数学建模实验答案概率模型.docx
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数学建模实验答案概率模型
实验10概率模型（2学时）
（第9章概率模型）
1.（验证）报童的诀窍p302~304,323（习题2）
关于每天报纸购进量的优化模型：
已知b为每份报纸的购进价，a为零售价，c为退回价（a>b>c），每天报纸的需求量为r份的概率是f（r）（r=0,1,2,…）。
求每天购进量n份，使日平均收入，即
达到最大。
视r为连续变量，f（r）转化为概率密度函数p（r），则所求n*满足
已知b=0.75,a=1,c=0.6，r服从均值
=500（份），均方差
=50（份）的正态分布。
报童每天应购进多少份报纸才能使平均收入最高，这个最高收入是多少？
[提示：
normpdf,normcdf]
（i）计算正态变量的概率密度函数的调用形式为：
Y=normpdf（X,mu,sigma）
正态变量的概率密度函数为
其中：
X是x的一组值，Y对应一组函数值。
mu为
，sigma为
。
当
=0，
=1时，为标准正态变量的概率密度函数。
（ii）计算正态变量的分布函数的调用形式为：
P=normcdf（X,mu,sigma）
正态变量的分布函数为
且
标准正态变量的概率密度函数对应标准正态变量的分布函数。
要求：
（1）在同一图形窗口内绘制
和
的图形，观察其交点。
程序：
n=500:
530;
mu=500;sigma=50;
y1=normcdf（n,mu,sigma）-normcdf（0,mu,sigma）;
a=1;b=0.75;c=0.6;
y2=（a-b）/（a-c）*ones（size（n））;
plot（n,[y1;y2]）;
gridon;
[提示]
，
☆
（1）运行程序并给出结果：
（2）求方程
的根n*（四舍五入取整），并求G（n*）。
程序：
functiony=fun（n）
mu=500;sigma=50;
a=1;b=0.75;c=0.6;
y=normcdf（n,mu,sigma）-normcdf（0,mu,sigma）-（a-b）/（a-c）;
clear;clc;
n=fzero（'fun',515）;
n=round（n）
mu=500;sigma=50;
a=1;b=0.75;c=0.6;
r=n+1;
while（a-b）*n*normpdf（r,mu,sigma）>1e-6
r=r+1;
end
r=n+1:
r;
G=sum（（a-b）*n*normpdf（r,mu,sigma））;
r=0:
n;
G=G+sum（（（a-b）*r-（b-c）*（n-r））.*normpdf（r,mu,sigma））
☆
（2）运行程序并给出结果：
2.（编程）轧钢中的浪费p307~310
设要轧制长l=2.0m的成品钢材，由粗轧设备等因素决定的粗轧冷却后钢材长度的均方差σ=0.2m，问这时钢材长度的均值m应调整到多少使浪费最少。
平均每得到一根成品材所需钢材的长度为
其中，
求m使J（m）达到最小。
等价于求方程
的根z*。
其中：
是标准正态变量的分布函数，即
是标准正态变量的概率密度函数，即
（1）绘制J（m）的图形（l=2,σ=0.2），观察其最小值的位置。
★
（1）给出程序和运行结果：
clc;clear;
m=2:
0.001:
2.5;%根据l=2
l=2;sigma=0.2;
J=m./（1-normcdf（l,m,sigma））;
plot（m,J）;
gridon;
（2）求使J（m）达到最小值的m*。
由
（1）可观察到J（m）达到最小值的区间。
分别用求无约束最小值的MATLAB函数fminbnd,fminsearch,fminunc求解，并比较结果。
★
（2）给出程序及运行结果（比较[310]）：
functiony=Jfun（m）
l=2;sigma=0.2;
y=m/（1-normcdf（l,m,sigma））;
（3）在同一图形窗口内绘制
和
的图形，观察它们的交点。
（参考题1的
（1））
★（3）给出程序及运行结果（比较[309]图2）：
z=-2:
0.1:
2;
y1=（1-normcdf（z,0,1））./normpdf（z,0,1）;
l=2;sigma=0.2;
y2=l/sigma-z;
plot（z,[y1;y2]）;
gridon;
（4）求方程
的根z*，并求m=l-σz*。
（参考题1的
（2））
提示：
由（3）得到的图形可观察到z*的大概位置。
★（4）给出程序及运行结果（比较[310]）：
functiony=fun（z）%方程
l=2;sigma=0.2;
y=l/sigma-z-（1-normcdf（z,0,1））./normpdf（z,0,1）;
3.（验证）航空公司的预订票策略p313~316
模型如下：
给定λ,n,p,b/g，求m使单位费用获得的平均利润J（m）最大。
约束条件为
其中：
m预订票数量的限额。
λ（<1）利润调节因子。
n飞机容量。
p每位乘客不按时前来登机的概率，q=1–p。
b每位被挤掉者获得的赔偿金。
g机票价格。
b/g赔偿金占机票价格的比例。
不按时前来登机的乘客数K服从二项分布，其概率为
被挤掉的乘客数超过j人的概率为
（等价于m位预订票的乘客中不按时前来登机的不超过m–n–j–1人）
该模型无法解析地求解，我们设定几组数据，用程序作数值计算。
[提示：
binopdf,binocdf]
