届高考数学理一轮复习讲义131第1课时 绝对值不等式.docx

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届高考数学理一轮复习讲义131第1课时绝对值不等式

§13.2　不等式选讲

第1课时　绝对值不等式

最新考纲

考情考向分析

1.理解绝对值的几何意义，并了解下列不等式成立的几何意义及取等号的条件：

|a＋b|≤|a|＋|b|（a，b∈R）；|a－c|≤|a－b|＋|b－c|（a，b，c∈R）.

2.会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：

|ax＋b|≤c；|ax＋b|≥c；|x－a|＋|x－b|≥c.

本节题目常见的是解绝对值不等式、利用不等式恒成立求参数的值或范围，求含有绝对值的函数最值也是考查的热点．求解的一般方法是去掉绝对值，也可以借助数形结合求解．在高考中主要以解答题的形式考查，难度为中、低档.

1．绝对值不等式的解法

（1）含绝对值的不等式|x|a的解集

不等式

a>0

a＝0

a<0

|x|

（－a，a）

∅

∅

|x|>a

（－∞，－a）∪（a，＋∞）

（－∞，0）∪（0，＋∞）

R

（2）|ax＋b|≤c（c>0）和|ax＋b|≥c（c>0）型不等式的解法

①|ax＋b|≤c⇔－c≤ax＋b≤c；

②|ax＋b|≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c.

（3）|x－a|＋|x－b|≥c（c>0）和|x－a|＋|x－b|≤c（c>0）型不等式的解法

①利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；

②利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；

③通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．

2．含有绝对值的不等式的性质

（1）如果a，b是实数，则||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|.

（2）如果a，b，c是实数，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，当且仅当（a－b）（b－c）≥0时，等号成立．

概念方法微思考

1．绝对值三角不等式的向量形式及几何意义是什么？

提示　当a，b不共线时，|a|＋|b|>|a＋b|，它的几何意义就是三角形的两边之和大于第三边．

2．用“零点分段法”解含有n个绝对值的不等式时，需把数轴分成几段？

提示　一般地，n个绝对值对应n个零点，n个零点应把数轴分成（n＋1）段．

题组一　思考辨析

1．判断下列结论是否正确（请在括号中打“√”或“×”）

（1）若|x|>c的解集为R，则c≤0.（　×　）

（2）不等式|x－1|＋|x＋2|<2的解集为∅.（　√　）

（3）对|a＋b|≥|a|－|b|当且仅当a>b>0时等号成立．（　×　）

（4）对|a|－|b|≤|a－b|当且仅当|a|≥|b|时等号成立．（　×　）

（5）对|a－b|≤|a|＋|b|当且仅当ab≤0时等号成立．（　√　）

题组二　教材改编

2．不等式3≤|5－2x|<9的解集为（　　）

A．[－2,1）∪[4,7）B．（－2,1]∪（4,7]

C．（－2，－1]∪[4,7）D．（－2,1]∪[4,7）

答案　D

解析　由题意得

即

解得

不等式的解集为（－2,1]∪[4,7）．

3．求不等式|x－1|－|x－5|<2的解集．

解　①当x≤1时，原不等式可化为1－x－（5－x）<2，

∴－4<2，不等式恒成立，∴x≤1；

②当1

∴x<4，∴1

③当x≥5时，原不等式可化为x－1－（x－5）<2，该不等式不成立．

综上，原不等式的解集为（－∞，4）．

题组三　易错自纠

4．若不等式|kx－4|≤2的解集为{x|1≤x≤3}，则实数k＝__________.

答案　2

解析　∵|kx－4|≤2，∴－2≤kx－4≤2，∴2≤kx≤6.

∵不等式的解集为{x|1≤x≤3}，∴k＝2.

5．已知a，b，c是正实数，且a＋b＋c＝1，则

＋

＋

的最小值为________．

答案　9

解析　把a＋b＋c＝1代入到

＋

＋

中，

得

＋

＋

＝3＋

＋

＋

≥3＋2＋2＋2＝9，

当且仅当a＝b＝c＝

时，等号成立．

题型一　绝对值不等式的解法

例1

（1）解不等式x＋|2x＋3|≥2.

