.000013.9156

25.000026.406120.000013.5939

26.000026.734220.000013.2658

27.000027.068920.000012.9311

28.000027.410220.000012.5898

29.000027.758420.000012.2416

30.000028.113620.000011.8864

①当年利率为2%，学金定为4千元时，因为

，经验算得知

，因此存款的数额将趋于稳定.

②当年利率为2%，奖学金的数额大于4千元时，

单调递减并且将在某一年变为零.同理，当奖学金的数额小于4千元时，存款的数额将会无限增长.

（2）当年利率为3%时，每年存入款项随奖金数变化如下

年数\奖金数额4千元6千元8千元

020.000020.000020.0000

1.000020.200020.000019.8000

2.000020.406020.000019.5940

3.000020.618220.000019.3818

4.000020.836720.000019.1633

5.000021.061820.000018.9382

6.000021.293720.000018.7063

7.000021.532520.000018.4675

8.000021.778520.000018.2215

9.000022.031820.000017.9682

10.000022.292820.000017.7072

11.000022.561620.000017.4384

12.000022.838420.000017.1616

13.000023.123620.000016.8764

14.000023.417320.000016.5827

15.000023.719820.000016.2802

16.000024.031420.000015.9686

17.000024.352320.000015.6477

18.000024.682920.000015.3171

19.000025.023420.000014.9766

20.000025.374120.000014.6259

21.000025.735320.000014.2647

22.000026.107420.000013.8926

23.000026.490620.000013.5094

24.000026.885320.000013.1147

25.000027.291920.000012.7081

26.000027.710620.000012.2894

27.000028.141920.000011.8581

28.000028.586220.000011.4138

29.000029.043820.000010.9562

30.000029.515120.000010.4849

①年利率为3%，学金定为6千元时，因为

，经验算得知

，因此存款的数额将趋于稳定.

②当年利率为3%，奖学金的数额大于6千元时，

单调递减并且将在某一年变为零.同理，当奖学金的数额小于6千元时，存款的数额将会无限增长.

（3）当年利率为4%时，每年存入款项随奖金数变化如下

年数\奖金数额6千元8千元1万元

020.000020.000020.0000

1.000020.200020.000019.8000

2.000020.408020.000019.5920

3.000020.624320.000019.3757

4.000020.849320.000019.1507

5.000021.083320.000018.9167

6.000021.326620.000018.6734

7.000021.579720.000018.4203

8.000021.842820.000018.1572

9.000022.116620.000017.8834

10.000022.401220.000017.5988

11.000022.697320.000017.3027

12.000023.005220.000016.9948

13.000023.325420.000016.6746

14.000023.658420.000016.3416

15.000024.004720.000015.9953

16.000024.364920.000015.6351

17.000024.739520.000015.2605

18.000025.129120.000014.8709

19.000025.534220.000014.4658

20.000025.955620.000014.0444

21.000026.393820.000013.6062

22.000026.849620.000013.1504

23.000027.323620.000012.6764

24.000027.816520.000012.1835

25.000028.329220.000011.6708

26.000028.862320.000011.1377

27.000029.416820.000010.5832

28.000029.993520.000010.0065

29.000030.593320.00009.4067

30.000031.217020.00008.7830

①年利率为4%，学金定为8千元时，因为

，经验算得知

，因此存款的数额将趋于稳定.

②当年利率为4%，奖学金的数额大于8千元时，

单调递减并且将在某一年变为零.同理，当奖学金的数额小于8千元时，存款的数额将会无限增长.

六、教材143页第3章习题3第5题（满分10分）

有一位老人60岁时将养老金10万元以整存零取方式（指本金一次存入，分次支取本金的一种储蓄）存入，从第一个月开始每月支取1000元，银行每月初按月利率0.3%把上月结余额孳生的利息自动存入养老金.请你计算老人多少岁时将把养老金用完？

如果想用到80岁，问60岁时应存入多少钱？

解：

记养老金第k月末的银行账户余额为xk元，则列式为

xk+1=（1+r）xk－b

根据一阶线性常系数非齐次差分方程得

xk=（x0+

）（1+r）k－

k=0,1,2,3……

由题目可知x0=100000，b=1000元，r=0.003,所以账户余额的变化如下

月份余额

010.0000

1.00009.9300

2.00009.8598

3.00009.7894

4.00009.7187

5.00009.6479

6.00009.5768

7.00009.5056

8.00009.4341

9.00009.3624

10.00009.2905

11.00009.2183

12.00009.1460

13.00009.0734

14.00009.0007

15.00008.9277

16.00008.8544

17.00008.7810

18.00008.7074

19.00008.6335

20.00008.5594

21.00008.4851

22.00008.4105

23.00008.3357

24.00008.2607

25.00008.1855

26.00008.1101

27.00008.0344

28.00007.9585

29.00007.8824

30.00007.8060

31.00007.7295

32.00007.6526

33.00007.5756

34.00007.4983

35.00007.4208

36.00007.3431

37.00007.2651

38.00007.1869

39.00007.1085

40.00007.0298

41.00006.9509

42.00006.8717

43.00006.7924

44.00006.7127

45.00006.6329

46.00006.5528

47.00006.4724

48.00006.3918

49.00006.3110

50.00006.2300

51.00006.1486

52.00006.0671

53.00005.9853

54.00005.9032

55.00005.8210

56.00005.7384

57.00005.6556

58.00005.5726

59.00005.4893

60.00005.4058

61.00005.3220

62.00005.2380

63.00005.1537

64.00005.0691

65.00004.9844

66.00004.8993

67.00004.8140

68.00004.7284

69.00004.6426

70.00004.5566

71.00004.4702

72.00004.3836

73.00004.2968

74.00004.2097

75.00004.1223

76.00004.0347

77.00003.9468

78.00003.8586

79.00003.7702

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