辽宁省师大附中届高三数学上学期第一次模块考试试题理.docx
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辽宁省师大附中届高三数学上学期第一次模块考试试题理
辽宁师大附中2020届咼三年级第一次考试
数学（理科）试题
考试时间：
120分钟
一选择题：
（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
4.已知函数f（x）
.1
—log2x
1x
若X1€（1,2）
X2€（2,+g），贝y（
）
Af（xj
0,f（X2）0B
.f（X1）
0,f（X2）
0
C.f（xj
0,f（x2）0D
.f（xj
0,f（X2）
0
A.1
X2f（Xi）Xif（X2）>o，记a=碍,b=f（0.^,c=f（log25），则a,b,c的
XiX23'0.3log25
大小关系为（）A.abeb.bacC.cabD.cba
10•已知函数yf（x）是定义在R上的奇函数，且yf（x-）为偶函数，对于yf（x）有下列几种描述：
①yf（x）是周期函数；②x是它的一条对称轴；
③（，0）是它图象的一个对称中心；④当x—时，它一定取最大值。
其中正确的
2
个数是（）A1B2C3D4
11.函数f（x）Inx
与g（x）x1有公切线y
ax,（a0），则实数m的值
X1
为（）A4
B2C1D
1
2
12.定义：
若存在常数k,使得对定义域D内的任意两个x「x2为x2，均有
fX1fX2Ikx1X2成立，则称函数fx在定义域D上满足利普希茨条件.若
函数fXXX1满足利普希茨条件，则常数k的最小值为（）
1
A4B3C1D
2
二、填空题：
（本大题共4小题；每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上.）
13.能够说明“ex1恒成立”是假命题的一个x的值为.
14.已知yf（x）是奇函数，yg（x）是偶函数，它们的定义域均为［3,3］，且它们在
器0的解集是
15.下列有关命题的说法正确的是
（请填写所有正确的命题序号）
1命题“若X21，则X1”的否命题为：
“若X21，则X1”;
2命题“若xy，贝Usinxsiny”的逆否命题为真命题；
3条件p:
xx，条件q：
|x|X，贝yp是q的充分不必要条件；
4已知x0时，（x1）f'（x）0，若ABC是锐角三角形，则f（sinA）f（cosB）
16•已知函数f（x）x33x21,g（x）=兀一x+才zO，若方程g[f（x）]—a=
l-x"-6x-8,x<0
0（a>0）有6个实数根（互不相同），则实数a的取值范围是_______.
三解答题：
（本大题共6个小题，满分70分，解答应写出必要的文字说明，推理过程或
演算步骤.）
17.（本小题满分10分）
ax+b,xv0,
设函数f（x）=x且f（—2）=3,f（—1）=f
（1）.
2,x>0,
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）在如图所示的直角坐标系中画出f（x）的图象.
18.（本小题满分12分）
已知命题P：
“存在aR，使函数f（x）ax24x在（—s,2]上单调递减”，命题Q：
“存在aR,使xR,16x216（a1）x10”•若命题“PAQ”为真命题，求实数a的取值范围.
19.（本小题满分12分）（二选一）
（选修4-4:
坐标系与参数方程）在直角坐标系中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴，以相同的长度单位建立极坐标系.已知直线l的直角坐标方程为xy10,曲线C的
极坐标方程为（1cos2）2asin（a0）
J2
（1）设t为参数，若x12t，求直线l的参数方程及曲线C的普通方程；
2
（2）已知直线I与曲线C交于代B，设P（1,0），且|PA|,|AB|,|PB|依次成等比数列，
求实数a的值.
（选修4-5:
不等式选讲）已知函数f（x）|x1||x2|的最大值为t.