解　原不等式可化为

或

解得x≤－5或x≥－

.

综上，原不等式的解集是

.

（2）（2017·全国Ⅰ）已知函数f（x）＝－x2＋ax＋4，g（x）＝|x＋1|＋|x－1|.

①当a＝1时，求不等式f（x）≥g（x）的解集；

②若不等式f（x）≥g（x）的解集包含[－1,1]，求a的取值范围．

解　①当a＝1时，不等式f（x）≥g（x）等价于

x2－x＋|x＋1|＋|x－1|－4≤0.（*）

当x<－1时，（*）式化为x2－3x－4≤0，无解；

当－1≤x≤1时，（*）式化为x2－x－2≤0，

从而－1≤x≤1；

当x>1时，（*）式化为x2＋x－4≤0，

从而1

.

所以f（x）≥g（x）的解集为

.

②当x∈[－1,1]时，g（x）＝2，

所以f（x）≥g（x）的解集包含[－1,1]等价于

当x∈[－1,1]时，f（x）≥2.

又f（x）在[－1,1]上的最小值必为f（－1）与f

（1）之一，

所以f（－1）≥2且f

（1）≥2，得－1≤a≤1.

所以a的取值范围为[－1,1]．

思维升华解绝对值不等式的基本方法

（1）利用绝对值的定义，通过分类讨论转化为解不含绝对值符号的普通不等式．

（2）当不等式两端均为正号时，可通过两边平方的方法，转化为解不含绝对值符号的普通不等式．

（3）利用绝对值的几何意义，数形结合求解．

跟踪训练1已知函数f（x）＝|x＋1|－2|x－a|，a>0.

（1）当a＝1时，求不等式f（x）>1的解集；

（2）若f（x）的图象与x轴围成的三角形的面积大于6，求a的取值范围．

解　

（1）当a＝1时，

f（x）>1化为|x＋1|－2|x－1|－1>0.

当x≤－1时，不等式化为x－4>0，无解；

当－10，解得

当x≥1时，不等式化为－x＋2>0，解得1≤x<2.

所以f（x）>1的解集为

.

（2）由题设可得，f（x）＝

所以函数f（x）的图象与x轴围成的三角形的三个顶点分别为A

，B（2a＋1,0），C（a，a＋1），

△ABC的面积为

（a＋1）2.

由题设得

（a＋1）2>6，故a>2.

所以a的取值范围为（2，＋∞）．

题型二　利用绝对值不等式求最值

例2

（1）对任意x，y∈R，求|x－1|＋|x|＋|y－1|＋|y＋1|的最小值；

（2）对于实数x，y，若|x－1|≤1，|y－2|≤1，求|x－2y＋1|的最大值．

解　

（1）∵x，y∈R，

∴|x－1|＋|x|≥|（x－1）－x|＝1，

当且仅当0≤x≤1时等号成立，

∴|y－1|＋|y＋1|≥|（y－1）－（y＋1）|＝2，

当且仅当－1≤y≤1时等号成立，

∴|x－1|＋|x|＋|y－1|＋|y＋1|≥1＋2＝3，

当且仅当0≤x≤1，－1≤y≤1同时成立时等号成立．

∴|x－1|＋|x|＋|y－1|＋|y＋1|的最小值为3.

（2）|x－2y＋1|＝|（x－1）－2（y－1）|≤|x－1|＋|2（y－2）＋2|≤1＋2|y－2|＋2≤5，即|x－2y＋1|的最大值为5.

思维升华求含绝对值的函数最值时，常用的方法有三种

（1）利用绝对值的几何意义．

（2）利用绝对值三角不等式，即|a|＋|b|≥|a±b|≥||a|－|b||.

