四年级数学上册思维训练教材.docx
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四年级数学上册思维训练教材
目录
第1讲平均数问题……………………………………………………1
第2讲速算与巧算……………………………………………………3
第3讲找规律…………………………………………………………5
第4讲变化规律………………………………………………………7
第5讲算式谜
（一）…………………………………………………9
第6讲算式谜
（二）…………………………………………………12
第7讲应用题…………………………………………………………15
第8讲逻辑推理………………………………………………………17
第9讲数数图形………………………………………………………21
第10讲容斥原理………………………………………………………24
第11讲简单的统筹规划问题…………………………………………27
第12讲图形问题………………………………………………………31
第13讲错中求解………………………………………………………34
第14讲数学开放题……………………………………………………36
第15讲数数与计数……………………………………………………40
终结性测试题一………………………………………………………44
终结性测试题二………………………………………………………46
第1讲平均数问题
专题简析：
我们经常用各科成绩的平均分数来比较班级之间，同学之间成绩的高低，求出各科成绩的平均数就是求平均数。
平均数在日常生活中和工作中应用很广泛，例如，求平均身高问题，求某天的平均气温等。
求平均数问题的基本数量关系是：
总数量÷总份数=平均数
解答平均数问题的关键是要确定“总数量”以及与“总数量”相对应的“总份数”，然后用总数量除以总份数求出平均数。
例1：
二
（1）班学生分三组植树，第一组有8人，共植树80棵；第二组有6人，共植树66棵；第三组有6人，共植树54棵。
平均每人植树多少棵？
分析与解答：
因为二
（1）班学生分三组植树，由问题可知“平均范围”是三个组，是按人数平均，因此所需条件是三个组植树的总棵数和三个组的总人数。
三个组植树的总棵数为：
80+66+54=200棵，总人数为：
8+6+6=20人，所以平均每人植树200÷20=10棵。
随堂练习：
电视机厂四月份前10天共生产电视机3300台，后20天共生产电视机6300台。
这个月平均每天生产电视机多少台？
例2：
王老师为四年级羽毛球队的同学测量身高。
其中两个同学身高153厘米，一个同学身高152厘米，有两个同学身高149厘米，还有两个同学身高147厘米。
求四年级羽毛球队同学的平均身高。
分析与解答：
这道题可以按照一般思路解，即用身高总和除以总人数。
这道题还可以采用假设平均数的方法求解，容易发现，同学们的身高都在150厘米左右，可以假设平均身高为150厘米，把它当作基准数，用“基数+各数与基数的差之和÷份数=平均数”。
（153×2＋152＋149×2＋147×2）÷（2＋1＋2＋2）=150厘米
或：
150＋（3×2＋2－1×2－3×2）÷（2＋1＋2＋2）=150厘米
随堂练习：
五
（1）班有7个同学参加数学竞赛，其中有两个同学得了99分，还有三个同学得了96分，另外两个同学分别得了97、89分。
这7个同学的平均成绩是多少？
例3：
从山顶到山脚的路长36千米，一辆汽车上山，需要4小时到达山顶，下山沿原路返回，只用2小时到达山脚。
求这辆汽车往返的平均速度。
分析与解答：
求往返的平均速度，要用往返的路程除以往返的时间，往返的路程是36×2=72千米，往返的时间是4+2=6小时。
所以，这辆汽车往返的平均速度是每小时行72÷6=12千米。
随堂练习：
小强家离学校有1200米，早上上学，他家到学校用了15分钟，从学校到家用了10分钟。
求小强往返的平均速度。
例4：
李华参加体育达标测试，五项平均成绩是85分，如果投掷成绩不算在内，平均成绩是83分。
李华投掷得了多少他？
分析与解答：
先求出五项的总得分：
85×5=425分，再算出四项的总分：
83×4=332分，最后用五项总分减去四项总分，就等于李华投掷的成绩：
425－332=93分。
随堂练习：
小军参加了3次数学竞赛，平均分是84分。
已知前两次平均分是82分，他第三次得了多少分？
例5：
如果四个人的平均年龄是23岁，四个人中没有小于18岁的。
那么年龄最大的人可能是多少岁？
分析与解答：
因为四个人的平均年龄是23岁，那么四个人的年龄和是23×4=92岁；又知道四个人中没有小于18岁的，如果四个人中三个人的年龄都是18岁，就可去求另一个人的年龄最大可能是92－18×3=38岁。
随堂练习：
如果三个人的平均年龄是22岁，且没有小于18岁的，那么三个人中年龄最大的可能是多少岁？
拓展训练