（1）求t的值以及此时的x的取值范围；
（2）若实数a,b满足a22bt2,证明：
2a2b21
4
20.（本小题满分12分）
.」32a
设函数f（x）xx3,g（x）xlnx，其中aR.
x
（1）若存在X1,X2[0,2]，使得f（X1）f（X2）M,求整数M的最大值；
1
（2）若对任意的s,t[,2]，都有f（t）g（s），求a的取值范围•
21.（本小题满分12分）
因客流量临时增大，某鞋店拟用一个高为50cm（即EF50cm）的平面镜自制一个竖
直摆放的简易鞋镜，根据经验：
一般顾客AB的眼睛B到地面的距离为x（cm）在区间
[140,180]内，设支架FG高为h（0h90）cm,AG100cm，顾客可视的镜像范围为CD（如图所示），记CD的长度为y（yGDGC）.
（I）当h40cm时，试求y关于x的函数关系式和y的最大值；
（II）当顾客的鞋A在镜中的像A,满足不等关系GCGA1GD（不计鞋长）时，称
顾客可在镜中看到自己的鞋，若使一般顾客都能在镜中看到自己的鞋，试求h的取值范
围•
4dCAi
22.（本小题满分12分）
一选择题：
CDDBA;ABCBBAD
二填空题：
13）0
14）
（2,1）（0,1）（2,3）
15）
②④；
16）
（1,5）
4
三解答题:
17（本小题满分
10分）
解：
（1）
a1,b
1
….5分
（2）
略
.…10分
18（本小题满分
12分）
解：
对命题
P：
0a
1
•4分
高三数学理科模块（九月）试卷答案
13
对命题Qa4分
22
由已知可得：
P真且Q真10分
一1
故实数a的取值范围为：
（一,1]12分
2
19（本小题满分12分）选修4-4:
坐标系与参数方程
由（1cos2）2asin（a0）（12cos21）2asin
22・cosasin
（2）将直线的参数方程代入
x2ay，所以曲线C的普通方程为x2ay（a0）……5分
x2ay（a0）整理得：
t2（2.2..2a）t20
分
设A,B对
甘应的参数为
t1,t2，
为上述方程的
两实根
由题：
|
AB|2|PA|
|PB|
|t1t2|2
|t1t2|a24a10
又a0
a,5
2
10分
选修4-5
:
不等式选讲
x1（2
x）3,（x1）
解:
（1）
依题意，得
f（x）
x+1（2
x）2x1（1,3）,（1
x2）
（x+1）（x
2）3,（x2）
所以t
3，此时x
[2,）
5分
（2）由
a22bt
2a
22b1
2
a12b0b
1
2
所以2a：
2b2b2
4b2
（b2）2
21
10分
4
x
0
（0自
2
3
伶2）
2
f（x）
0
-
0
+
f（x）
3
单调递减
极小值
单调递增
1
5分
当X变化时，f（x）和f（x）的变化情况如下:
可得，[f（x）]max1，[f（x）]m'
f（f）25
要使存在x1，x2[0,2]，使得f（xjf（X2）M，只需
112
M[f（x）]max[f（x）]min27，故整数M的最大值为4.
