届高三文理科数学一轮复习《等差数列及其前n项和》专题汇编学生版.docx

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届高三文理科数学一轮复习《等差数列及其前n项和》专题汇编学生版

《等差数列及其前n项和》专题

一、相关知识点

1．等差数列的有关概念

（1）定义：

如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列．符号表示为an＋1－an＝d（n∈N*，d为常数）．

（2）等差中项：

数列a，A，b成等差数列的充要条件是A＝

，其中A叫做a，b的等差中项．

2．等差数列的有关公式

（1）通项公式：

an＝a1＋（n－1）d.

（2）前n项和公式：

Sn＝na1＋

d＝

.

3．等差数列的常用性质

（1）通项公式的推广：

an＝am＋（n－m）d（n，m∈N*）．

（2）若{an}为等差数列，且m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq（m，n，p，q∈N*）．

（3）若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…（k，m∈N*）是公差为md的等差数列．

（4）若{an}，{bn}是等差数列，则{pan＋qbn}也是等差数列

（5）数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…（m∈N*）也是等差数列，公差为m2d.

（6）S2n－1＝（2n－1）an，S2n＝n（a1＋a2n）＝n（an＋an＋1），遇见S奇，S偶时可分别运用性质及有关公式求解．

（7）若{an}，{bn}均为等差数列且其前n项和为Sn，Tn，则

＝

.

（8）若{an}是等差数列，则

也是等差数列，其首项与{an}首项相同，公差是{an}的公差的

.

（9）若等差数列{an}的项数为偶数2n，则

①S2n＝n（a1＋a2n）＝…＝n（an＋an＋1）；②S偶－S奇＝nd，

＝

.

（10）若等差数列{an}的项数为奇数2n＋1，则①S2n＋1＝（2n＋1）an＋1；②

＝

.

二．等差数列的常用结论

1．等差数列前n项和的最值

在等差数列{an}中，若a1＞0，d＜0，则Sn有最大值，即所有正项之和最大，若a1＜0，

d＞0，则Sn有最小值，即所有负项之和最小．

2．等差数列的前n项和公式与函数的关系：

Sn＝

n2＋

n.

数列{an}是等差数列⇔Sn＝An2＋Bn（A，B为常数）．

题型一　等差数列基本量的运算

1．已知等差数列{an}前9项的和为27，a10＝8，则a100等于

2．记Sn为等差数列{an}的前n项和．若a4＋a5＝24，S6＝48，则{an}的公差为

3．记Sn为等差数列{an}的前n项和，若3S3＝S2＋S4，a1＝2，则a5＝

A．－12　　　B．－10

C．10　　　D．12

4．在等差数列{an}中，若前10项的和S10＝60，且a7＝7，则a4＝

5．已知数列{an}满足a1＝15，且3an＋1＝3an－2.若ak·ak＋1<0，则正整数k＝

6．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a3＝3，a5＝5，则S7的值是

7．数列{2n－1}的前10项的和是

8．已知数列{an}中a1＝1，an＋1＝an－1，则a4等于

9．设等差数列{an}的公差为d，且a1a2＝35,2a4－a6＝7，则d＝

10．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S5＝50，S10＝200，则a10＋a11的值为

11．设等差数列{an}的前n项和为Sn.若a3＝5，且S1，S5，S7成等差数列，则数列{an}的通项公式an＝________.

12．设{an}是等差数列，且a1＝3，a2＋a5＝36，则{an}的通项公式为________．

13．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a6＋a18＝54，S19＝437，则a2018的值是

14．已知数列{an}是等差数列，a1＋a7＝－8，a2＝2，则数列{an}的公差d等于

15．《张丘建算经》卷上第22题为：

“今有女善织，日益功疾．初日织五尺，今一月日织九匹三丈．”其意思为今有一女子擅长织布，且从第2天起，每天比前一天多织相同量的布，若第一天织5尺布，现在一个月（按30天计）共织390尺布．则该女子最后一天织布的尺数为（　　）

A．18B．20C．21D．25

16．设Sn为等差数列{an}的前n项和，a12＝－8，S9＝－9，则S16＝__________.

