北师大版八年级数学上册第七章《平行线的证明》教案.docx
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北师大版八年级数学上册第七章《平行线的证明》教案
第七章 平行线的证明
1 为什么要证明
1．使学生经历通过观察、猜想、归纳等得到的结论不一定正确的过程认识到证明的必要性．
2．理解并掌握检验数学结论是否正确的常用方法：
实验验证、举出反例推理证明等，理解数学的严谨性．
3．发展学生的探索意识以及合作交流的习惯；关注现实，培养学生进行深入思考的能力和质疑精神．
重点
理解判断一个结论正确与否需要进行推理证明，理解并掌握应用实验进行证明、举反例验证、利用推理论证来验证某些结论是否正确的方法．
难点
体会数学推理的重要性和必要性．
一、情境导入
师：
在以前的学习过程中，我们通过观察、实验、归纳得到了很多正确的结论，那么通过观察、实验、归纳得到的结论一定正确吗？
下面我们一起来学习第七章第一节的内容：
为什么要证明．
二、探究新知
1．探究一：
观察得到的结论正确吗？
课件出示教材第162页“做一做”上面的题目．
学生凭着自己的观察和直观感觉说出想法后，组织学生动手量一量、算一算，验证结论是否正确．
然后引导学生回答下列问题．
（1）由观察得到的结论正确吗？
（2）你还能举出日常生活中的例子吗？
2．探究二：
归纳得到的结论正确吗？
（1）听故事“公鸡归纳法”．
某主妇养小鸡十只，公母各半．她预备将母鸡养大留着生蛋，公鸡则养到一百天就陆续杀以佐餐．每天早晨她拿米喂鸡，到第一百天的早晨，其中的一只公鸡正在想：
“第一天早晨有米吃，第二天早晨有米吃……第九十九天早晨有米吃，所以今天，第一百天的早晨，一定有米吃．”这时，该主妇来了，正好把这只公鸡抓去杀了．
师：
第1天有米吃，第2天有米吃……第99天有米吃，一定能推出第100天有米吃吗？
从这个故事中你明白了什么道理？
同桌之间相互交流．
（2）算一算验证“归纳法”．
课件出示教材第162页“做一做”第
（1）题．
师：
我们是不是可以由此得出结论：
当n为任意自然数时，n2－n＋11的值一定是质数呢？
让学生再多取几个数代入代数式中，验证结论是否正确．
（不正确，比如当n＝11时，n2－n＋11＝121，结果是合数．）
思考：
由归纳得到的结论一定正确吗？
（3）再次验证“归纳法”．
课件出示教材第162页“做一做”第
（2）题．
DE与BC平行，且等于BC长度的一半；引导学生尝试猜想：
连接三角形两条边的中点所得的线段平行第三条边，且是第三条边长度的一半；组织学生进行归纳并验证结论，发现这样的结论对所有的三角形都成立．
小结：
归纳得到的结论有的正确有的不正确．
3．交流与发现．
师：
通过上述几类问题的分析，你有什么发现吗？
师：
通过实验、观察、归纳得到的结论是否都正确？
怎样判断一个结论是否正确呢？
总结：
实验、观察、归纳得到的结论可能正确，也可能不正确，因此，要判断一个数学结论是否正确，仅仅依靠实验、观察、归纳是不够的，必须进行有根有据的证明．
三、举例分析
1．课件出示教材第163页“随堂练习”第1题第
（1）题．
解：
线段b与线段d在同一条直线上．
2．课件出示教材第163“随堂练习”第1题第
（2）题． 分析：
观察往往会产生错觉，得出的结论不一定正确，想要判断两条线段是否一样长，最科学、合理的方式是量一量，组织学生动手操作量一量．
解：
两条线段一样长．
四、练习巩固