1、小明参加数学考试，前两次的平均分是85分，后三次的总分是270分。
求小明这五次考试的平均分数是多少。
2、二
（1）班学生分三组植树，第一组有8人，平均每人植树10棵；第二组有6人，平均每人植树11棵；第三组有6人，平均每人植树9棵。
二
（1）班平均每人植树多少棵？
3、气象小组每天早上8点测得的一周气温如下：
13℃、13℃、13℃、14℃、15℃、14℃、16℃。
求一周的平均气温。
4、敬老院有8个老人，他们的年龄分别是78岁、76岁、77岁、81岁、78岁、78岁、76岁、80岁。
求这8个老人的平均年龄。
5、李大伯上山采药，上山时他每分钟走50米，18分钟到达山顶；下山时，他沿原路返回，每分钟走75米。
求李大伯上下山的平均速度。
6、小亮上山时的速度是每小时走2千米，下山时的速度是每小时走6千米。
那么，他在上、下山全过程中的平均速度是多少千米？
7、小丽在期末考试时，数学成绩公布前她四门功课的平均分数是92分；数学成绩公布后，她的平均成绩下降了1分。
小丽的数学考了多少分？
8、某班一次外语考试，李星因病没有参加。
其他同学的平均分是95分，第二天他的补考成绩是65分，如果加上李星的成绩后，全班的平均分是94分。
这个班有多少人？
9、如果四个人的平均年龄是28岁，且没有大于30岁的。
那么最小的人的年龄可能是多少岁？
10、如果四个人的平均年龄是25岁，四个人中没有小于16岁的，且这四个人的年龄互不相等。
那么年龄最大的可能是多少岁？
第2讲速算与巧算
1.把几个互为“补数”的减数先加起来，再从被减数中减去。
例1
计算：
①300-73-27②1000-90-80-20-10
解：
①式=300-（73＋27）
＝300-100=200
②式=1000-（90＋80＋20＋10）
＝1000-200＝800
随堂练习：
计算：
500-124-56210-48-52
2.先减去那些与被减数有相同尾数的减数。
例2
计算：
①4723-（723＋189）②2356-159-256
解：
①式=4723-723-189
＝4000-189=3811
②式=2356-256-159
＝2100-159
=1941
随堂练习：
计算：
368-124-168721-59-221
3.利用“补数”把接近整十、整百、整千…的数先变整，再运算（注意把多加的数再减去，把多减的数再加上）。
例3
计算：
①506-397②467＋997
解：
①式=500＋6-400+3（把多减的3再加上）
=109
②式=467＋1000-3（把多加的3再减去）
＝1464
随堂练习：
计算：
323-189543＋198
拓展训练
1、用简便方法求差。
①1870-280-520②4995-（995-480）
③4250-294＋94④1272-995
2、用简便方法计算。
①890-198②365-296
③284＋97④342＋198
6、计算1032+1028+1033+1029+1031+1030
7、计算19998+39996+49995+69996
8、计算1208－569－208
9、计算283+69－183
10、计算2318+625－1318+375
第3讲找规律
专题简析：
对于较复杂的按规律填数的问题，我们可以从以下几个方面来思考：
1、对于几列数组成的一组数变化规律的分析，需要我们灵活地思考，没有一成不变的方法，有时需要综合运用其他知识，一种方法不行，就要及时调整思路，换一种方法再分析；
2、对于那些分布在某些图中的数，它们之间的变化规律往往与这些数在图形中的特殊位置有关，这是我们解这类题的突破口。
3、对于找到的规律，应该适合这组数中的所有数或这组算式中的所有算式。
例1：
根据下表中的排列规律，在空格里填上适当的数。
12
18
6
8
15
7
4
8
分析与解答：
经仔细观察、分析表格中的数可以发现：
12+6=18，8+7=15，即每一横行中间的数等于两边的两个数的和。
依此规律，空格中应填的数为：
4+8=12。
随堂练习：
找规律，在空格里填上适当的数。
9
16
7
8
17
5
4
12
9
16
21
5
10
11
9
6
24
4
9
12
16
7
35
30
例2：
根据前面图形中的数之间的关系，想一想第三个图形的括号里应填什么数？
分析与解答：
经仔细观察、分析可以发现前面两个圈中三个数之间有这样的关系：
5×12÷10=64×20÷10=8
根据这一规律，第三个圈中右下角应填的数为：
8×30÷10=24
随堂练习：
根据前面图形中数之间的关系，想一想第三个图形的空格里应填什么数。
（1）
例3：
先计算下面一组算式的第一题，然后找出其中的规律，并根据规律直接写出后几题的得数。
12345679×9=12345679×18=
12345679×54=12345679×81=
分析与解答：
题中每个算式的第一个因数都是12345679，它是有趣的“缺8数”，与9相乘，结果是由九个1组成的九位数，即：
