整理重积分典型例题.docx
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整理重积分典型例题
重积分典型例题
一、二重积分的概念、性质
n
1、二重积分的概念：
f（x,y）dlim0f（i,i）i
D0i1
其中：
D：
平面有界闭区域，
：
D中最大的小区域的直径（直径：
小区域上任意两点间距离的最大值
者），
i：
D中第i个小区域的面积
2、几何意义：
当f（x,y）0时，f（x,y）d表示以曲面zf（x,y）为曲顶，D
D为底的曲顶柱体的体积。
所以1d表示区域D的面积。
D
3、性质（与定积分类似）：
:
线性性、对积分区域的可加性、比较性质、估值性质、二重积分中值定理（03年）
1、在直角坐标系下计算二重积分
（1）若D为X型积分区域：
axb,y1（x）yy2（x），则
by2（x）
f（x,y）dxdyadxy（x）f（x,y）dyDay1（x）
2）若D为Y型积分区域：
cyd,x1（y）xx2（y），则
dx2（y）
Df（x,y）dxdycdyx1（y）f（x,y）dx
3）D必须经过分割才能化为若干块X－型或者Y－型区域之和，如图，则
f（x,y）dxdy（f,x）ydxdy（,f）xydxdy（,f）xydx
DD1D2D3
（4）被积函数含有绝对值符号时，应将积分区域分割成几个子域，使被积函数在每个子域保持同一符号，以消除被积函数中的绝对值符号。
（5）对称性的应用
f（x,y）dxdy2f（x,y）dxdy,f（x,y）关于y为偶函数区域D关于x轴对称DD1
0， f（x,y）关于y为奇函数
f（x,y）dxdy2f（x,y）dxdy,f（x,y）关于x为偶函数区域D关于y轴对称DD1
0， f（x,y）关于x为奇函数
6）积分顺序的合理选择：
不仅涉及到计算繁简问题，而且又是能否进行计算
积分例1．设f（x,y）为连续函数，交换二次积分
1000dyf（x,y）dxdyf（x,y）dx的积分次序。
2
例2（08年期末考试，二，7分）计算二重积分2xy2ex2yd，其中D是由
D
y1,xy,x0所围成的区域。
elnx
例3（07年期末考试，二、3，3分）交换积分次序后，dxf（x,y）dy
例4（07年期末考试，三、7分）计算二重积分xyd，其中D是由y2x,yx2D
所围成的区域
xx
2x14x1例5（06年期末考试，一、5，3分）累次积分dx1eydydxx1eydy
11y22y
1x22x
例6（04年期末考试，一、3，3分）将积分0dx0f（x,y）dy1dx0f（x,y）dy
交换积分次序后的结果为
例7（03年期末考试，四、1，7分）计算二重积分xyd，其中D是由
D
yx,yx2所围成的区域。
例9（考研题）
若D是由yx3,y1,x1所围成的平面有界闭区域，而f（u）
是连续函数，则x[x2sinyf（x2y2）]dxdy＝；（注意对称性的应用：
D
72）
2
exdxdy，其中D是第一象限中直线D
成的区域。
5例11、用二重积分求由曲线xya2，xya（a0）所围成的平面图形的面积。
2
例12．利用二重积分计算由曲面Zx2y2，y1，z0，yx2所围成的曲顶柱体的体积。
2、在极坐标下计算二重积分
（1）极坐标下区域D的面积为：
dd
D
（2）如果被积函数为f（x2y2）,f（x2y2）,f（y）,f（arctany），或者积分区域xx
为圆域、扇形域、圆环时，则可用极坐标。
（3）若积分区域D为：
1（）2（），则
4）若积分区域D为：
0（），则
（）
f（x,y）dxdyf（cos,sin）ddd0f（cos,sin）d
DD0
5）若积分区域D为：
02,0（）
2（）
f（x,y）dxdyf（cos,sin）dd0d0f（cos,sin）d
DD
例1．计算二重积分（xy）dxdy，其中D:
x2y22ax0（a0）。
D
14x22224x222
例2、计算I01dx14x2xe（x2y2）dy12dx04xe（x2y2）dy
aaa2x21
例3、计算Idx1dy（a0）
0xx2y24a2（x2y2）
例4．（06年期末考试，六，8分）计算二重积分sin（x2y2）dxdy，其中积分D
域D为x2y24,x0,y0。
例5（04年期末考试，四、1，7分）计算二重积分2yd，其中D是由D
2a2x2y22ay（a0）所确定。
三、三重积分的概念、性质
n
1、三重积分的概念：
f（x,y,z）dvlimf（i,i,i）vi
0i1
其中：
：
空间有界闭区域，
：
中最大的小区域的直径（直径：
小区域上任意两点间距离的最大值
者），
vi：
vi中第i个小区域的体积面积
2、几何意义：
1dv表示空间闭区域的体积。
3、性质（与二重积分类似）：
:
线性性、对积分区域的可加性、比较性质等