观察下图，左图中间的圆圈大还是右图中间的圆圈大？
解：
一样大．
说明：
实验、观察、归纳得出的结论不一定都正确，必须推理论证后才能得出正确的结论．
五、小结
1．通过本节课的学习，我们了解了实验、观察、归纳得到的结论不一定正确，从而明白证明的意义和必要性．
2．让学生反思自己在本节课学习中的优缺点及改进的方法，并能积极地参与总结性的发言．
六、课外作业
教材第164页习题7.1第1～3题．
本节课的教学设计是建立在“以学生的发展为本，为学生的终身学习奠定基础”的教育理念上，融入了新课标的思想内涵，尊重学生的直观感觉，并从学生的直观感觉出发逐步将学生的思维引向严密性、逻辑证明等方面．不是一味地强调证明的必要性，而是通过几个事实的说明来让学生意识到证明的必要性，设计中突出体现了学生的主体地位．
2 定义与命题
第1课时 定义与命题
1．了解定义与命题的含义，会区分某些语句是不是命题；能找出命题的条件和结论．
2．用数学的观点来审视生活中或数学学习中遇到的语句特征．
3．通过对某些语句特征的判断，养成严谨的思考习惯．
重点
理解命题的概念，找出命题的条件和结论．
难点
正确找出命题的条件和结论．
一、情境导入
课件出示：
小亮和小刚正在津津有味地阅读《我们爱科学》．
小亮说：
……
小刚说：
“是的，现在因特网广泛运用于我们的生活中，给我们带来了方便，但……”小亮说：
“……”
小刚说：
“……”
小亮说：
“哈！
这个黑客终于被逮住了．”……
坐在旁边的两个人一边听着他们的谈话，一边也在悄悄议论着：
一人说：
“这黑客是个小偷吧？
”
另一人说：
“可能是喜欢穿黑衣服的贼．”……
一人说：
“那因特网肯定是一张很大的网．”
另一人说：
“估计可能是英国造的特殊的网．”……
师：
在这个故事中，你得到什么启示？
（人与人之间的交流必须在对某些名称和术语有共同认识的情况下才能进行．为此，我们需要给出它们的定义．）
二、探究新知
1．命题．
课件出示教材第165页“议一议”．
学生小组讨论，指名汇报，教师点评，并引出命题的概念．
像这样，对事情作出判断的句子，就叫做命题．即：
命题是判断一件事情的句子．例如，上面“议一议”中的
（1）
（2）（3）（4）对事情进行了判断，都是命题．
如果一个句子没有对某一事情做出任何判断，那么它就不是命题．例如，上面“议一议”中的（5）（6）都不是命题．
师：
大家能举出这样的例子吗？
学生分小组讨论回答：
任意一个三角形都有一个直角．
如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．
全等三角形的对应角相等．
……
2．命题的条件和结论．
阅读教材第166页“想一想”，完成下列小题．
（1）这些命题都有________________的结构特征．
（2）一般地，每个命题都由________和________两部分组成，________是已知的事项，________是由已知事项推断出的事项．命题通常可以写成“如果……那么……”的形式，其中“________”引出的部分是条件，“________”引出的部分是结论．
3．完成教材第166页“做一做”．
三、举例分析
1．举出一些是命题的语句．
教师引导学生回答问题．
2．举出一些不是命题的语句．
教师引导学生回答问题．
四、练习巩固
1．下列句子中哪些是命题？
（1）画线段AB＝3cm；
（2）两条直线相交，有几个交点？
（3）等于同一个角的两个角相等吗？
（4）在射线OA上，任取两点B，C.
