三年级下期奥数训练和差倍问题复习提高整理.docx
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三年级下期奥数训练和差倍问题复习提高整理
三年级下期奥数训练和差倍问题复习提高(word版可编辑修改)
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第12讲和倍、差倍、和差问题复习应用
知识网络
已知几个数的和,以及几个数之间的倍数关系,求这几个数各是多少的应用题,我们称之为和倍问题;已知几个数的差以及它们之间的倍数关系,求这几个数的应用题叫差倍问题;已知两个数的和与它们之间的差,求这两个数的问题叫做和差问题。
基本公式和方法:
(1)解答和倍问题,一般先确定一个数为标准数(即一倍数),再根据其他各数是标准数的几倍,确定总和相当于标准数的几倍,可用除法先求出标准数,进而再算出其他各数分别是多少.
基本公式:
和÷(倍数+1)=小数小数×倍数=大数或者和-小数=大数
(2)解答差倍问题,一般以小数作为标准数即一倍数,再根据大小两数间的倍数关系,确定差是标准数的多少倍,可先用除法求出小数,进而再求出大数。
基本公式:
差÷(倍数的差)=标准数(一倍数)小数×倍数=大数或者小数+差=大数
(3)解答和差问题,可以选择大数或小数作为标准数,然后进行思考。
以小数为标准,从和里减去两数差,恰好是小数的2倍,除以2可以求出小数;以大数为标准,把小数加上两数差,就与大数相等了,也就是用和加上两数差,正好是大数的2倍,除以2可以求出大数.
解答和差问题的基本公式是:
(和-差)÷2=小数 和-小数=大数
(和+差)÷2=大数 和-大数=小数
重要提示:
确定题目中数量间的倍数关系,关键是正确确定标准数,常常采用画线段图的方法,来帮助理解和解题。
经典例题
[例1]某畜牧场有牛、羊共1502只,如果牛减少50只,羊增加350只,那么羊的只数比牛的只数的3倍多2,求原来牛、羊各有多少只?
思路剖析
此题中给出的数量关系“羊的只数比牛的只数的3倍多2"是牛、羊数量减、增完后的关系。
牛减少50只,羊增加350只后,牛、羊总量发生变化:
1502-50+350=1802(只)。
这时的总量是此时牛的数量的4倍多2只,那么变化后的牛、羊数可求,原来牛、羊的数量易知。
解答
变化后牛、羊总数:
1502-50+350=1802(只)
此时牛的只数:
(1802—2)÷(3+1)=1800÷4
=450(只)
此时羊的只数:
1802-450=1352(只)
原有牛的只数:
450+50=500(只)
原有羊的只数:
1352-350=1002(只)
答:
原来有牛500只,羊1002只。
点津
在求解此题时应注意牛、羊数前后的变化及变化后的数量关系。
[例2]在悉尼奥运会上,中国队与荷兰队共获金牌40枚,中国队的金牌数比荷兰队的3倍少8枚。
中国队、荷兰队各获金牌多少枚?
思路剖析
由条件“中国队的金牌数比荷兰队的3倍少8枚",可把荷兰队的金牌数看作一份,那么中国队的金牌数为3份减8。
如果把中国队与荷兰队的金牌总数40枚再加上8枚,就等于荷兰队金牌数的4倍。
解答
荷兰队的金牌数:
(40+8)÷(3+1)=12(枚)
中国队的金牌数:
40—12=28(枚)
或者12×3-8=28(枚)
答:
中国队获金牌28枚,荷兰队获金牌12枚。
[例3]已知两数之和是649,其中一个数的个位数是0,如果把这个数个位的0去掉,则和另一个数相等,求这两个数。
思路剖析
已知两个数的和是649,又知把其中一个数个位的0去掉,即缩小10倍后与另一个数相等,可知大数是小数的10倍,那么两数之和是小数的11倍,则可先求出一倍数,然后再求出另一个数。
解答
小数:
649÷(10+1)=649÷11=59
大数:
649—59=590
或者59×10=590
答:
这两个数分别为590和59。
点津
此题中两个数之间的数量关系是间接给出的,要通过分析得出它们之间的倍数关系.
[例4]有一箱苹果和一箱桔子,已知苹果数是桔子数的3倍.若每天从苹果箱中拿出2个苹果,从桔子箱中拿出1个桔子,经过几天后,还剩下7个苹果,桔子恰好取完,问原有桔子、苹果各多少个?
