（3）正态分布的性质:
①曲线位于 轴的上方,与x轴不相交;②曲线是单峰的,关于 对称;③曲线在X=μ时达到峰值 ;④当μ一定时,曲线的形状由σ确定.σ越小,曲线越“瘦高”,表示总体的分布越 ;σ越大,曲线越“矮胖”,表示总体的分布越 ;⑤曲线与x轴之间的面积为 .
基础自测
1.已知随机变量ξ服从正态分布N（2,σ2）,且P（ξ<4）=0.8,则P（0<ξ<2）等于（ ）.
A.0.6B.0.4
C.0.3D.0.2
2.某市进行一次高三教学质量抽样检测,考试后统计的所有考生的数学成绩服从正态分布.已知数学成绩平均分为90分,60分以下的人数占10%,则数学成绩在90分至120分之间的考生人数所占百分比约为（ ）.
A.10%B.20%
C.30%D.40%
3.设随机变量ξ~B（n,p）,且E（ξ）=1.6,D（ξ）=1.28,则（ ）.
A.n=8,p=0.2B.n=4,p=0.4
C.n=5,p=0.32D.n=7,p=0.45
4.已知离散型随机变量X的分布如下表.若E（X）=0,D（X）=1,则a= ,b= .
X
-1
0
1
2
P
a
b
c
5.随机变量ξ的概率分布列由下表给出:
X
7
8
9
10
P（ξ=X）
0.3
0.35
0.2
0.15
则随机变量ξ的均值是 .
指点迷津
◆样本的方差与随机变量的方差的区别
样本的方差是随着样本的不同而变化的,因此它是一个随机变量;而随机变量的方差是通过大量试验得出的,刻画了随机变量X与其均值E（X）的平均偏离程度,因此它是一个常量而非变量.
◆参数μ,σ在正态分布中的实际意义
参数μ是反映随机变量取值的平均水平的特征数,可以用样本的均值去估计;σ是衡量随机变量总体波动大小的特征数,可以用样本的标准差去估计.
考点透析
考向一 离散型随机变量的均值
例1 某中学在高三开设了4门选修课,每个学生必须只需选修1门选修课.对于该年级的甲、乙、丙3名学生,回答下面的问题:
（1）求这3名学生选择的选修课互不相同的概率;
（2）求某一选修课被3名学生选修的人数的数学期望.
【审题视点】 先求出其分布列,再运用公式计算数学期望.
【方法总结】1.求数学期望（均值）的关键是求出其分布列.若已知离散型分布列,可直接套用公式E（X）=x1p1+x2p2+…+xnpn求其数学期望（均值）.随机变量的均值是一个常数,它不依赖于样本的抽取,只要找准随机变量及相应的概率即可计算.
2.若X是随机变量,且Y=aX+b,其中a,b为常数,则Y也是随机变量,且E（Y）=aE（X）+b.
变式训练
1.（2013·天津）一个盒子里装有7张卡片,其中有红色卡片4张,编号分别为1,2,3,4;白色卡片3张,编号分别为2,3,4.从盒子中任取4张卡片（假设取到任何一张卡片的可能性相同）.
（1）求取出的4张卡片中,含有编号为3的卡片的概率;
（2）在取出的4张卡片中,红色卡片编号的最大值设为X,求随机变量X的分布列和数学期望.
考向二 离散型随机变量的方差
例2 袋中有20个大小相同的球,其中标号为0号的有10个,标号为n号的有n个（n=1,2,3,4）.现从袋中任取一球,X表示所取球的标号.
（1）求X的分布列、期望和方差;
（2）若η=aX+b,E（η）=1,D（η）=11,试求a,b的值.
【审题视点】 先求出其分布列,再求出数学期望,最后求出方差.
【方法总结】均值仅体现了随机变量取值的平均水平.如果两个随机变量的均值相等,还要看随机变量的取值如何在均值周围的变化,方差大,说明随机变量取值较分散;方差小,说明取值较集中.
变式训练
2.（2013·浙江）设袋子中装有a个红球,b个黄球,c个蓝球,且规定:
取出一个红球得1分,取出一个黄球得2分,取出一个篮球得3分.
（1）当a=3,b=2,c=1时,从该袋子中任取（有放回,且每球取到的机会均等）2个球,记随机变量ξ为取出此2球所得分数之和,求ξ的分布列;
（2）从袋子中任取（每球取到的机会均等）1个球,记随机变量η为取出此球所得分数.若
求a∶b∶c.
