最值xiao问题导学案3.docx

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最值xiao问题导学案3

龙文教育学科导学案

教师:

学生:

日期:

2014/5/24星期:

六时段:

13:

00-15:

00

课题

线段和的最小值问题

学习目标与

考点分析

1、利用对称性求长度的最小值

2、会选择合适的点做出它的对称点

3、根据题目要求作图

学习重点

1、巧妙利用数形结合解决长度最小值问题；

2、根据题目的变化做出相应的变动，画出合适的图形。

学习方法

回顾总结讲练结合数形结合

学习内容与过程

典型例题讲解：

一、两点一线型的线段和最小值问题

基本图形：

方法：

作对称，

依据：

两点之间，线段最短，

数学思想：

化折为直

变式：

已知A、B是两个定点，P、Q是直线m上的两个动点，P在Q的左侧，且PQ间长度恒定,在直线m上要求P、Q两点，使得PA+PQ+QB的值最小．

（1）点A、B在直线m两侧：

（2）点A、B在直线m同侧：

例1、如图，在直角梯形ABCD中，∠ABC＝90°，AD∥BC，AD＝4，AB＝5，BC＝6，点P是AB上一个动点，当PC＋PD的和最小时，PB的长为__________．

例2、如图，等边△ABC的边长为6，AD是BC边上的中线，M是AD上的动点，E是AB边上一点，若AE=2，求EM+BM的最小值．

例3、（福建宁德）如图，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN、AM、CM.

⑴求证：

△AMB≌△ENB；

⑵①当M点在何处时，AM＋CM的值最小；

②当M点在何处时，AM＋BM＋CM的值最小，并说明理由；

⑶当AM＋BM＋CM的最小值为

时，求正方形的边长.

变式演练：

1、（2009●鄂州）已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD=2，BC=DC=5，点P在BC上移动，则当PA+PD取最小值时，△APD中边AP上的高为（　　）

2、（温州）如图，AB是⊙O的直径，AB=2，OC是⊙O的半径，OC⊥AB，点D在AC上,AD=2CD，点P是半径OC上一个动点，那么AP+PD的最小值是.

二、两点两线型：

基本图形：

已知点A位于直线m，n的内侧，在直线m、n分别上求点P、Q点，使PA+PQ+QA周长最短.

例1、如图,在锐角△ABC中,AB=2,∠BAC=45°,∠BAC的平分线交BC于点D,M,N分别是AD和AB上的动点，则BM＋MN的最小值是（）

例2、如图，已知平面直角坐标系，A，B两点的坐标分别为A（2，－3），B（4，－1）设M，N分别为x轴和y轴上的动点，请问：

是否存在这样的点M（m，0），N（0，n）,使四边形ABMN的周长最短？

若存在，请求出m＝______，n＝______（不必写解答过程）；若不存在，请说明理由．

例3、一次函数

的图象与x、y轴分别交于点A（2，0），B（0，4）．

（1）求该函数的解析式；

（2）O为坐标原点，设OA、AB的中点分别为C、D，P为OB上一动点，求PC＋PD的最小值，并求取得最小值时P点坐标．

例4、已知，如图，二次函数y=ax²+2ax﹣3a（a≠0）图象的顶点为H，与x轴交于A、B两点（B在A点右侧），点H、B关于直线L：

对称．

（1）求A、B两点坐标，并证明点A在直线l上；

（2）求二次函数解析式；

（3）过点B作直线BK∥AH交直线l于K点，M、N分别为直线AH和直线l上的两个动点，连接HN、NM、MK，求HN+NM+MK和的最小值．

类题演练：

1、如图，∠MON=30°，A在OM上，OA=2，D在ON上，OD=4，C是OM上任意一点，B是ON上任意一点，则折线ABCD的最短长度为

．

2、（浙江中考）如图，在五边形ABCDE中，∠BAE＝120°，∠B＝∠E＝90°，AB＝BC，AE＝DE，在BC，DE上分别找一点M，N，使得△AMN的周长最小时，则∠AMN＋∠ANM的度数为（　　）

3、（2013日照）：

问题背景:

如图（a）,点A、B在直线l的同侧，要在直线l上找一点C，使AC与BC的距离之和最小，我们可以作出点B关于l的对称点B′,连接AB′与直线l交于点C，则点C即为所求.