思路剖析
由于每天取出2个苹果和1个桔子,则取出的苹果数是桔子的2÷1=2倍,再由条件“苹果数是桔子数的3倍,可知剩下的苹果数应是桔子的3-2=l(倍),即为桔子的个数.再由二者3倍的数量关系可求苹果数。
解答
桔子的个数:
7÷(3-2÷l)=7÷l=7(个)
苹果的个数:
7×3=21(个)
答:
有桔子7个,有苹果21个。
[例5]有两根同样长的铁丝,第一根截去14分米,第二根接上180厘米,这时第二根铁丝的长度是第一根长的3倍,两根铁丝原来各长多少分米?
思路剖析
由于变化后第二根铁丝是第一根铁丝的3倍,因此将变化后的第一根铁丝长度看作一倍数,而180厘米=18分米.变化后两根铁丝的差正好相当于第一根铁丝剩下部分的长度的2倍,所以,当从第一根截去14分米后剩下的长度(即一倍数)可以求出来了,那么两根铁丝的长度易求。
解答
180厘米=18分米
第一根铁丝截去14分米后剩下的长度:
(14+18)÷(3-1)=32÷2=16(分米)
两根铁丝原来的长度:
16+14=30(分米)
答:
两根铁丝原来的长度各为30分米。
点津
注意一倍数的选取,从两根铁丝变化后的长度差与一倍数的关系中求出一倍数.
[例6]A、B、C、D四个数,每相邻两个数的差是3,且D是A的4倍,求这四个数。
思路剖析
由于条件中给出“D是A的4倍”,只需知道D比A多多少,即D与A的差,那么此题易解。
由“每相邻两个数的差是3”,那么D与A相隔4—l=3个数,则D与A的差为:
3×3=9。
由条件“D是A的4倍”,知D比A多3倍。
把A当作一倍数,那么A值可求,B、C、D也易求.
解答
D与A的差:
3×(4-1)=9
D比A多:
4-1=3(倍)
A值为:
9÷3=3
B值为:
3+3=6
C值为:
6+3=9
D值为:
9+3=12
答:
这四个数分别为3、6、9、12.
[例7]在一道除法算式里,被除数、除数、商与余数的和是541,已知商13、余数5,求被除数和除数各是多少?
思路剖析
从四个数的总数541里面减去已知的商13、余数5,就是剩下的被除数与除数的和:
541-13—5=523。
由于余数是5,那么被除数减去5则正好是除数的13倍,这时总数为:
523-5=518,这正好是除数的13+1=14(倍),把除数看作是1倍数,则除数可求。
再根据“被除数=除数×商+余数”,可求出被除数的值.
解答
被除数与除数的和:
541-13-5=523。
除数:
(523-5)÷(13+1)=518÷14=37
被除数:
37×13+5=486或者523-37=486
答:
被除数为486,除数为37。
[例8].数学兴趣小组有学生45人,男生比女生多3人,兴趣小组男、女生各有多少人?
分析与解答:
可画线段图帮助理解:
男生:
45人
女生:
3人
方法一:
男生比女生多3人,若男生减少3人,男、女生就同样多,但总人数会因此也减少3人:
变为45-3=42(人),42人中男、女生同样多,各为42÷2=21(人);
方法二:
男生比女生多3人,若女生增加3人,男、女生就同样多,但总人数会因此也家伙少年宫3人:
变为45-3=42(人),42人中男、女生同样多,各为42÷2=21(人);
和:
45;差:
3;较小数:
女生;较大数:
男生
女生(小数):
(45—3)÷2=21(人)
男生(大数):
(45+3)÷2=24(人)
小结:
由此我们可以从中发现解决和差问题的一般公式
(和+差)÷2=大数
(和-差)÷2=小数
[例9].小丽在一次考试中,语文和数学的平均分是93分,数学比语文多4分,小丽的语文和数学各得了多少分?
分析与解答:
已知数学与语文的分数差是4分,而数学与语文的分数和没有直接告诉我们,要自己去找.从“语文和数学的平均分是93分”可求出分数和,然后利用和差问题的一般公式就可求出语、数两科的分数。
语文和数学的分数和是93×2=186,差:
4
数学(大数)(186+4)÷2=95(分)
语文(小数)(186-4)÷2=91(分)
[例10].二
(1)班和二
(2)班共有82人,如果从二
(1)班调4名学生到二
(2)班,那么两班人数相等.两个班各有学生多少人?