考向三 二项分布的均值与方差
例3 为防止风沙危害,某地决定建设防护绿化带,种植杨树、沙柳等植物.某人一次种植了n株沙柳,各株沙柳成活与是否相互独立的,成活率为p,设ξ为成活沙柳的株数,数学期望E（ξ）=3,标准差
.
（1）求n,p的值并写出ξ的分布列;
（2）若有3株或3株以上的沙柳未成活,则需要补种,求需要补种沙柳的概率.
【审题视点】 运用公式E（X）=np,D（X）=np（1-p）,求出n与p是解题的关键.
【方法总结】1.若X服从两点分布,则E（X）=p,D（X）=p（1-p）;
2.若X~B（n,p）,则E（X）=np,D（X）=np（1-p）.
变式训练
3.（2014·浙江）随机变量ξ的取值为0,1,2.若P（ξ=0）=
E（ξ）=1,则D（ξ）= .
考向四 正态分布及其应用
例4 在某项测量中,测量结果ξ服从正态分布N（1,σ2）（a>0）.若ξ在（0,1）内取值的概率为0.4,则ξ在（2,+∞）上取值的概率为 .
【方法总结】1.若连续型随机变量ξ服从正态分布,即ξ~N（μ,σ2）,则E（ξ）=μ,D（ξ）=σ2,这里μ,σ的意义是期望和标准差,μ在正态分布曲线中确定曲线的位置,而σ确定曲线的形状.如果给出两条正态分布曲线,我们可以根据正态分布曲线的位置和形状判别相应的μ和σ的大小关系.
2.正态曲线关于直线x=μ对称,从而在关于x=μ对称的区间上概率相等.正态曲线与x轴之间的面积为1.
变式训练
4.设两个正态分布N（μ1,）（σ1>0）和N（μ2,）（σ2>0）的密度函数图象如图所示,则有（ ）.
（第4题）
A.μ1<μ2,σ1<σ2
B.μ1<μ2,σ1>σ2
C.μ1>μ2,σ1<σ2
D.μ1>μ2,σ1>σ2
经典考题
典例 （2013·福建）某联欢会举行抽奖活动,举办方设置了甲、乙两种抽奖方案,方案甲的中奖率为
中奖可以获得2分;方案乙的中奖率为
中奖可以获得3分;未中奖则不得分.每人且只有一次抽奖机会,每次抽奖中奖与否互不影响,晚会结束后凭分数兑换奖品.
（1）若小明选择方案甲抽奖,小红选择方案乙抽奖,记他们的累计分为X,求X≤3的概率;
（2）若小明、小红两人都选择方案甲或都选择方案乙进行抽奖,问:
他们选择何种方案抽奖,累计得分的数学期望较大?
【解题指南】
（1）先求出x≤3的对立事件的概率,再运用公式
即可;
（2）分别求出两种方案的数学期望,再进行比较.
真题体验
1.（2014·黑龙江模拟）袋中有20个大小相同的球,其中记上0号的有10个,记上n号的有n个（n=1,2,3,4）.现从袋中任取一球,ξ表示所取球的标号.若η=aξ-2,E（η）=1,则a的值为（ ）.
A.2B.-2C.1.5D.3
2.（2014·浙江模拟）某食品企业一个月内被消费者投诉的次数用ξ表示,椐统计,随机变量ξ的概率分布如下图,则ξ的数学期望为 .
ξ
0
1
2
3
P
0.1
0.3
2a
a
3.（2014·黑龙江模拟）商场每月售出的某种商品的件数X是一个随机变量,其分布列如下表.每售出一件可获利300元,如果销售不出去,每件每月需要保养费100元.该商场月初进货9件这种商品,则销售该商品获利的期望为 .
参考答案与解析
知识梳理
1.
（1）x1p1+x2p2+…+xipi+…+xnpn 数学期望 平均水平
（2）
平均偏离程度 标准差
2.
（1）aE（X）+b
（2）a2D（X）
3.p p（1-p） np np（1-p）
4.（3）x x=μ
集中 分散 1
基础自测
1.C 2.D 3.A 4.
5.8.2
考点透析
【例2】
（1）X的分布列是
∴
变式训练
经典考题
真题体验
1.A 2.17 3.1500元
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