2．指出下列命题的条件和结论．
（1）若a＞0，b＞0，则ab＞0；
（2）如果a∥b，b∥c，那么a∥c；
（3）同角的补角相等；
（4）内错角相等，两直线平行．
五、小结
1．定义的含义：
对名称和术语的含义加以描述，作出明确的规定，就是它们的定义．
2．命题的含义：
判断一件事情的句子，叫做命题，如果一个句子没有对某一件事情作出任何判断，那么它就不是命题．
六、课外作业
教材第167页习题7.2第1～3题．
教学中以学生自主探索为主，通过学生活动，了解定义的含义．通过学生的自主探索、合作交流、归纳出命题的题设和结论，加深了学生对命题结构的理解与记忆．整个教学过程中以学生讨论为主，极大地调动了学生的学习积极性，激发了学生学习的兴趣．在教学中教师要加强对已经学过的相关知识的梳理，加深对新知识的认识，逐渐形成对知识的迁移与应用．
第2课时 公理、定理及证明
1．理解公理和定理的概念；会在简单情况下判断一个命题的真假，会区分定理、公理和命题．
2．通过对真假命题的判断，培养学生树立科学严谨的学习方法．
3．使学生在接受专业知识的同时增强学习的兴趣，调动学生探索发现问题的积极性．
重点
理解公理、定理的概念．
难点
正确认识公理、定理、命题（真命题）之间的区别与联系．
一、复习导入
1．下列句子中，哪些是命题？
哪些不是命题？
（1）同一平面内的两条直线不是平行就是相交；
（2）画一个长方形和正方形；
（3）直角小于钝角；
（4）4是偶数吗？
师：
判断一件事情的句子叫做命题．命题由题设（或条件）和结论两部分组成．
2．下列命题的条件是什么？
结论是什么？
（1）如果地面是潮湿的，那么下雨了；
（2）同位角相等，两条直线平行；
（3）三角形两边之和大于第三边．
师：
在上述命题中，哪些正确？
哪些不正确？
你的理由是什么？
二、探究新知
1．真命题、假命题．
课件出示教材第166页“做一做”．
学生独立完成后，指名汇报，教师点评，并引出真命题、假命题的概念．
正确的命题称为真命题，不正确的命题称为假命题．
要说明一个命题是假命题，通常可以举出一个例子，使它具备命题的条件，而不具备命题的结论，这种例子称反例．
2．公理、定理．
指导学生阅读教材第168～169页的内容，并回答下列问题：
（1）什么叫公理？
公理的意义是什么？
（2）定理的概念是什么？
它和公理有什么区别和联系？
（3）我们学过哪些公理？
哪些定理？
小结：
（1）公理：
人类经过长期实践后公认为正确的命题，作为证实其他命题的出发点和依据．这样公认为正确的命题叫做公理．
（2）定理：
经过证明的真命题叫做定理．
（3）定理和公理都可以作为判断其他命题真假的依据．
三、举例分析
课件出示教材第169页例题．
由上面的例题，得到定理：
对顶角相等．
四、练习巩固
1．判断．
（1）所有的命题都是公理；所有的真命题都是定理．
（2）所有的定理是真命题；所有的公理是真命题．
2．请你完成下列定理的证明．
（1）同角（等角）的补角相等；
（2）同角（等角）的余角相等．
几何证明如下：
（1）已知：
∠1＝∠2，∠3是∠1的补角，∠4是∠2的补角．
求证：
∠3＝∠4.
证明：
∵∠3是∠1的补角，∠4是∠2的补角（已知），
∴∠3＝180°－∠1，∠4＝180°－∠2（补角的定义）．
∵∠1＝∠2（已知），
∴∠3＝∠4（等量代换）．
（2）证明过程与
（1）类似，鼓励学生自己证明．
五、小结
本节课的重点是了解命题中的真假命题、公理、定理的含义，通过学习学会区分命题的条件、结论，学会判别真、假命题，理解反例、证明等概念．
六、课外作业
1．下列说法正确的是（ ）
A．真命题都可以作为定理
B．公理不需要证明
C．定理不一定都要证明
D．证明只能根据定义、公理证明
2．教材第170页“随堂练习”．
本节课主要学习了公理、定理的概念，了解了判断一个命题是真命题还是假命题．教学中应注意培养学生通过举反例判断假命题的能力，应让学生明白：
经过确认可以通过逻辑推理证明的真命题才有可能作为定理，成为以后证明的依据，另外应注重培养学生知识间的联系与应用，培养学生综合运用所学知识解决问题的能力．
3 平行线的判定
1．熟练掌握平行线的判定定理；能对平行线的判定进行灵活运用，并把它们应用于几何证明中．
2．通过学生画图、讨论、推理等活动，体会证明的基本方法和过程，体验推理的严谨性和结论的确定性，同时给学生渗透化归思想和分类思想．
重点
掌握平行线的判定定理及灵活运用．
难点
平行线判定定理的应用．
一、复习导入
1．什么叫做平行线？
（同一平面内，两条直线不相交，就叫做平行线）
2．什么叫做同位角、内错角和同旁内角？
3．前面我们探索过两条直线平行的哪些判别条件？
师：
通过前面的学习我们知道，判断一个数学结论是否正确还需要有根有据的证明，那么，利用“同位角相等，两直线平行”这个基本事实，你能证明下列定理吗？
我们一起来试一试．
二、探究新知
1．平行线的判定定理一．
（1）定理：
两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．简述为：
内错角相等，两直线平行．
（2）证明这个定理需要先把定理转化成几何语言，谁能说一说，怎么转化？
（画出两条直线a，b，被第三条直线c所截，标出内错角∠1和∠2，表示如果∠1＝∠2，那么a∥b.）
已知：
如图，∠1和∠2是直线a，b被直线c截出的内错角，且∠1＝∠2.