分析与解答:
此题和已知,关键是找到两班的人数差,从“从二
(1)班调4名学生到二
(2)班,两班人数相等”可知,二
(1)班比二
(2)班多2个4人,即多8人,利用关系式:
二
(1)班(大数):
(82+8)÷2=45人;二
(2)班(小数):
(82—8)÷2=37人。
[例11].聪聪和明明共买了20本书,如果聪聪给明明6本书,那么聪聪就比明明少2本书。
问聪聪和明明各买了多少书?
分析与解答:
从题中我们可以很容易找到“和”,“差”却没有明确告知,从“如果聪聪给明明6本书,那么聪聪就比明明少2本书”中可知:
如果给了后两人一样的话,那么聪聪比明明多6×2=12本,但是给了后聪聪比明明少2本,说明实际上聪聪比明明只多12-2=10本。
这样和差的关系都有了,就可以用和差问题的方法来解决.
聪聪的本数(大数):
(20+10)÷2=15(本)
明明的本数(小数):
(20-10)÷2=5(本)或15-10=5(本)
[例12].小明、小刚、小虎三人共有课外书49本。
小明比小刚多4本,小刚又比小虎多6本,三人各有多少本?
分析与解答:
先画图分析
小明:
小刚:
4本共49本
小虎:
6本
可看出,小明比小虎多6+4=10本,如果增加10本,小明和小虎一样多;小明比小虎多4本,再增加4本,小明和小刚一样多;即:
总数增加(6+4)+4=14本后,正好是小明的3倍,可以求出小明的数量为(49+14)÷3=21本,进而得出小刚、小虎的数量。
反之,如果将总数减少(6+4+6)本,就正好是小虎的三倍,可以先得出小虎的数量,再求其他的数量。
即:
方法一:
小明(最大数):
(49+4+6+4)÷3=21本,
小刚:
21-4=17本;小虎:
17-6=11本
方法二:
小虎(最小数):
(49—4-6—6)÷3=11本
小刚:
11+6=17本;小虎:
17+4=21本
练一练:
工厂将875元奖金奖给有发明创造的三名优秀工人,第一名比第二名多得250元,第二名比第三名多得125元,三名优秀工人各得奖金多少元?
分析与解答:
第三名(即最小数)钱数的3倍是:
875-125-125-250=375(元)
第三名的钱数为375÷3=125(元)
第二名的钱数为125+125=250(元)
第一名的钱数为250+250=500(元)
思考如果以第一名或第二名为标准又该怎样解答呢?
小结:
解决三个数之间的和差关系要注意:
在分析三个数之差时,如果以最大数为标准或以最小数为标准,总数增加或减少的量是不同的,要特别细心分析。
发散思维训练
1.小江和小天总共有52张邮票.如果从小江的邮票中拿走一张,再把3张邮票放入小天的邮票中,小天的邮票就是小江的2倍。
小江和小天各有几张邮票?
2.已知A、B、C三个数之和是131,A除以B,B除以C,商都是5,余数都是1,求这三个数。
3.甲、乙两车间的工人数相等,由于工作需要,从甲车间调57人到乙车间去,这时乙车间人数正好是甲车间人数的4倍。
求甲、乙车间原来各有多少人?
4.某农场有鸡、鸭共4571只,如果鸡减少230只,鸭增加100只,那么鸡的只数比鸭的只数的3倍多1只,求原来有鸡、鸭各多少只?
5.三个物体的平均重量是37千克,甲物体比乙、丙物体重量之和重5千克,乙物体比丙物体的2倍还重2千克,三个物体各重多少千克?
6.某校参加运动会的男生比女生的4倍少10人,比女生的3倍多22人,这个学校参加运动会的男、女生各有多少人?
7.甲、乙、丙三人的年龄和是134岁,其中甲比乙的3倍少9岁,丙比乙的2倍多5岁,求三人的年龄各是多少岁?
8.有A、B两个水塘,A塘中有水3000立方米,B塘中有水1200立方米,现从A塘中往B塘中引水,流速为每分钟50立方米,多少分钟后B塘中的水量是A塘中水量的2倍?
9.学校一、二年级工友230人,一年级比二年级少30人,一、二年级各有多少人?
10.师徒两人合作2小时,共生产零件110个,师傅每小时比徒弟多生产5个,师徒两人每小时各生产零件多少个?
11.两只油桶共装油60千克,如果把第一桶里的油倒出6千克,两个油桶中的油就一样多。
第一桶里原来有油多少千克?
12.姐妹两人共有480元零花钱,如果姐姐给妹妹34元,则两人的钱数相等,原来姐妹两人各有多少钱?
