能量
h
v
kθ从而跃迁到激发态的概率极小，因此对热容量的贡献可以忽略。
7.能量均分定理。
对于处在平衡态的经典系统，当系统的温度为T时，粒子能量的表达式中的每一个独立平方
项的平均值为
1
2kT。
8等概率原理。
对于处在平衡态的孤立系统，系统的各种可能的微观状态出现的概率是相等的。
9.概率密度（q,p,t）的物理意义、代表点密度D（q,p,t）的物理意义及两者的关系。
（q,p,t）:
在t时刻，系统的微观运动状态代表点出现在相点（q,p）邻域，单位相空间体积内的概率。
D（q,p,t）:
在t时刻，在相点（q,p）邻域单位相空间体积内，系统的微观运动状态代表点数。
它们的关系是：
（q,p,t）
D（q,p,t）
是系综中系统总数
。
其中，N
N
填空题
al
l
al
l
e
l
1；费米分布表为
e
l
1；玻耳兹曼
1.玻色分布表为
分布表为al
le
l
。
当满足条件e
1
时，玻色分布和费米分布
均过渡到玻耳兹曼分布。
N
2玻色系统和费米系统粒子配分函数用表示，系统平均粒子数为
ln
，
ln
1
ln
U
Y
y
内能表为
，广义力表为
，
ln
ln
Sk（ln
）
熵表为
。
TT0
P
P0
；平衡稳定性条件是
3.均匀系的平衡条件是
且
P
CV0且VT0。
4.均匀开系的克劳修斯方程组包含如下四个微分方程：
dU
TdS
pdV
dn
，
dH
TdS
Vdp
dn
dG
SdT
Vdp
dn
，
dF
SdT
pdV
dn
5.对于含N个分子的双原子分子理想气体，在一般温度下，原子内部电子的运动对热容量
CV
7Nk
；温度小小于转动特征温度时，
温度大大于振动特征温度时，
2
CV
5Nk
温度大大于转动特征温度而小小于动特征温度时，
2
。
，
。
无贡献
；
CV
3Nk
。
2
6准静态过程是指过程进行中的每一个中间态均可视为平衡态
是外界对系综的作用力，可用系统的状态参量表示出来。
的过程；无摩擦准静态过程的特点
7绝热过程是指，系统状态的改变，在绝热过程中，外界对系统所做的功
完全是机械或电磁作用的结果，与具体的过程无关，仅由
而没有受到其他任何影响初终两态决定。
的过程。
8.费米分布是指，处在平衡态、孤立的费米系统，粒子在能级上的最概然分布。
9.弱简并理想玻色气体分子间存在
统计吸引作用
；弱简并理想费米气体分子间存在
统计排斥作
用。
10玻色分布是指，处在
平衡态
、孤立
的玻色系统，粒子在
能级上
的
最概然
分布。
11.
对于一单元复相系，未达到热平衡时，热量从
高温相
传至
低温相
；未达到相变平衡时，物质
从高化学势相向低化学势相
作宏观迁移。
12.
微正则系综是
大量的结构完全相同的且处于平衡态的故里系统的集合
；
微正则分布是指
在微正则系综中，系统按可能的微观态的分布
；
微正则分布是平衡态统计物理学的基本假设，它与等概率原理等价。
U
N
lnZ1
Z1表示，内能统计表达式为
13.
玻耳兹曼系统粒子配分函数用
，
Y
N
lnZ1
y
广义力统计表达式为
，熵的统计表达式为
SNk（lnZ1
lnZ1）
F
NkTlnZ1
，自由能的统计表达式为
。
B.E
l
al
1!
14.
与分布{al}相应的，玻色系统微观状态数为
l
al!
l
1!
；费米
B.E
!
al!
lal
!
系统的微观状态数
l
；玻耳兹曼系统微观状态数为
.
N!
al
al!
l
BE
l
l。
当满足条件经典近似条件时，三种微观状态数之间
B.E
F.D
1
M.E
N!