（3）利用零点分区间法．

跟踪训练2已知a和b是任意非零实数．

（1）求

的最小值；

（2）若不等式|2a＋b|＋|2a－b|≥|a|（|2＋x|＋|2－x|）恒成立，求实数x的取值范围．

解　

（1）∵

≥

＝

＝4，

当且仅当（2a＋b）（2a－b）≥0时等号成立，

∴

的最小值为4.

（2）若不等式|2a＋b|＋|2a－b|≥|a|（|2＋x|＋|2－x|）恒成立，即|2＋x|＋|2－x|≤

恒成立，

故|2＋x|＋|2－x|≤

min.

由

（1）可知，

的最小值为4，

∴x的取值范围即为不等式|2＋x|＋|2－x|≤4的解集．

解不等式得－2≤x≤2，

故实数x的取值范围为[－2,2]．

题型三　绝对值不等式的综合应用

例3（2017·全国Ⅲ）已知函数f（x）＝|x＋1|－|x－2|.

（1）求不等式f（x）≥1的解集；

（2）若不等式f（x）≥x2－x＋m的解集非空，求m的取值范围．

解　

（1）f（x）＝

当x<－1时，f（x）≥1无解；

当－1≤x≤2时，由f（x）≥1，得2x－1≥1，解得1≤x≤2；

当x>2时，由f（x）≥1，解得x>2，

所以f（x）≥1的解集为{x|x≥1}．

（2）由f（x）≥x2－x＋m，得

m≤|x＋1|－|x－2|－x2＋x.

而|x＋1|－|x－2|－x2＋x

≤|x|＋1＋|x|－2－x2＋|x|

＝－

2＋

≤

，

当x＝

时，|x＋1|－|x－2|－x2＋x＝

.

故m的取值范围为

.

思维升华

（1）解决与绝对值有关的综合问题的关键是去掉绝对值，化为分段函数来解决．

（2）数形结合是解决与绝对值有关的综合问题的常用方法．

跟踪训练3设函数f（x）＝x＋|x－a|.

（1）当a＝2019时，求函数f（x）的值域；

（2）若g（x）＝|x＋1|，求不等式g（x）－2>x－f（x）恒成立时a的取值范围．

解　

（1）由题意得，当a＝2019时，

f（x）＝

因为f（x）在[2019，＋∞）上单调递增，

所以f（x）的值域为[2019，＋∞）．

（2）由g（x）＝|x＋1|，不等式g（x）－2>x－f（x）恒成立，知|x＋1|＋|x－a|>2恒成立，即（|x＋1|＋|x－a|）min>2.

而|x＋1|＋|x－a|≥|（x＋1）－（x－a）|＝|1＋a|，

所以|1＋a|>2，解得a>1或a<－3.

即a的取值范围是（－∞，－3）∪（1，＋∞）．

1．对于任意实数a，b，已知|a－b|≤1，|2a－1|≤1，且恒有|4a－3b＋2|≤m，求实数m的取值范围．

解　因为|a－b|≤1，|2a－1|≤1，

所以|3a－3b|≤3，

≤

，

所以|4a－3b＋2|＝

≤|3a－3b|＋

＋

≤3＋

＋

＝6，

即|4a－3b＋2|的最大值为6，

所以m≥|4a－3b＋2|max＝6.

即实数m的取值范围为[6，＋∞）．

2．已知函数f（x）＝|x＋1|－|x－2|，g（x）＝x2－x－a.

（1）当a＝5时，求不等式f（x）≥g（x）的解集；

（2）若不等式f（x）≥g（x）解集包含[2,3]，求a的取值范围．

解　

（1）当a＝5时，不等式f（x）≥g（x）等价于|x＋1|－|x－2|≥x2－x－5，①

当x<－1时，①式化为x2－x－2≤0，无解；当－1≤x≤2时，①式化为x2－3x－4≤0，得－1≤x≤2；

当x>2时，①式化为x2－x－8≤0，得2

，

所以f（x）≥g（x）的解集为

.