求证：
a∥b.
（3）怎么证明呢？
请写出完整的证明过程．
证明：
∵∠1＝∠2（已知），∠1＝∠3（对顶角相等），
∴∠3＝∠2（等量代换）．
∴a∥b（同位角相等，两直线平行）．
2．平行线的判定定理二．
（1）定理：
两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．简述为：
同旁内角互补，两直线平行．
（2）让学生利用证明定理一的经验自主证明定理二．
（3）讨论：
要由同旁内角互补证明两直线平行，怎么证明？
（我们知道有基本事实“同位角相等，两直线平行”，如果能由同旁内角互补推出同位角相等，那么根据已有的这个基本事实就能证明两直线平行）
（4）学生板书证明过程．
三、举例分析
1．如图①所示，由∠DCE＝∠D，可判断哪两条直线平行？
由∠1＝∠2，可判断哪两条直线平行？
2．如图②，已知∠1＝45°，∠2＝135°，l1∥l2吗？
为什么？
学生思考后回答问题，教师点评．
四、练习巩固
1．同一平面内的四条直线若满足a⊥b，b⊥c，c⊥d，则下列式子成立的是（ ）
A．a∥d B．b⊥d C．a⊥d D．b∥c
2．如图，∠B＝60°，∠1＝________时，DE∥BC，理由是________________．
五、小结
1．如何判断两条直线平行？
2．通过这节课的学习你还有哪些收获？
六、课外作业
教材第173～174页习题7.4第1～4题．
本节课学习了判定两条直线平行的三个方法，其中一条是判定公理，另外两个是判定定理．判定公理是我们证明两直线平行的原始依据，在具体证明过程中，应根据已知条件灵活地选择判定方法．很多时候往往不能直接运用判定定理，此时需要进行适当地转化，有时需要添加必要的辅助线．注意：
作铺助线时应用虚线．
4 平行线的性质
1．掌握平行线的三条性质定理；能熟练运用这三条性质定理证明几何题；进一步理解和总结证明的步骤、格式、方法．
2．经历观察、操作、推理、交流等学习活动，进一步发展空间观念、推理能力和有条理表达的能力．
重点
掌握平行线的性质定理．
难点
平行线性质定理的应用．
一、复习导入
师：
平行线的判定方法有哪些？
师：
在上一节课中，我们证明了有关平行线的判定定理，那么对于平行线的性质，又怎么证明呢？
能运用上节课积累的方法进行证明吗？
今天这节课我们一起再来试一试证明它们．
二、探究新知
1．平行线的性质定理一．
证明：
两直线平行，同位角相等．
（1）你能用几何语言描述这样的证明题吗？
已知：
直线AB∥CD，∠1和∠2是直线AB，CD被直线EF截出的同位角．
求证：
∠1＝∠2.