的关系为
。
15.热力学系统的四个状态量S、V、P、T所满足的麦克斯韦关系为
S
P
V
T
S
V
P
T
VT
TV,
SP
PS,PT
TP,
SV
VS。
16.设一多元复相系有个
相，每相有个
k组元，组元之间不起化学反应。
此系统平
衡时必同时满足条件：
TT
L
T
、PPL
P
、
iiL
选择题
i
（i
1,2,Lk）
。
1.系综理论所涉及三种系综有：
微正则系综、正则系综、巨正则系综，它们分别适合的系统是
（A）孤立系、闭系、开系
（B）闭系、孤立系、开系
（C）孤立系、开系、闭系
（D）开系、孤立系、闭系
2.封闭系统指
（A）与外界无物质和能量交换的系统（B）能量守衡的系统
（C）与外界无物质交换但可能有能量交换的系统（D）孤立的系统
3.有关系统与系综关系的表述是正确的是
（A）系综是大量的结构相同，外界条件相同，且彼此独立的系统的集合。
（B）系综是大量的结构不同，外界条件相同，且彼此独立的系统的集合。
（C）系综是大量的结构相同，外界条件不同，且彼此独立的系统的集合。
（D）系综是大量的结构不同，外界也条件不同的系统的集合。
4.气体的非简并条件是
（A）气体分子平均动能远远大于kT
（B）气体分子间平均距离远远大于分子德布罗意波的平均热波长
（C）气体分子数密度远远小于1
（D）气体分子间平均距离极大于它的尺度
5.由热力学基本方程
dG
SdTVdp可得麦克斯韦关系
p
S
T
V
（A）
（B）
TV
VTpS
Sp
T
p
（D）
V
S
（C）
VS
S
V
Tp
pT
6.孤立系统指
（A）与外界有能量交换但无物质交换的系统
（B）与外界既无物质交换也无能量交换的系统
（C）能量守恒的系统
（D）温度和体积均保持不变的任意系统
7.吉布斯函数作为特性函数应选取的独立态参量是
（A）温度和体积（B）温度和压强
（C）熵和体积（D）熵和压强
8.自由能作为特性函数应选取的独立态参量是
（A）温度和体积（B）温度和压强
（C）熵和体积（D）熵和压强
9.下列各式中不正确的是
（A）
（C）
H
n
U
n
（B）
S,P
（D）
P,V
F
n
G
n
T,V
T,P
10.当经典极限条件成立时，玻色分布和费米分布均过渡到
（A）麦克斯韦分布（B）微正则分布
（C）正则分布（D）玻尔兹曼分布
11.下列说法正确的是
（A）一切与热现象有关的实际宏观物理过程都是不可逆的。
（B）热力学第二定律的表述只有克氏和开氏两种说法。
（C）第一类永动机违背热力学第二定律。
（D）第二类永动机不违背热力学第二定律。
12.由热力学方程dFSdTpdV可得麦克斯韦关系
T
p
（A）
（B）
V
S
SV
V
S
（C）
（D）
T
p
pT
13.已知粒子能量表达式为
T
p
p
T
S
V
V
S
S
V
p
T
其中a、b为常量，则依据能量均分定理粒子的平均能量为
（A）3kT
（B）2kT
（C）2kT
b2
（D）
5kT
2
4a
2
14.具有确定的粒子数、确定的体积、确定的能量的系统满足
（A）微正则分布
（B）正则分布
（C）巨正则分布
（D）以上都不对
15.玻耳兹曼统计中用粒子配分函数Z1
表示的内能是
（A）UZ1
lnZ1
（B）U
lnZ1
N
1
lnZ1
（D）U
NlnZ1
（C）U
16.不考虑粒子自旋，在长度L内，动量处在px~pxdpx范围的一维自由粒子的可能的量子态数为
（A）Ldp
（B）Ldpx
（C）2Ldp
（D）2Ldpx
h
h
h
h
17.均匀开系的热力学基本方程是
（A）dF
SdT
pdV
dn
（B）dG
SdT
Vdp
dn
（C）dU
TdS
pdV
dn
（D）dH
TdS
Vdp
dn
推导与证明
1.证明:
CP
CV
P
V
T
T
TV
P
证：
CPCV
T
S
S
T
T
（1）
TP
V
∵S（T,p）S（T,V（T,p））
SS
TPTV
（2）代入
（1）
SV
（2）
VTTP
CPCV
S
V
T
T
VV
将麦氏关系：
S
P
VT
T
（3）
P
代入（3）得
V
2.证明，0K时电子气体中电子的平均速率为
v
3PF（PF为费米动量）。
4m
1（
（0））
证明：
∵0K时，f
0（（0））
在单位体积内，动量在
p~p
dp
范围内的电子的量子态数为
:
83
p2dp
h
在此范围内的电子数为
:
dNp
f
8
2
dp
h3
p
3.一容积为V的巨大容器，器壁上开有一个极小的孔与外界大气相通
，其余部分与外界绝热
。
开始时，
内部空气的温度
、压强与外界相同为
T0
P0。
假定空气可视为理想气体
，且定压摩尔热容量
cp为常
量。
给容器内的空气以极其缓慢的速率均匀加热
，使其温度升至
T
。
证明，所需热量为
Q
P0VcP
ln
T
。
R
T0
证明：
系统经历准静态过程，每一中间态均可视为平衡态
对于容器内的气体，初态
：
P0V
n0RT，任一中间态
：
P0V
n（T）RT
T0n0，
T
T
dT
T0n0cplnT
n（T）
Q
Tn（T）cpdTT0n0cpT
T
0
0
T
T0
即：
Q
PV0cp
ln
T
R
T0
4.将空窖辐射视为平衡态光子气体系统，光子是能量为
h
的玻色子，由玻色分布，每个量子态上平均
光子数
f
1
1，
试导出普朗克黑体辐射公式：
eh/kT
解：
在体积
V内，动量在
p~p+dp
范围的光子的量子态数为：
8
3Vp2dp
h
由圆频率与波矢关系：
=ck及德布罗意关系，可得：
p=
=h
c
c
故，在体积
V内，能量在
~
+d
范围内的光子的量子态数为：
在此范围内的光子数为：
故，在此范围内的辐射能量为：
5.证明焓态方程：
H
V
T
V
p
T
T
p
证：
选T、p作为状态参量时，有
dH
H
dT
H
dp
（1）
dS
S
dT
S
dp
（2）
T
p
T
p
p
T
p
T
而，
dH
TdS
Vdp
（3）
（2）代入（3）得：
dH
T
S
dT
V
T
S
（4）
dp
T
p
pT
比较
（1）、（4）得：
H
T
S
（5）
H
VT
S
Tp
T
（6）
p
V
T
pT
将麦氏关系
S
V
代入（6
），即得
pT
Tp
U
T
p
p
6.证明能态方程：
TV
VT
证：
选T、V作为状态参量时，有
U
U
dV
（1）
S
dU
dT
dS
TV
VT
T
而，
dU
TdS
pdV
（2）代入（3）得：
dU
S
S
T
dTT
T
V
V
比较
（1）、（
U
S
U
4）得：
T
（5）
T
V
T
V
V
S
p
将麦氏关系
代入（6），即得
V
T
T
S
dTdV
（2）
VT
（3）
pdV
（4）
S
Tp（6）
VT
VT
TV
7.证明，对于一维自由粒子，在长度
L
内，能量在ε~
εdε
的范围内，可能的量子态数为
D
d
L（2m）1/2
1/2d
。
h
证：
由量子态与相空间体积元之间的对应关系，对于一维自由粒子，在相空间体积元
dxdpx内的可能的
量子态数为dxdpx。
h
因此，在长度
L内，动量大小在
p~p
dp范围内粒子的可能的量子态数为
而，
1
p2，dp
md
2m
2
故，在长度L内，能量在
ε
~εdε范围内，可能的量子态数为
D
d
L（2m）1/2
1/2d。
h
8.证明，对于二维自由粒子，在面积
L
2
εdε
内，能量在ε~
范围内，可能的量子态数为
D
d
2
mL2
d
。
h2
证：
由量子态与相空间体积元之间的对应关系，对于二维自由粒子，在相空间体积元
dxdydpxdpy内的
可能的量子态数为
dxdydpxdpy
。
h
2
L2
因此，在面积
内，动量大小在
p~p
dp范围内粒子的可能的量子态数为
而，
1
p2，pdp
md
2m
故，在面积L2
内，能量在ε~ε
d
ε范围内，可能的量子态数为
D
d
2
mL2
d
。
h2
9．导出含有N个原子的爱因斯坦固体的内能和热容量表达式：
h
2
E
/T
U
3Nh
3N
CV
3Nk
E
e
2
1，
T
2
eh
eE/T
1
解：
按爱因斯坦假设，将
N个原子的运动视为
3N个线性谐振子的振动，且所有谐振子的振动频率相同。
谐振子的能级为：
（n1/2）h
（n
0,1,2L）
则，振子的配分函数为：
Z1
n0
∵lnZ1
1
h
ln（1eh
2
eh（n1/2）
eh/2
（eh）n
e
h
/2
n0
1
e
h
）
lnZ1
3Nh
3N
h
e
h
3Nh
3N
h
∴U
3N
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