[12]st[12]
（2）由
（1）知，在2上，[f（X）]maxf
（2）1，要满足对任意的’2，
都有f（t）
[1,2]
g（s），只需g（x）1在2上恒成立,
axlnx即x
1
1在[2,2]上恒成立，分离参数可得:
令h（x）x
Inx,h（x）1x2xlnx可知当
1
[2J），h（x）0，h（x）
调递增，当x
（1,2],h（x）O,h（x）单调递减,
10分
所以h（x）在x
1处取得最大值h
（1）1,
所以a的取值范围是a1
12分
21（本小题满分12分）
解（
c
diP
1）因
为FG
40
，AG100，所以由
GC
GCAG
FG
AB'
GC
GC
100
4000
GDGDAG
，解得GC，冋理,
由
40
x
x40
EGAB
GD
GD
100—“9000
即
，解得GD-
90
x
x90
即
所以yGDGC
1000（9
x90
先）
5000
x2130x3600
x[140,180]因为y'5000
23600x-0，所以y在[140,180]上
（x2130x3600）2
单调递减，故当
x140cm时,
y取得最大值为
140cm
GC100
x
GD
GD100
GD
100（h50）
由题意知
50
GC
h50
AG
AG
GD
100h
xh
100
100（h
50）
x[140,180]
[40,70）
对x
xh50
恒成立，解得
22（本小题满分12分）
范围•
[140,180]恒成立，
50
140
2
180
2
70
50
40
12分
取值范围是
解析：
（1）f（x）0
g（x）mxnInx0（x
0）
由g（x）20
x
11
x，所以g（x）在（0,）减，m
此时g（x）min
g（-）
m
1n1,1cln0m
-tlntm
th（t）（t
0）恒成立
由h（t）=lnt
所以h（t）在（0,1）减,（1,
所以（~）min
m
h
（1）1，此时t—1m1,n
m
（2）由
（1）,令m1,n1有x1Inx0Inxx1ex1x,
x1
Inxx1（x
1）2
x1Inx
2
5分
法1:
x1
e（12a）x
af（x）
0F（x）
x1ex
ax（x1Inx）0
①当a
0时，F（x）e
x1
x
0,此时原方程无实根，
适合题意•7分
②当a
（0,1）时，F（x）
x1e
rx1
x2x=e
xx
x0,此时原方程无实根，适合
题意•…
9分
③当a
1时,F
（1）2
2a0
，由
（1）知:
x1
1
Inx,自变量取-可得：
x
Inx
1
12x
1
Inxx
1x（x1
Inx）x21
x
x
由x
1In
x,自变量取
x
e3
x
可得：
e3
彳xx
1e
（-3）3，则可得：
ex1
（x2）
3
3
27
当x
1时，
F（x）e
1xax（x1
（x2
Inx）
27
：
）3（21）
xa（x1）
（x
1）3
a（x1）2
（x
1）2（x1
a），设（x）
（x1）（a）
2
/
27
27
则F（27a1）（27a1）0,又F（x）图象在（0,）连续，
所以F（x）在［1,27a1）必有零点，方程F（x）=0有实根，不适合题意•11分
1
（或若x0F（x）-0F（x）在（0,1］必有零点，酌情给分.）
e
综上a1方程无实根12分
法2:
由
（1），令m1,n
1有x1Inx0Inxx1
x,
x1Inxx1（x1）2
x1Inx2
ex1（12a）xaxf（x）0
x1
e
G（x）1a（x1Inx）0
x
0,此时原方程无实根，适合题意
②当a（0,1）时,G（x）
ex1x
12二ex11—10，此时原方程无实根,
xx
适合题意.
③当a1时，同法1,
G（x）在［1,27a1）必有零点，原方程有实根，不适合题意
11分
综上a1方程无实根.
12分
法3:
ex1
（12a）x
af（x）0a
x1
ex
x（x1lnx）
H（x）
H（x）
（x1）[（x
x2
Inx）ex1x]（x1Inx）2
由
（1）令
1,n
1有x1lnx0
lnxx1
x1
ex，则可得:
（xlnx）ex1
ex1
x0（当且仅当
x1时，取
x（0,1）H
（x）
H（x）在（0,1）上为减函数,
x（1,
（x）0
H（x）在（1,）上为增函数,
所以x
1时,
H（x）有最小值H
（1）1；
由lnx
1，自变量取
1
丄可得:
x
Inx
Inx
x（x
lnx）x2
x（x
Inx）
Inx，自变量取
x
e3可得:
x
e3
（-3）3，则可得:
e
（X2）3
27
1时，H（x）
（x2）3
（x1）3
所以
H（x）[1,）
所以
2
x（x1lnx）27（x1）
27（x1）
11分
a1时原方程无实根.
12分
2
5.设f（x）=ln（a）是奇函数，则使f（x）v0的x的取值范围是（）
1x
A.（—1,0）B.（0,1）C.（—s,0）D.（—g,0）U（1,+s）
6.设定义在R上的函数f（x）满足f（x）•f（x+2）=13,若f
（1）=2,贝Uf（99）=（）
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