（2）如果直接进行证明的话，难以找到能够作为依据的相关事实、定理，该怎么办？
（提示学生可以用反证法，假设结论错误，再从错误的结论出发推出与定理、事实相矛盾的地方，说明假设不成立，从而得证）
（3）如果∠1≠∠2，那么是否存在另外一条直线，它被第三条直线所截的∠2的另一同位角∠1′，有∠1′＝∠2呢？
（有）
（4）如果有，是否意味着这条直线和CD平行？
（是的，同位角相等，两直线平行）
这条直线可以是任意一条，也就是说我们可以过M点（AB与EF相交于点M）作这样的一条直线，此时我们发现过M点有两条直线与CD平行，这可能吗？
（不可能，过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行）
（5）这样看来假设不能成立，说明什么？
（∠1＝∠2）
（6）学生根据讨论、交流，板书证明过程．
证明：
假设∠1≠∠2，那么我们可以过点M作直线GH，使∠EMH＝∠2，如图所示．
根据“同位角相等，两直线平行”，可知GH∥CD.
又因为AB∥CD，这样经过点M存在两条直线AB和GH都与直线CD平行．
这与基本事实“过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行”相矛盾．
这说明∠1≠∠2的假设不成立，所以∠1＝∠2.
2．平行线的性质定理二．
证明：
两直线平行，内错角相等．
（1）你能用几何语言描述题目要求吗？
已知：
如图，直线l1∥l2，∠1和∠2是直线l1，l2被直线l截出的内错角．
求证：
∠1＝∠2.
（2）我们已经证明了两直线平行，同位角相等，可以将这个作为基本的事实（定理），你能尝试完成吗？
证明：
∵l1∥l2（已知），
∴∠1＝∠3（两直线平行，同位角相等）．
又∵∠2＝∠3（对顶角相等），
∴∠1＝∠2（等量代换）．
3．平行线的性质定理三．
师：
你能按照上面的思路证明两直线平行，同旁内角互补吗？
学生独立完成，指名板演，教师讲评．
三、举例分析
课件出示教材第176页例题．通过例题，得出定理：
平行于同一条直线的两条直线平行．
四、练习巩固
1．请你对比这些平行线的性质与前面所学的平行线的判定，它们有什么不同？
2．若两个角的一边在同一条直线上，另一边互相平行，那么这两个角的关系是（ ）
A．相等 B．互补 C．相等或互补 D．相等且互补
五、小结
1．这节课你有什么收获？
2．平行线的性质定理有哪些？
3．完成一个命题的证明，需要哪些环节？
六、课外作业
教材第177页习题7.5第1～4题．
本节课主要学习了平行线的三条性质定理：
两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补．平行线的性质定理和判定定理中的条件和结论刚好相反，在具体应用时要注意，当知道两条直线平行时，要利用其性质得出相关的角相等或互补，当不知道两条直线是否平行时，要用相关的角相等或互补判定两直线平行．
5 三角形内角和定理
第1课时 三角形的内角
1．掌握三角形内角和定理的证明及简单应用；灵活运用三角形内角和定理解决相关问题．
2．用多种方法证明三角形内角和定理，培养一题多解的能力．
重点
掌握三角形内角和定理的证明及简单应用．
难点
灵活运用三角形内角和定理解决相关问题．
一、情境导入
用折纸的方法验证三角形内角和定理．
先将纸片三角形一角折向其对边，使顶点落在对边上，折线与对边平行（图①），然后把另外两角相向对折，使其顶点与已折角的顶点相嵌合（图②、③），最后得图④所示的结果．
试用自己的语言说明这一结论的证明思路．想一想，还有其他折法吗？
二、探究新知
1．将纸片三角形三顶角剪下，随意将它们拼凑在一起．
试用自己的语言说明这一结论的证明思路．想一想，如果只剪下一个角呢？
2．用严谨的证明来论证三角形内角和定理．看哪个同学想的方法最多？
方法一：
过A点作DE∥BC.
∵DE∥BC，
∴________________（两直线平行，内错角相等）．
∵∠DAB＋∠BAC＋∠EAC＝180°，
∴________________（等量代换）．
方法二：
延长BC到D，过点C作射线CE∥BA.