111111111。
不难发现，这组题得数的规律是：
只要看每道算式的第二个因数中包含几个9，乘积中就包含几个111111111。
因为：
12345679×9=111111111
所以：
12345679×18=12345679×9×2=222222222
12345679×54=12345679×9×6=666666666
12345679×81=12345679×9×9=999999999
随堂练习：
找规律，写得数。
1+0×9=2+1×9=3+12×9=4+123×9=9+12345678×9=
例4：
找规律计算。
（1）81－18=（8－1）×9=7×9=63
（2）72—27=（7－2）×9=5×9=45
（3）63－36=（□－□）×9=□×9=□
分析与解答：
经仔细观察、分析可以发现：
一个两位数与交换它的十位、个位数字位置后的两位数相减，只要用十位与个位数字的差乘9，所得的积就是这两个数的差。
63－36=（6－3）×9=3×9=27
随堂练习：
利用规律计算。
（1）53－35
（2）82－28
例5：
计算
（1）26×11
（2）38×11
分析：
一个两位数与11相乘，只要把这个两位数的两个数字的和插入这两个数字中间，就是所求的积。
（1）26×11=2（2+6）6=286
（2）38×11=3（3+8）8=418
注意：
如果两个数字的和满十，要向前一位进一。
随堂练习：
计算下面各题。
（1）27×11
（2）32×11
拓展训练
1、根据前面图形中数之间的关系，想一想第三个图形的空格里应填什么数。
（1）
（2）
2、找规律，写得数。
（1）1×1=11×11=111×111=111111111×111111111=
（2）19+9×9=118+98×9=1117+987×9=
11116+9876×9=111115+98765×9=
3、利用规律计算。
（1）92－29
（2）61－16（3）95－59
4、找规律计算。
（1）62+26=（6+2）×11=8×11=88
（2）87+78=（8+7）×11=15×11=165
（3）54+45=（□+□）×11=□×11=□
5、计算下面各题。
（1）39×11
（2）46×11
（3）92×11（4）98×11
第4讲变化规律
例1：
两个数相加，一个加数增加9，另一个加数减少9，和是否发生变化？
分析与解答：
一个加数增加9，假如另一个加数不变，和就增加9；假如一个加数不变，另一个加数减少9，和就减少9；和先增加9，接着又减少9，所以不发生变化。
随堂练习：
1，两个数相加，一个数减8，另一个数加8，和是否变化？
2，两个数相加，一个数加3，另一个数也加3，和起什么变化？
例2：
两个数相加，如果一个加数增加10，要使和增加6，那么另一个加数应有什么变化？
分析与解答：
一个加数增加10，假如另一个加数不变，和就增加10。
现在要使和增加6，那么另一个加数应减少10－6=4。
随堂练习：
两个数相加，如果一个加数增加8，要使和增加15，另一个加数应有什么变化？
例3：
两数相减，如果被减数增加8，减数也增加8，差是否起变化？
分析与解答：
被减数增加8，假如减数不变，差就增加8；假如被减数不变，减数增加8，差就减少8。
两个数的差先增加8，接着又减少8，所以不起什么变化。
随堂练习：
两数相减，被减数减少6，减数也减少6，差是否起变化？
例4：
两数相乘，如果一个因数扩大8倍，另一个因数缩小2倍，积将有什么变化？
分析与解答：
如果一个因数扩大8倍，另一个因数不变，积将扩大8倍；如果一个因数不变，另一个因数缩小2倍，积将缩小2倍。
积先扩大8倍又缩小2倍，因此，积扩大了8÷2=4倍。
随堂练习：
两数相乘，如果一个因数缩小4倍，另一个因数扩大4倍，和是否起变化？
例5：
两数相除，如果被除数扩大4倍，除数缩小2倍，商将怎样变化？
分析与解答：
如果被除数扩大4倍，除数不变，商就扩大4倍；如果被除数不变，除数缩小2倍，商就扩大2倍。
商先扩大4倍，接着又扩大2倍，商将扩大4×2=8倍。
随堂练习：
两数相除，被除数扩大30倍，除数缩小5倍，商将怎样变化？
拓展训练
1、两个数相加，一个数减6，另一个数减2，和起什么变化？
2、两个数相加，如果一个加数增加8，要使和减少15，另一个加数应有什么变化？
3、两个数相加，如果一个加数减少8，要使和减少8，另一个加数应有什么变化？
4、两数相减，被减数增加12，减数减少12，差起什么变化？
5、两数相减，被减数减少10，减数增加10，差起什么变化？
6、两数相乘，如果一个因数扩大3倍，另一个因数缩小12倍，积将有什么变化？
7、两数相乘，如果一个因数扩大3倍，另一个因数扩大6倍，积将有什么变化？
8、两数相除，被除数缩小12倍，除数缩小2倍，商将怎样变化？
9、两数相除，除数扩大6倍，要使商扩大3倍，被除数应怎样变化?