四、三重积分的计算
1、对称性的应用
（1）若积分区域关于xoy坐标面对称，则f（x,y,z）dv
f（x,y,z）dv2f（x,y,z）dv,f（x,y）关于z为偶函数
1
0， f（x,y）关于z为奇函数
其中1为在xoy坐标面的上半部分区域
（2）若积分区域关于yoz，xoz坐标面同时对称，则f（x,y,z）dv
f（x,y,z）dv4f（x,y,z）dv,f（x,y）同时为关于x，y的偶函数
1
0， f（x,y）同时为关于x，y的奇函数
其中1为在第一、五卦限部分的区域
（3）若积分区域关于三个坐标面都对称，则f（x,y,z）dv
f（x,y,z）dv8f（x,y,z）dv,f（x,y）同时为关于x，y，z的偶函数
1
0， f（x,y）同时为关于x，y，z的奇函数
其中1为在第一卦限部分的区域
2、直角坐标系下三重积分的计算
Dxy
例如，将空间闭区域投影到xoy面：
z1（x,y）zz2（x,y）
从含有z的方程中找出下底面zz1（x,y）和上顶面zz2（x,y）
Dxy:
在xoy面上的投影区域
z2（x,y）
f（x,y,z）dvdxdyz2（x,y）f（x,y,z）dz
z1（x,y）
当然，也可以投影到yoz面上：
x1（y,z）xx2（y,z） 从含有x的方程中找出下底面xx1（y,z）:
和上顶面xx2（y,z）
Dyz:
在yoz面上的投影区域
2）截面法（先二后一法）
例如把积分区域D先向Z坐标轴投影：
czd
Dz:
对z[c,d],用过z轴且平行于xoy面底平面截所得的截面
d
f（x,y,z）dvcdzf（x,y,z）dxdy
cDz
投影到z轴上，则最后对z积分。
当被积函数仅与变量z有关，且截面Dz容易知道时，用上述公式简便
当然也可以投影到其他两个坐标轴上
3、柱坐标系下三重积分的计算
（1）计算公式：
f（x,y,z）dvf（cos,sin,z）dddz
z1（,）zz2（,）
:
Dxy:
xy1（）2（）
（2）如果被积函数为zf（x2y2）,zf（y）,zf（xy），积分区域为圆柱面（或一部分）、x
锥面、抛物面所围成时，则柱面坐标比较方便。
4、球面坐标
（1）计算公式：
f（x,y,z）dvf（rsincos,rsinsin,rcos）r2sindrdd
0,02,0r
（2）通常是先对r积分，再对积分，最后对积分。
（3）当积分区域是球形或球的一部分，或上部分是球面、下半部分是顶点在原点的锥面，被积函数为f（x2y2z2）时，则球面坐标比较方便。
例1．化三重积分If（x,y,z）dxdydz为累次积分，其中积分区域为由曲面
zx22y2及z2x2所围。
例2．设f（x）在（,）上连续，证明：
12
f（z）dv1（1z2）f（z）dz，其中
1
:
x2y2z21所围成的空间区域
例3．计算ezdv，其中:
x2y2z21
三、7分）计算Izdxdydz，其中是由x
z
所确定。
例5（07年期末考试，四、7分）计算Izdxdydz，其中是由柱面x2y21
及平面z0,z1围成的区域例6（06年期末考试，七，8分）计算zdxdydz，式中为由zxy所1z2确定的固定的圆台体。
例7（04年期末考试，二、4，3分）设是球心在原点，半径为R的球体，则x2y2z2dxdydz
例8（04年期末考试，四、2，7分）设为两球x2y2z2R2,x2y2z22Rz的公共部分，计算2zdxdydz。
例9（03年期末考试，四、2，7分）计算xdxdydz，其中是由不等式
22
x2y24,x0,y0,0z1所确定的闭区域。
例10、求曲面z4a2x2y2及zx2y2所围立体体积。
例11、计算Izx2y2dxdydz，其中是由半圆柱面x2y22x0（y0）及
平面y0,z0,za（a0）围成的区域。
11x2x2y2
例12．将三次积分Idx2dyf（x2y2z2）dz表示为球面坐标下
2sec的三次积分，则I＝；d3df（r）r2sindr
0340
例13．设是由x2y2z22z所确定的立体，试将f（x2y2,z）dv化成球
222cos
面坐标下的三次积分。
（Idsindf（r2sin2,rcos）r2dr。
）
000
1
例14、计算I1dxdydz，其中积分区域是由
222xyz
x2y2（z1）21,z1与y0确定。
五、重积分的应用
1、几何应用——求曲面的面积
2、物理应用——质量、质心、转动惯量、引力（掌握计算公式）
例1、求曲面x2y2z2a2包含在圆柱面x2y22x内那部分（记为）的面积。
例2、物体的形状是由曲面zx22y2及曲面z62x2y2所围成的立体，而该物体在点（x,y,z）的密度为p（x,y,z）2x2y2，求此物体的质量。
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