江苏高考数学试题与答案.docx
《江苏高考数学试题与答案.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《江苏高考数学试题与答案.docx（63页珍藏版）》请在冰点文库上搜索。
江苏高考数学试题与答案
绝密★启用前
2018年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）
数学Ⅰ
注意事项
考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求
1．本试卷共4页，均为非选择题（第1题~第20题，共20题）。
本卷满分为160分，考试时间为120分钟。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一片交回。
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位
置。
3．请认真核对监考员从答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符。
学科@网
4．作答试题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效。
5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗。
参考公式：
锥体的体积V
1
Sh，其中S是锥体的底面积，h是锥体的高．
3
一、填空题：
本大题共
14小题，每小题5分，共计
70分．请把答案填写在答题卡相应位
．．．．．．
置上．
．．
1．已知集合A
{0,1,2,8}
，B{1,1,6,8}，那么A
B▲
．
2．若复数z满足iz
1
2i，其中i是虚数单位，则
z的实部为
▲．
3．已知5位裁判给某运动员打出的分数的茎叶图如图所示，那么这
5位裁判打出的分数的
平均数为
▲．
4．一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的S的值为▲．
5．函数f（x）
log2x
1的定义域为
▲
．
6．某兴趣小组有
2名男生和3名女生，现从中任选
2名学生去参加活动，则恰好选中
2名
女生的概率为
▲．
7．已知函数y
sin（2x
）（
）的图象关于直线
x
对称，则
的值是
▲
．
2
2
3
8．在平面直角坐标系xOy中，若双曲线x2
y2
1（a
0,b
0）的右焦点F（c,0）
到一条渐近
a2
b2
线的距离为
3c，则其离心率的值是
▲．
2
cos
x
0
9．函数f（x）满足f（x4）
f（x）（xR），且在区间（2,2]上，f（x）
2
1|,-2
|x
2
x2,
则
x0,
f（f（15））的值为
▲．
10．如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为▲．[来源学科
网]
11．若函数
f（x）
2x3
ax2
1（a
R）在（0,
）内有且只有一个零点，则
f（x）在[
1,1]上的
最大值与最小值的和为
▲．
12．在平面直角坐标系
xOy
中，A为直线
l:
y
2x上在第一象限内的点，
B（5,0）
，以
AB为
直径的圆
C与直线
l交于另一点
D．若
AB
CD
0，则点
A的横坐标为
▲．
13．在△ABC中，角
A,B,C
所对的边分别为
a,b,c，
ABC
120，
ABC
的平分线交
AC
于点
D，且BD1，则
4a
c的最小值为
▲．
14．已知集合
A
{x|x
2n
1,n
N*}，B
{x|x
2n,n
N*}．将
A
B的所有元素从小到
大依次排列构成一个数列
{an}
．记
Sn为数列
{an}的前
n项和，则使得
Sn
12an1成立的
n的最小值为
▲．
二、解答题：
本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字
．．．．．．．
说明、证明过程或演算步骤．
15．（本小题满分14分）
在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，AA1AB,AB1B1C1．
求证：
（1）AB∥平面A1B1C；
（2）平面ABB1A1平面A1BC．
16．（本小题满分14分）
已知,为锐角，tan
（1）求cos2的值；
（2）求tan（）的值．
17．（本小题满分14分）
4，cos（）
5
．
3
5
某农场有一块农田，如图所示，它的边界由圆O的一段圆弧MPN（P为此圆弧的中点）和线段MN构成．已知圆O的半径为40米，点P到MN的距离为50米．现规划在此农田上修建两个温室大棚，大棚Ⅰ内的地块形状为矩形ABCD，大棚Ⅱ内的地块形状为
△CDP，要求A,B均在线段MN上，C,D均在圆弧上．设OC
与MN所成的角为．
（1）用分别表示矩形ABCD和△CDP的面积，并确定sin的
取值范围；
（2）若大棚Ⅰ内种植甲种蔬菜，大棚Ⅱ内种植乙种蔬菜，且甲、
乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4∶3．求当为何值时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大．
18．（本小题满分16分）
如图，在平面直角坐标系
xOy中，椭圆C过点（
3,1），焦点
2
F1（3,0）,F2（3,0），圆O的直径为F1F2．
（1）求椭圆C及圆O的方程；
（2）设直线l与圆O相切于第一象限内的点P．
①若直线l与椭圆C有且只有一个公共点，求点
P的坐标；
②直线l与椭圆C交于A,B两点．若△OAB的面积为
26，
7
求直线l的方程．
19．（本小题满分16分）
记f（x）,g（x）分别为函数
f（x）,g（x）的导函数．若存在
x0
R，满足f（x0）
g（x0）且
f（x0）g（x0），则称x0为函数f（x）与g（x）的一个“S点”．
（1）证明：
函数f（x）
x与g（x）
x2
2x2不存在“S点”；
（2）若函数f（x）ax2
1与g（x）
lnx存在“S点”，求实数
a的值；[来源:
Zxxk.Com]
x
（3）已知函数f（x）
x
2
be．对任意a
0，判断是否存在b
0，使函
a，g（x）
x
数f（x）与g（x）在区间（0,
）内存在“S点”，并说明理由．
20．（本小题满分
16分）
设{an}是首项为a1，公差为d的等差数列，{bn}是首项为b1，公比为q的等比数列．
（1）设a1
0,b1
1,q
2，若|anbn|
b1对n1,2,3,4均成立，求d的取值范围；
（2）若a1
b1
0,m
N*,q
（1,m2]
，证明：
存在dR，使得|anbn|
b1对
n2,3,,m
1均成立，并求
d的取值范围（用b1,m,q表示）．
数学Ⅰ试题参考答案
一、填空题：
本题考查基础知识、基本运算和基本思想方法．每小题
5分，共计
70分．
1．{1，8}
2．2
3．90
4．8
5．[2，+∞）
6．3
π
8．2
7．
10
6
2
10．4
11．–3
12．3
9．
2
3
13．9
14．27
二、解答题
15．本小题主要考查直线与直线、直线与平面以及平面与平面的位置关系，考查空间想象
能力和推理论证能力．满分
14分．
证明：
（1）在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AB∥A1B1．
因为AB平面A1B1C，A1B1平面A1B1C，
所以AB∥平面A1B1C．
（2）在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，四边形ABB1A1为平行四边形．
又因为AA1=AB，所以四边形ABB1A1为菱形，
因此AB1⊥A1B．
又因为AB1⊥B1C1，BC∥B1C1，
所以AB1⊥BC．
又因为A1B∩BC=B，A1B平面A1BC，BC平面A1BC，
所以AB1⊥平面A1BC．
因为AB1平面ABB1A1，
所以平面ABB1A1⊥平面A1BC．
16．本小题主要考查同角三角函数关系、两角和（差）及二倍角的三角函数，考查运算求
解能力．满分
14分．
解：
（1）因为tan
4，tan
sin
，所以sin
4
cos．
3
cos
3
因为sin
2
cos
2
2
9
，
1，所以cos
25
因此，cos2
2cos
2
7．
1
25
（2）因为
为锐角，所以
（0,π）．
又因为cos（
）
5
，所以sin（
）
1cos2（
）
25，
5
5
因此tan（
）
2．
因为tan
4
，所以tan2
2tan
24，
3
1
tan2
7
因此，tan（
）
tan[2
（
）]
tan2
tan（
）
2．
1+tan2
tan（
）
11
17．本小题主要考查三角函数的应用、用导数求最值等基础知识，考查直观想象和数学建
模及运用数学知识分析和解决实际问题的能力．满分14分．
解：
（1）连结PO并延长交MN于H，则PH⊥MN，所以OH=10．
过O作OE⊥BC于E，则OE∥MN，所以∠COE=θ，故OE=40cosθ，EC=40sinθ，
则矩形ABCD的面积为2×40cosθ（40sinθ+10）=800（4sinθcosθ+cosθ），
△CDP的面积为1×2×40cosθ（40–40sinθ）=1600（cosθ–sinθcosθ）．2
过N作GN⊥MN，分别交圆弧和OE的延长线于G和K，则GK=KN=10．
令∠GOK=θ，则sinθ=1，θ∈（0，π）．
000
46
当θ∈[θ，π）时，才能作出满足条件的矩形ABCD，
0
2
所以sinθ的取值范围是[1，1）．
4
答：
矩形ABCD的面积为800（4sinθcosθ+cosθ）平方米，△CDP的面积为
1
1600（cosθ–sinθcosθ），sinθ的取值范围是[，1）．
（2）因为甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4∶3，
设甲的单位面积的年产值为4k，乙的单位面积的年产值为3k（k>0），则年总产值为4k×800（4sinθcosθ+cosθ）+3k×1600（cosθ–sinθcosθ）