（2）当x∈[2,3]时，f（x）＝3，

所以f（x）≥g（x）的解集包含[2,3]，等价于x∈[2,3]时g（x）≤3，

又g（x）＝x2－x－a在[2,3]上的最大值为g（3）＝6－a，

所以g（3）≤3，即6－a≤3，得a≥3，

所以a的取值范围为[3，＋∞）．

3．已知f（x）＝|2x＋a|－|x－2|.

（1）当a＝－2时，求不等式f（x）≤4的解集；

（2）若关于x的不等式f（x）≥3a2－3|2－x|恒成立，求a的取值范围．

解　

（1）当a＝－2时，由f（x）≤4，

得2|x－1|－|x－2|≤4，

当x≤1时，由2（1－x）－（2－x）≤4，得－4≤x≤1；

当1

当x≥2时，由2（x－1）－（x－2）≤4，得2≤x≤4.

综上所述，f（x）≤4的解集为[－4,4]．

（2）由不等式f（x）≥3a2－3|2－x|，

得|2x＋a|－|x－2|＋3|x－2|≥3a2，

即|2x＋a|＋|2x－4|≥3a2，

即关于x的不等式|2x＋a|＋|2x－4|≥3a2恒成立，

而|2x＋a|＋|2x－4|≥|（2x＋a）－（2x－4）|＝|a＋4|，

当且仅当（2x＋a）（2x－4）≤0时等号成立，

所以|a＋4|≥3a2，

解得a＋4≥3a2或a＋4≤－3a2，

解得－1≤a≤

或a∈∅.

所以a的取值范围是

.

4．已知函数f（x）＝|x－1|.

（1）解关于x的不等式f（x）≥1－x2；

（2）若关于x的不等式f（x）

解　

（1）由题意f（x）≥1－x2可知，|x－1|≥1－x2，

即x－1≥1－x2或x－1≤x2－1，

所以x2＋x－2≥0或x2－x≥0，

即x≤－2或x≥1或x≥1或x≤0，

故原不等式的解集为{x|x≤0或x≥1}．

（2）f（x）x2＋|x－1|－|x＋1|，

由于x2＋|x－1|－|x＋1|＝

所以当x＝1时，x2＋|x－1|－|x＋1|的最小值为－1.

所以实数a的取值范围为（－1，＋∞）．

5．已知函数f（x）＝|x－2|－|2x＋1|.

（1）解不等式f（x）≤2；

（2）若∃b∈R，不等式|a＋b|－|a－b|≥f（x）对∀x∈R恒成立，求a的取值范围．

解　

（1）f（x）＝

原不等式等价于

或

或

解得x≤－1或－

≤x<2或x≥2，

综上所述，不等式的解集是

.

（2）∃b∈R，|a＋b|－|a－b|≥f（x）对∀x∈R恒成立等价于

（|a＋b|－|a－b|）max≥f（x）max.

因为|a＋b|－|a－b|≤|（a＋b）＋（a－b）|＝2|a|，

所以|a＋b|－|a－b|的最大值为2|a|；

当x≤－

时，f（x）≤

；

当－

；

当x≥2时，f（x）≤－5，

所以f（x）max＝

，

所以由原不等式恒成立，得2|a|≥

，

解得a≥

或a≤－

.

即a的取值范围是

∪

.

6．设f（x）＝|x＋1|－|2x－1|.

（1）求不等式f（x）≤x＋2的解集；

（2）若不等式满足f（x）≤

|x|（|a－2|＋|a＋1|）对任意实数（x≠0）恒成立，求实数a的取值范围．

解　

（1）根据题意可知，原不等式为|x＋1|－|2x－1|≤x＋2，

等价于

或

或

解得x<－1或－1≤x≤

或x>

.

综上可得不等式f（x）≤x＋2的解集为R.

（2）不等式f（x）≤

|x|（|a－2|＋|a＋1|）等价于

≤

（|a－2|＋|a＋1|），

因为

＝

≤

＝3，当且仅当

≤0时取等号，

因为

≤

（|a－2|＋|a＋1|），

所以|a－2|＋|a＋1|≥6，解得a≤－

或a≥

，

故实数a的取值范围为

∪

.