（i）二项分布的概率密度函数：
Y=binopdf（X,N,P）
计算X中每个X（i）的概率密度函数，其中，N中对应的N（i）为试验数，P中对应的P（i）为每次试验成功的概率。
Y,N,和P的大小类型相同，可以是向量、矩阵或多维数组。
输入的标量将扩展成一个数组，使其大小类型与其它输入相一致。
N中的值为正整数，P中的值从[0,1]取。
已知x和参数n,p，二项分布概率密度函数为
q=1–p。
y为n次独立试验中成功x次的概率，其中，每次试验成功的概率为p。
x=0,1,...,n。
（ii）二项式累积分布函数：
Y=binocdf（X,N,P）
计算X中每个X（i）的二项式累积分布函数，其中，N中对应的N（i）为试验数，P中对应的P（i）为每次试验成功的概率。
Y,N,和P的大小类型相同，可以是向量、矩阵或多维数组。
输入的标量将扩展成一个数组，使其大小类型与其它输入相一致。
N中的值为正整数；X中的值从[0,N]取；P中的值从[0,1]取。
已知x和参数n,p，累积分布函数为
q=1–p，x=0,1,2,…,n。
要求：
（1）已知n=300，λ=0.6，p=0.05，b/g=0.2和0.4，取一组值m=300:
2:
330，求出对应的J（m）、P5（m）和P10（m），程序如下。
（与教材p315表1n=300时的计算结果比较。
）
%9.6航空公司的预订票策略
functionmain（）
clear;clc;formatshortg;
n=300;m=[300:
2:
330]';p=0.05;%修改的参数
lambda=0.6;%λ值
b_g1=0.2;b_g2=0.4;
J1=zeros（size（m））;J2=zeros（size（m））;
fori=1:
length（m）
J1（i）=J（m（i）,n,lambda,p,b_g1）;
J2（i）=J（m（i）,n,lambda,p,b_g2）;
end
P5=binocdf（m-n-5-1,m,p）;%二项分布
P10=binocdf（m-n-10-1,m,p）;
round（10000*[m,J1,J2,P5,P10]）/10000%显示结果
functiony=J（m,n,lambda,p,b_g）%均是标量
q=1-p;k=0:
m-n-1;
y=1/（lambda*n）*（q*m-（1+b_g）*sum（（m-k-n）.*binopdf（k,m,p）））-1;
☆
（1）运行程序并给出结果（比较[315]表1（n=300））：
（2）对
（1）中改变p=0.1和m=300:
2:
344，求对应的结果。
☆
（2）运行程序并给出结果（比较[315]表1（n=300））：
（3）对
（1）中改变n=150和m=150:
2:
170，求对应结果。
（与教材时的计算结果比较。
）
☆（3）运行程序并给出结果（比较[316]表2（n=150））：
（4）对
（1）中改变n=150、m=150:
2:
176和p=0.1，求对应结果。
注意！
结果与教材相差较大，原因待查。
☆（4）运行程序并给出结果（比较[316]表2（n=150）））：
4.（编程）航空公司的预订票策略（改进）p316~317
已知:
第2类乘客（t人）都按时前来登机。
第1类乘客（m–t人）不按时前来登机的乘客数K服从二项分布，其概率为
被挤掉的第1类乘客数超过j人的概率为
（等价于预订的第1类乘客中不按时前来登机的不超过（m–t）–（n–t）–j–1人）
单位费用获得的平均利润为
要求：
已知n=300,λ=0.6,p=0.05,b/g=0.2,β=0.75，t=100，取一组值m=300:
2:
330，求出对应的J（m）、P5（m）和P10（m）。
参考实验10.3的程序，编写解决本问题的程序。
运行结果参考示例：
★给出编写的程序和运行结果：
%9.6航空公司的预订票策略（改进）
functionmain（）
clear;clc;formatshortg;
n=300;m=（300:
2:
330）';p=0.05;%修改的参数
lambda=0.6;%λ值
b_g=0.2;
t=100;beta=0.75;
J1=zeros（size（m））;
fori=1:
length（m）
J1（i）=J（m（i）,n,lambda,p,b_g,t,beta）;
end
P5=binocdf（m-n-5-1,m-t,p）;%二项分布
P10=binocdf（m-n-10-1,m-t,p）;
round（10000*[m,J1,P5,P10]）/10000%显示结果
functiony=J（m,n,lambda,p,b_g,t,beta）%均是标量
q=1-p;k=0:
m-n-1;
y=1/（lambda*（n-（1-beta）*t））...
*（q*m-（1-beta-p）*t-（1+b_g）*sum（（m-k-n）.*binopdf（k,m-t,p）））-1;
附1：
实验提示
附2：
第9章概率模型
[302]9.2报童的诀窍
[304]****本节完****
[307]9.4轧钢中的浪费
[309]题2（3）答案
[310]题2
（2）（4）答案****本节完****
[313]9.6航空公司的预订票策略
[315]题3
（1）
（2）答案
[316]题3（3）（4）答案
[317]****本节完****
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