13.把长118厘米的铁丝围成一个长方形,并且要求长比宽多11厘米,那么长与宽各应该是多少?
14.把99颗大白兔糖分给甲、乙、丙三个小朋友,甲比乙多分4个,乙又比丙多分4个,甲、乙、丙三个小朋友各分得多少个糖?
15.四个人的年龄之和是77岁,其中最小的10岁,最小的与最大的年龄之和比另外两人的年龄之和大7岁,最大的年龄是多少岁?
参考答案
发散思维训练
1.解:
从小江的邮票中拿走1张,再把3张邮票放入小天的邮票中,这时邮票总数:
52-l+3=54张,这时小天的邮票是小江的2倍,那么邮票总数是小江邮票数的3倍,那么小江现有邮票数:
54÷(2+l)=18(张)
小江原有邮票数:
18+l=19(张)
小天原有邮票数:
52-19=33(张)
答:
小江有邮票19张,小天有邮票33张。
2.解:
将C看作标准数,即一倍数,因为C最小,那么B是C的5倍加1,A是B的5倍加1,即是C的[5×(5倍+l)+l]=25倍+6,三数之和为131,是标准数的1+5+25=31倍,再加上1+6=7,那么可求标准数为(131—7)÷31=124÷31=4,即C=4,那么B=4×5+l=21,A=21×5+l=106.
答:
A、B、C的值分别为106,21,4。
3.解:
把调走57人的甲车间人数看作1倍数,则乙车间调入57人后的人数是4倍数。
甲、乙两车间的人数相差4-l=3倍数,而甲、乙两车间人数相差57×2=114人,这114人正是3倍数。
那么调走57人后的甲车间人数为:
114÷3=38(人),甲、乙车间原有人数:
38+57=95(人)。
答:
两车间原来各有95人.
4.解:
若鸡减少230只,鸭增加100只,则鸡、鸭的总数变成:
4571—230+100=4441(只),此时鸡的只数比鸭的只数的3倍多1只,即总数是鸭的只数的4倍多1只,把鸭数当作1倍数,则
鸭数:
(4441—l)÷(3+1)=1110(只)
原来有鸭:
1110-100=1010(只)
原来有鸡:
4571-1010=3561(只)
答:
农场原有鸡3561只,鸭1010只。
5.解:
由甲物体比乙、丙物体的重量之和重5千克,可知甲物体是乙、丙物体重量和的1倍多5千克。
那三物体的总重量是乙、丙物体重量和的2倍多5千克。
把乙、丙物体重量和当作1倍数,三物体总重量:
37×3=111(千克),乙、丙物体的重量和:
(111-5)÷(1+l)=106÷2=53(千克),那么甲物体的重量:
111-53=58(千克)。
再由乙物体比丙物体的2倍还重2千克,知乙、丙物体的重量和是丙物体的3倍还重2千克,这时取丙物体重量为1倍数,
丙物体:
(53-2)÷(2+l)=51÷3=17(千克)
乙物体:
53-17=36(千克)或者17×2+2=36(千克)
答:
甲重58千克,乙重36千克,丙重17千克.
6.解:
由题意知,若男生人数增加10人则为女生人数的4倍;若男生人数减少22人则为女生人数的3倍。
女生人数的4倍与女生人数的3倍的差:
22+10=32(人),即女生有32人。
男生人数:
4×32-10=118(人)或者3×32+22=118(人)
答:
参加运动会的男生有118人,女生有32人.
7.解:
由题中条件易知乙的年龄最小,把乙的年龄当作1倍数,由于甲是乙的3倍少9,丙是乙的2倍多5,那么三人的年龄和是乙的1+3+2=6倍,且少9-5=4岁.
则乙的年龄:
[134+(9-5)]÷(l+3+2)=138÷6=23(岁)
甲的年龄:
23×3-9=60(岁)
丙的年龄:
23×2+5=51(岁)
答:
甲、乙、丙的年龄分别为60岁、23岁、51岁。
8.解:
A塘、B塘中共有水量:
3000+1200=4200(立方米)。
经过几分钟后使B塘中水量为A塘中水量的2倍,那么总水量为此时A塘水量的3倍,此时A塘有水:
4200÷(2+l)=1400(立方米),比原来减少:
3000-1400=1600(立方米),每分钟排水50立方米,那么所需时间:
1600÷50=32(分钟)
答:
32分钟后B塘水量为A塘的2倍。