17．已知在等差数列{an}中，a1＝1，a3＝2a＋1，a5＝3a＋2，若Sn＝a1＋a2＋…＋an，且

Sk＝66，则k的值为

18．已知数列

是等差数列，且a3＝2，a9＝12，则a15＝

19．在数列{an}中，若a1＝1，a2＝

，

＝

＋

（n∈N*），则该数列的通项为（　　）

A．an＝

B．an＝

C．an＝

D．an＝

20．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：

“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何？

”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分五钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列，问五人各得多少钱？

”（“钱”是古代一种质量单位），在这个问题中，甲得________钱．（　　）

A.

B．

C.

D．

21．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a9＝

a12＋6，a2＝4，则数列

的前10项和为（　　）

A.

B．

C.

D．

22．已知等差数列{an}各项均为正数，其前n项和为Sn，若a1＝1，

＝a2，则a8＝

23．若x≠y，数列x，a1，a2，y和x，b1，b2，b3，y各自成等差数列，则

＝________.

24．设{an}是递增等差数列，前三项的和为12，前三项的积为48，则它的首项是________．

25．数列{an}满足

＝

＋1（n∈N＋），数列{bn}满足bn＝

，且b1＋b2＋…＋b9＝45，则b4b6（　　）

A．最大值为100　　B．最大值为25

C．为定值24　　D．最大值为50

26．设数列

{an}的通项公式为an＝2n－10（n∈N＋），则|a1|＋|a2|＋…＋|a

15|＝________.

27．设数列{an}满足：

a1＝1,a2＝3,且2nan＝（n－1）an－1＋（n＋1）an＋1，则a20的值是________．

28．已知等差数列{an}为递增数列，其前3项的和为－3，前3项的积为8.

（1）求数列{an}的通项公式；

（2）求数列{an}的前n项和Sn.

28．已知等差数列{an}的公差不为零，a1＝25，且a1，a11，a13成等比数列．

（1）求{an}的通项公式；

（2）求a1＋a4＋a7＋…＋a3n－2.

题型二　等差数列的性质及应用

类型一　等差数列项的性质的应用

1．在等差数列{an}中，a3＋a7＝37，则a2＋a4＋a6＋a8＝________.

2．在等差数列{an}中，3（a3＋a5）＋2（a7＋a10＋a13）＝24，则该数列前13项的和是________．

3．若数列{an}为等差数列，Sn为其前n项和，且a1＝2a3－3，则S9＝________.

4．在等差数列{an}中，a1，a2019为方程x2－10x＋16＝0的两根，则a2＋a1010＋a2018＝____

5．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S6＝39，则a3＋a4＝

6．数列{an}满足2an＝an－1＋an＋1（n≥2），且a2＋a4＋a6＝12，则a3＋a4＋a5等于

7．设等差数列{an}的前n项和为Sn，且a2＋a7＋a12＝24，则S13＝

8．等差数列{an}中，a3＋a7＝6，则{an}的前9项和等于

9．数列{an}满足2an＝an－1＋an＋1（n≥2），且a2＋a4＋a6＝12，则a3＋a4＋a5等于

10．等差数列{an}的公差为d（d≠0），且a3＋a6＋a10＋a13＝32，若am＝8，则m的值为

11．设Sn为公差不为零的等差数列{an}的前n项和，若S9＝3a8，则

等于

12．等差数列{an}的前n项和为Sn，若am＝10，S2m－1＝110，则m＝________.

类型二：

等差数列前n项和的性质

1．在项数为2n＋1的等差数列{an}中，所有奇数项的和为165，所有偶数项的和为150，则n等于（　　）

A．9B．10C．11D．12

2．等差数列{an}的前n项和为Sn且Sm－1＝－2，Sm＝0，Sm＋1＝3，m≥2，m∈N*，则m＝

3．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝9，S6＝36，则a7＋a8＋a9等于

4．已知Sn是等差数列{an}的前n项和，若a1＝－2014，

－

＝6，则S2019＝________.

5．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S10＝10，S20＝30，则S30＝________.

6．若等差数列{an}的前n项和Sn满足S4＝4，S6＝12，则S2＝

7．设Sn是等差数列{an}的前n项和，S10＝16，S100－S90＝24，则S100＝________．

8．在等差数列{an}中，a1＝－2015，其前n项和为Sn，若

－

＝2，则S2018＝

9．等差数列{an}与{bn}的前n项和分别为Sn和Tn，若

＝

，则

＝________.