=8000k（sinθcosθ+cosθ），θ∈[θ0，π）．
2
设f（θ）=sinθcosθ+cosθ，θ∈[θ，π），
0
2
则f′（）cos2sin2sin（2sin2sin1）（2sin1）（sin1）．
令f′（）=0，得θ=π，6
当θ∈（θ，π）时，f′（）>0，所以f（θ）为增函数；
0
6
当θ∈（π，π）时，f′（）<0，所以f（θ）为减函数，
6
2
因此，当θ=π时，f（θ）取到最大值．
6
答：
当θ=
π
时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大．
[来源学§科§网]
6
18．本小题主要考查直线方程、圆的方程、圆的几何性质、椭圆方程、椭圆的几何性质、
直线与圆及椭圆的位置关系等知识，考查分析问题能力和运算求解能力．满分
16分．
解：
（1）因为椭圆C的焦点为F1（
3,0）,F2（3,0）
，
可设椭圆C的方程为x2
y2
1（a
b
0）．又点（
3,
1
）在椭圆C上，
a2
b2
2
所以
3
1
1,
a2
4,
a2
4b2
，解得
b2
1,
a
2
2
3,
b
因此，椭圆C的方程为x2
y2
1．
4
因为圆O的直径为F1F2，所以其方程为
x2
y2
3
．
（2）①设直线l与圆O相切于P（x0,y0）（x0
0,y0
0）
，则x0
2
y0
2
3
，
所以直线l的方程为y
x0（x
x0）
y0
，即y
x0x
3．
y0
y0
y0
2
x
y
2
1,
4
由
消去y，得
x0
y
x
3
y0
y0
（4x0
2
y0
2）x2
24x0x36
4y0
2
0
．（*）
因为直线l与椭圆C有且只有一个公共点，
所以（
24x0）2
4（4x0
2
y0
2）（364y0
2）
48y0
2（x0
2
2）
0．
因为x0,y0
0，所以x0
2,y0
1．
因此，点P的坐标为（
2,1）
．
②因为三角形OAB的面积为26
，所以1
ABOP
26
，从而AB
42
．
7
2
7
7
设A（x1,y1）,B（x2,y2），
24x0
2
2
由（*）得x1,2
48y0（x0
2）
，
2
2
2（4x0
y0）
所以AB2
（x1
x2）2
（y1
y2）2
（1
x2
48y2（x
2
2）
0
2）
0
2
0
2
）
2
．
y0
（4x0
y0
因为x02y023，
所以AB
2
16（x0
2
2）
32
，即2x0
4
2
，
（x0
2
1）2
49
45x0
1000
解得x0
2
5
（x0
2
20舍去），则y0
2
1，因此P的坐标为（10,
2）．
2
2
2
2
综上，直线l的方程为y5x
3
2．
19．本小题主要考查利用导数研究初等函数的性质，考查综合运用数学思想方法分析与解
决问题以及逻辑推理能力．满分16分．
解：
（1）函数f（x）=x，g（x）=x2+2x-2，则f′（x）=1，g′（x）=2x+2．
由f（x）=g（x）且f′（x）=g′（x），得
2
xx2x2，此方程组无解，
12x2
因此，f（x）与g（x）不存在“S”点．
2
（2）函数（fx）ax1，g（x）lnx，
则f（x）2ax，g（x）1．x
设x0为f（x）与g（x）的“S”点，由f（x0）=g（x0）且f′（x0）=g′（x0），得
ax2
1
lnx
2
0
0
ax0
1
lnx0，（*）
2ax0
1
，即
2
x0
2ax0
1
1
1
1
e
得lnx0
x0
e2，则a
，即
1
．
2
2（e2）2
2
e时，x0
1
当a
e
2满足方程组（*），即x0
为f（x）与g（x）的“S”点．
2
因此，a的值为e．
2
（3）对任意a>0，设h（x）
x3
3x2
ax
a．
因为h（0）
a0，h
（1）
1
3
a
a
2
0，且h（x）的图象是不间断的，
所以存在x0∈（0，1），使得h（x0）
2x03
，则b>0．
0．令b
ex0（1
x0）
函数f（x）
x2
a
，g（x）
bex
，
x
则f′（x）
2x，g′（x）
bex
（x1）
2
．
x
由f（x）=g（x）且f′（x）=g′（x），得
3
ex
2
a
bex
x2
a
ex0
2x0
x）
x
x
（1
x
，即
0
，（**）
2x
bex（x1）
2x
2x03
ex（x1）
x2
ex0（1x0）
x2
此时，x0满足方程组（**），即x0是函数f（x）与g（x）在区间（0，1）内的一个“S
点”．
因此，对任意a>0，存在b>0，使函数f（x）与g（x）在区间（0，+∞）内存在“S点”．
20．本小题主要考查等差和等比数列的定义、
通项公式、性质等基础知识，考查代数推理、
转化与化归及综合运用数学知识探究与解决问题的能力．满分
16分．
解：
（1）由条件知：
an（n1）d,bn
2n1．
因为|an
bn|
b1对n=1，2，3，4均成立，
即|（n
1）d
n1
，2，3，4均成立，
2|1对n=1
即11，1
d3，32d
5，73d
9，得7
d
5．
3
2
因此，d的取值范围为[7,5]．
3
2
（2）由条件知：
an
b1
升级会员 