第5讲算式谜
（一）
专题简析：
“算式谜”一般是指那些含有未知数字或缺少运算符号的算式。
解决这类问题，可以根据已学过的知识，运用正确的分析推理方法，确定算式中的未知数字和运用符号。
由于这类题目的解答过程类似全平时进行的猜谜语游戏，所以，我们把这类题目称为“算式谜题”。
解答算式谜问题时，要先仔细审题，分析数据之间的关系，找到突破口，逐步试验，分析求解，通常要运用倒推法、凑整法、估值法等。
例1：
在下面算式的括号里填上合适的数。
分析与解答：
根据题目特点，先看个位：
7＋5=12，在和的个位（）中填2，并向十位进一；再看十位，（）+4+1的和个位是1，因此，第一个加数的（）中只能填6，并向百位进1；最后来看百位、千位，6+（）+1的和的个位是2，第二个加数的（）中只能填5，并向千位进1；因此，和的千位（）中应填8。
随堂练习：
（1）在括号里填上合适的数。
（2）在方框里填上合适的数。
例2：
下面各式中“巨”、“龙”、“腾”、“飞”分别代表不同的数字，相同的汉字代表相同的数字。
当它们各代表什么数字时，下列的算式成立。
分析与解答：
先看个位，3个“飞”相加的和的个位数字是1，可推知“飞”代表7；再看十位，3个“腾”相加，再加上个位进来的2，所得的和的个位是0，可推知“腾”代表6；再看百位，两个“龙”相加，加上十位进上来的2，所得和的个位是0，“龙”可能是4或9，考虑到千位上的“巨”不可能为0，所以“龙”只能代表4，“巨”只能代表1。
随堂练习：
例3：
下面各式中的“兵”、“炮”、“马”、“卒”各代表0—9这十个数字中的某一个，相同的汉字代表相同的数字。
这些汉字各代表哪些数字？
分析与解答：
这道题应以“卒”入手来分析。
“卒”和“卒”相加和的个位数字仍然是“卒”，这个数字只能是0。
确定“卒”是0后，所有是“卒”的地方，都是0。
注意到百位上是“兵”+“兵”=“卒”，容易知道“兵”是5，“车”是1；再由十位上的情况可推知“马”是4，进而推得“炮”是2。
随堂练习：
例4：
将0、1、2、3、4、5、6这七个数字填在圆圈和方格内，每个数字恰好出现一次，组成一个整数算式。
○×○=□=○÷○
分析与解答：
要求用七个数字组成五个数，这五个数有三个是一位数，有两个是两位数。
显然，方格中的数和被除数是两位数，其他是一位数。
0和1不能填入乘法算式，也不能做除数。
由于2×6=12（2将出现两次），2×5=10（经试验不合题意），2×4=8（7个数字中没有8），2×3=6（6不能成为商）。
因此，0、1、2只能用来组成两位数。
经试验可得：
3×4=12=6=÷5
随堂练习：
（1）将0、1、3、5、6、8、9这七个数字填在圆圈和方筐里，每个数字恰好出现一次组成一个整数算式。
○×○=□=○÷○
例5：
把“＋、－、×、÷”分别放在适当的圆圈中（运算符号只能用一次），并在方框中填上适当的数，使下面的两个等式成立。
36○0○15=1521○3○5=□
分析与解答：
先从第一个等式入手，等式右边是15，与等式左边最后一个数15相同，因为0+15=15，所以，只要使36与0的运算结果为0就行。
显然，36×0+15=15
因为第一个等式已填“×”、“+”，在第二个等式中只有“－”、“÷”可以填，题目要求在方框中填整数，已知3不能被5整除，所以“÷”只能填在21与3之间，而3与5之间填“－”。
随堂练习：
把“＋、－、×、÷”分别填入下面的圆圈中，并在方框中填上适当的整数，使下面每组的两个等式成立。
①9○13○7=10014○2○5=□
②17○6○2=1005○14○7=□
拓展训练
1、下面的竖式里，有4个数字被遮住了，求竖式中被盖住的4个数字的和。
2、
3、
4、
（1）填入1、2、3、4、7、9，使等式成立。
□÷□=□÷□