∵CE∥BA，
∴∠B＝________________（两直线平行，同位角相等）．
∠A＝________________（两直线平行，内错角相等）．
∵∠BCA＋∠ACE＋∠ECD＝180°，
∴∠A＋∠B＋∠ACB＝________________（等量代换）．
添辅助线不是盲目的，而是为了证明某一结论，需要引用某个定义、公理、定理，但原图形不具备直接使用它们的条件，这时就需要添辅助线创造条件，以达到证明的目的．
三、举例分析
课件出示教材第179页例1.
小组合作解决问题并完成证明．
四、巩固练习
教材第179页“随堂练习”第1～3题．
五、小结
1．通过本节课的学习，我们了解证明三角形内角和定理的几种方法，学会了作辅助线创造条件以达到证明的目的．
2．让学生反思自己本节课学习中的优缺点及改进的方法．
六、课外作业
教材第180页习题7.6第1～4题．
根据课程的特点，创设问题情境，以引导学生探索、运用为主线来展开．坚持以学生为本的原则，引导学生操作、探索、讨论、归纳．在教学过程中，引导学生去探索，使学生感受到添加辅助线的教学思想，更好地掌握三角形内角和定理的证明及简单的应用，从而实现教师是引导者和学生是主体的课堂教学理念．
第2课时 三角形的外角
1．掌握三角形外角的两条性质；进一步熟悉和掌握证明的步骤、格式、方法、技巧；灵活运用三角形外角的两条性质解决相关问题．
2．进一步培养学生的逻辑思维能力和推理能力，培养学生的几何意识．
重点
掌握三角形外角的两条性质．
难点
灵活运用三角形外角的两条性质解决相关问题．
一、情境导入
师：
在证明三角形内角和定理时，用到了把△ABC的边BC延长到D得到∠ACD，这个角叫做什么角呢？
下面我们就给这个角命名，并且来研究它的性质．
二、探究新知
1．三角形外角的概念．
三角形的外角：
三角形的一条边与另一条边的反向延长线组成的角，叫做三角形的外角．
（1）如下图，∠________是△ABC的一个外角．你还能作出△ABC其他的外角吗？
（2）观察上图的外角，你能总结出三角形外角有哪些特征？
①顶点在________________上；
②一条边是三角形的____________；
③另一条边是三角形某条边的______________．
2．三角形内角和定理的推论．
课件出示：
如图，△ABC中，∠A＝70°，∠B＝60°，∠ACD是△ABC的一个外角，能由∠A、∠B求出∠ACD吗？
如果能，∠ACD与∠A、∠B有什么关系？
师：
由上面的推导过程我们可以得到两个定理：
定理1:
三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．
定理2：
三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角．
推论：
由一个基本事实或定理直接推出的定理，叫做这个基本事实或定理的推论．推论可以当做定理使用．
三、举例分析
1．课件出示教材第181页例2.
（1）要证明AD∥BC，只需证明哪两个角相等？
（2）如何利用题目中的条件？
（3）你能说说自己的解题思路吗？
（4）你还有其他的证明方法吗？
（5）大家通过小组合作能解决问题并完成证明吗？
证明：
∵∠EAC＝∠B＋∠C（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和），
∠B＝∠C（已知），
∴2∠B＝∠EAC（等式的性质）．
∵AD平分∠EAC（已知），
∴2∠DAE＝∠EAC（角平分线的定义）．
∴∠DAE＝∠B（等量代换）．
∴AD∥BC（同位角相等，两直线平行）．
2．课件出示教材第182页例3.
引导学生用不同的方法证明．
四、练习巩固
教材第183页“随堂练习”第1，2题．
五、小结
1．这节课你有什么收获？
2．三角形外角的两条定理是什么？
六、课外作业
教材第183页习题7.7第1～3题．
本节课主要学习三角形外角的两个性质．因为这两个性质是由三角形内角和定理经过推理得来的，所以这两个性质也叫三角形的内角和定理的推论．当遇到证明角的不等关系时应自然想到用三角形的外角的性质．在解决实际问题时，根据题意构建几何模型是解题的关键．
综合与实践
⊙计算器运用与功能探索
1．指导学生学会应用计算器进行实数的加、减、乘、除、乘方运算及混合运算．
2．用计算器完成较为繁杂的计
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