10．设等差数列{an}、{bn}的前n项和分别为Sn、Tn，若对任意自然数n都有

＝

，则

＋

的值为________．

类型三：

等差数列前n项和的最值

求等差数列前n项和Sn最值的2种方法

（1）二次函数法：

利用等差数列前n项和的函数表达式Sn＝an2＋bn，通过配方或借助图象求二次函数最值的方法求解．

（2）通项变号法

①a1>0，d<0时，满足

的项数m使得Sn取得最大值为Sm；

②当a1<0，d>0时，满足

的项数m使得Sn取得最小值为Sm.　　

1．已知等差数列{an}中，a1＝11，a5＝－1，则{an}的前n项和Sn的最大值是

2．等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝13，S3＝S11，当Sn最大时，n的值是

4．等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a5＋a7＝4，a6＋a8＝－2，则当Sn取最大值时，n的值是________．

5．等差数列{an}中，已知a5>0，a4＋a7<0，则{an}的前n项和Sn的最大值为（　　）

A．S7B．S6C．S5D．S4

6．记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知a1＝－7，S3＝－15.

（1）求{an}的通项公式；

（2）求Sn，并求Sn的最小值．

7．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，n∈N*，满足a1＋a2＝10，S5＝40.

（1）求数列{an}的通项公式；

（2）设bn＝|13－an|，求数列{bn}的前n项和Tn.

8．已知等差数列{an}的前三项和为－3，前三项的积为8.

（1）求等差数列{an}的通项公式；

（2）若a2，a3，a1成等比数列，求数列{|an|}的前n项和Tn.

题型三　等差数列的判定与证明

等差数列的判定与证明方法与技巧

方法

解读

适合题型

定义法

对于数列{an}，an－an－1（n≥2，n∈N*）为同一常数⇔{an}是等差数列

解答题中的证明问题

等差中项法

2an－1＝an＋an－2（n≥3，n∈N*）成立⇔{an}是等差数列

通项公式法

an＝pn＋q（p，q为常数）对任意的正整数n都成立⇔{an}是等差数列

选择、填空题定中的判问题

前n项和公式法

验证Sn＝An2＋Bn（A，B是常数）对任意的正整数n都成立⇔{an}是等差数列

1．设数列{an}的前n项和为Sn，且an＝－2n＋1，则数列

的前11项和为

2．已知Sn是等差数列{an}的前n项和，S2＝2，S3＝－6.

（1）求数列{an}的通项公式和前n项和Sn；

（2）是否存在正整数n，使Sn，Sn＋2＋2n，Sn＋3成等差数列？

若存在，求出n；若不存在，请说明理由．

3．已知数列{an}是等差数列，且a1，a2（a1

（1）求数列{an}的前n项和Sn；

（2）在

（1）中，设bn＝

，求证：

当c＝－

时，数列{bn}是等差数列．

4．已知等差数列的前三项依次为a，4，3a，前n项和为Sn，且Sk＝110.

（1）求a及k的值；

（2）已知数列{bn}满足bn＝

，证明数列{bn}是等差数列，并求其前n项和Tn.

5．已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，an≠0，anan＋1＝λSn－1，其中λ为常数．

（1）证明：

an＋2－an＝λ；

（2）是否存在λ，使得{an}为等差数列？

并说明理由．

6．已知数列{an}中，a1＝

，an＝2－

（n≥2，n∈N*），数列{bn}满足bn＝

（n∈N*）．

（1）求证：

数列{bn}是等差数列；

（2）求数列{an}中的最大项和最小项，并说明理由．

7．已知数列{an}满足a1＝1，且nan＋1－（n＋1）an＝2n2＋2n.

（1）求a2，a3；

（2）证明数列

是等差数列，并求{an}的通项公式．

8．已知数列{an}满足a1＝2，n（an＋1－n－1）＝（n＋1）（an＋n）（n∈N*）．

（1）求证：

数列

是等差数列，并求其通项公式；

（2）设bn＝

－15，求数列{|bn|}的前n项和Tn.