（2）用1、2、3、7、8这五个数字可以列成一个算式：
（1+3）×7=28。
请你用0、1、2、3、4、6这六个数字列成一个算式。
5、将1~9这九个数字填入□中（每个数字只能用一次），组成三个等式。
□＋□=□□－□=□□×□=□
第6讲算式谜
（二）
专题简析：
解决算式谜题，关键是找准突破口，推理时应注意以下几点：
1．认真分析算式中所包含的数量关系，找出隐蔽条件，选择有特征的部分作出局部判断；
2．利用列举和筛选相结合的方法，逐步排除不合理的数字；
3．试验时，应借助估值的方法，以缩小所求数字的取值范围，达到快速而准确的目的；
4．算式谜解出后，要验算一遍。
例1：
在下面的方框中填上合适的数字。
分析与解答：
由积的末尾是0，可推出第二个因数的个位是5；由第二个因数的个位是5，并结合第一个因数与5相乘的积的情况考虑，可推出第一个因数的百位是3；由第一个因数为376与积为31□□0，可推出第二个因数的十数上是8。
题中别的数字就容易填了。
随堂练习：
在□里填上适当的数。
例2：
在下面方框中填上适合的数字。
分析与解答：
由商的十位是1，以及1与除数的乘积
的最高位是1可推知除数的十位是1。
由第一
次除后余下的数是1，可推知被除数的十位只
可能是7、8、9。
如果是7，除数的个位是0，
那么最后必有余数；如果被除数是8，除数的
个位就是1，也不能除尽；只有当被除数的十位是9时，除数的个位是2时，商的个位为6，正好除尽。
完整的竖式是：
随堂练习：
在□内填入适当的数字，
使下列除法竖式成立。
例3：
下面算式中的a、b、c、d这四个字母各代表什么数字？
分析与解答：
因为四位数abcd乘9的积是四位数，可知a是1；d和9相乘的积的个位是1，可知d只能是9；因为第二个因数9与第一个因数百位上的数b相乘的积不能进位，所以b只能是0（1已经用过）；再由b=0，可推知c=8。
随堂练习：
求下列各题中每个汉字所代表的数字。
例4：
在1、2、3、4、5、6、7、8、9这九个数字中间加上“＋、－”两种运算符号，使其结果等于100（数字的顺序不能改变）。
123456789=100
分析与解答：
先凑出与100比较接近的数，再根据需要把相邻的几个数组成一个数。
比如：
123与100比较接近，所以把前三个数字组成123，后面的数字凑出23就行。
因为45与67相差22，8与9相差1，所以得到一种解法：
123＋45－67＋8－9=100
再比如：
89与100比较接近，78与67正好相差11，所此可得另一种解法：
123＋45－67＋8－9=100
随堂练习：
（1）在下面等号左边的数字之间添上一些加号，使其结果等于99（数字的顺序不能改变）。
987654321=99
例5：
在下面的式子里添上括号，使等式成立。
7×9＋12÷3－2=23
分析与解答：
采用逆推法，从最后一步运算开始考虑。
假如最后一步是用前面计算的结果减2，那么前面式子的运算结果应等25，又因为25×3=75，而前面7×9＋12又正好等于75，所以，应给前面两步运算加括号。
（7×9＋12）÷3－2=23
随堂练习：
在下面的式子里添上括号，使等式成立。
7×9＋12÷3－2=75
拓展训练
1、在□里填上适当的数。
2、求下列各题中每个汉字所代表的数字。
3、
（1）一个乘号和七个加号添在下面的算式中合适的地方，使其结果等于100（数字的顺序不能改变）。
123456789=100
（2）添上适当的运算符号和括号，使下列等式成立。
12345=100
4、在下面的式子里添上括号，使等式成立。
（1）7×9＋12÷3－2=47
（2）88＋33－11÷11×2=5
第7讲应用题
专题简析：
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