（1）实践运用：

如图（b），已知，⊙O的直径CD为4，点A在⊙O上，∠ACD=30°，B为弧AD的中点，P为直径CD上一动点，则BP+AP的最小值为__________．

（2）知识拓展：

如图（c），在Rt△ABC中，AB=10，∠BAC=45°，∠BAC的平分线交BC于点D，E、F分别是线段AD和AB上的动点，求BE+EF的最小值，并写出解答过程．

例5、（2009•河南）动手操作：

在矩形纸片ABCD中，AB=3，AD=5．如图所示，折叠纸片，使点A落在BC边上的A′处，折痕为PQ，当点A′在BC边上移动时，折痕的端点P、Q也随之移动．若限定点P、Q分别在AB、AD边上移动，则点A′在BC边上可移动的最大距离为（）

．

例6、（2011江苏盐城）

情境观察

将矩形ABCD纸片沿对角线AC剪开，得到△ABC和△A′C′D，如图1所示.将△A′C′D的顶点A′与点A重合，并绕点A按逆时针方向旋转，使点D、A（A′）、B在同一条直线上，如图2所示．

观察图2可知：

与BC相等的线段是▲，∠CAC′=▲°．

问题探究

如图3，△ABC中，AG⊥BC于点G，以A为直角顶点，分别以AB、AC为直角边，向△ABC外作等腰Rt△ABE和等腰Rt△ACF，过点E、F作射线GA的垂线，垂足分别为P、Q.试探究EP与FQ之间的数量关系，并证明你的结论.

拓展延伸

如图4，△ABC中，AG⊥BC于点G，分别以AB、AC为一边向△ABC外作矩形ABME和矩形ACNF，射线GA交EF于点H.若AB=kAE，AC=kAF，试探究HE与HF之间的数量关系，并说明理由.

例7、如图，在△ABC中，点D、E分别在边BC、AC上，连接AD、DE，且∠1=∠B=∠C．

（1）由题设条件，请写出三个正确结论：

（要求不再添加其他字母和辅助线，找结论过程中添加的字母和辅助线不能出现在结论中，不必证明）

答：

结论一：

；结论二：

；结论三：

．

（2）若∠B=45°，BC=2，当点D在BC上运动时（点D不与B、C重合），

①求CE的最大值；

②若△ADE是等腰三角形，求此时BD的长．

（注意：

在第

（2）的求解过程中，若有运用

（1）中得出的结论，须加以证明）

针对练习：

1、如图，矩形

中，∠ACB=

，将一块直角三角板的直角顶点P放在两对角线AC,BD的交点处，以点P为旋转中心转动三角板，并保证三角板的两直角边分别于边AB,BC所在的直线相交，交点分别为E,F.

（1）当PE⊥AB,PF⊥BC时，如图1，则

的值为　　　　　.

（2）现将三角板绕点P逆时针旋转

（

）角，如图2，求

的值；

（3）在

（2）的基础上继续旋转，当

，且使AP:

PC=1：

2时，如图3，

的值是否变化？

证明你的结论.

2．（2013•德州）

（1）如图1，已知△ABC，以AB、AC为边向△ABC外作等边△ABD和等边△ACE，连接BE，CD，请你完成图形，并证明：

BE=CD；（尺规作图，不写做法，保留作图痕迹）；

（2）如图2，已知△

ABC，以AB、AC为边向外作正方形ABFD和正方形ACGE，连接BE，CD，BE与CD有什么数量关系？

简单说明理由；

（3）运用

（1）、

（2）解答中所积累的经验和知识，完成下题：

如图3，要测量池塘两岸相对的两点B，E的距离，已经测得∠ABC=45°，∠CAE=90°，AB=BC=100米，AC=AE，求BE的长．

教学反思：

今天我学到了什么？

学生对于本次课的评价：

○特别满意○满意○一般○差学生签字：

教师评定：

1、学生上次作业评价：

○非常好○好○一般○需要优化

2、学生本次上课情况评价：

○非常好○好○一般○需要优化

教师签字：

主任签字：

时间：

年月日