分布与抽样分布.pptx

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第三章分布与抽样分布第三章分布与抽样分布第二节抽样分布第一节概率与概率分布第三节统计推断第一节概率与概率分布第一节概率与概率分布统计学CertainImpossible0.501一概率一概率

（一）概率的统计定义

（一）概率的统计定义研究随机试验，仅知道可能发生哪些研究随机试验，仅知道可能发生哪些随机事件是不够的，还需了解各种随机事件随机事件是不够的，还需了解各种随机事件发生的可能性大小，以揭示这些事件的内在发生的可能性大小，以揭示这些事件的内在的统计规律性，从而指导实践。

这就要求有的统计规律性，从而指导实践。

这就要求有一个能够刻划事件发生可能性大小的数量指一个能够刻划事件发生可能性大小的数量指标，这指标应该是事件本身所固有的，且不标，这指标应该是事件本身所固有的，且不随人的主观意志而改变，人们称之为概率随人的主观意志而改变，人们称之为概率（probability）。

事件）。

事件A的概率记为的概率记为P（A）。

）。

概率的统计定义在相同条件下进行概率的统计定义在相同条件下进行n次重复试次重复试验，如果随机事件验，如果随机事件A发生的次数为发生的次数为m，那么，那么m/n称为随称为随机事件机事件A的频率（的频率（frequency）；当试验重复数）；当试验重复数n逐渐逐渐增大时，随机事件增大时，随机事件A的频率越来越稳定地接近某一数值的频率越来越稳定地接近某一数值p，那么就把，那么就把p称为随机事件称为随机事件A的概率。

的概率。

这样定义的概率称为统计概率这样定义的概率称为统计概率（statisticsprobability），或者称后验概率（），或者称后验概率（posteriorprobability）表表3-1抛掷一枚硬币发生正面朝上的试验记录抛掷一枚硬币发生正面朝上的试验记录从表从表3-1可看出，随着实验次数的增多，正可看出，随着实验次数的增多，正面朝上这个事件发生的频率越来越稳定地接近面朝上这个事件发生的频率越来越稳定地接近0.5，我们就把我们就把0.5作为这个事件的概率。

作为这个事件的概率。

在一般情况下，随机事件的概率在一般情况下，随机事件的概率p是不可能是不可能准确得到的。

通常以试验次数准确得到的。

通常以试验次数n充分大时随机事件充分大时随机事件A的频率作为该随机事件概率的近似值。

的频率作为该随机事件概率的近似值。

即即P（A）=pm/n（n充分充分大）大）

（二）概率的性质

（二）概率的性质1、对于任何事件、对于任何事件A，有，有0P（A）1；2、必然事件的概率为、必然事件的概率为1，即，即P（）=1；3、不可能事件的概率为、不可能事件的概率为0，即，即P（）=0。

一个总体是由一个随机变量的所有可能取值来构成的，而样本只一个总体是由一个随机变量的所有可能取值来构成的，而样本只是这些所有可能取值的一部分是这些所有可能取值的一部分随机变量中某一个值出现的概率，只是随机变量一个侧面的反映随机变量中某一个值出现的概率，只是随机变量一个侧面的反映，若要全面了解随机变量则必须知道随机变量的全部值和各个值，若要全面了解随机变量则必须知道随机变量的全部值和各个值出现的概率，即随机变量的概率分布出现的概率，即随机变量的概率分布概率和概率分布是生命科学研究中由样本推断总体的理论基础随机变量的种类很多，每一种随机变量都有其特定的概率分布。

随机变量的种类很多，每一种随机变量都有其特定的概率分布。

连续型随机变量离散型随机变量在一定范围内可连续取值的变量。

在一定范围内只取有限种可能的值的变量。

正态分布二项分布、泊松分布二概率分布二概率分布1.正态分布正态分布正态分布（normaldistribution）的概念是由德国数学家和天文学家Moivre于1733年首次提出的，由德国数学家Gauss率先将其应用于天文学研究，故正态分布又称为Gauss分布（Gaussiandistribution）。

许多生物学领域（如身高、体重、脉搏、血红蛋白、血清总胆固醇等如身高、体重、脉搏、血红蛋白、血清总胆固醇等）的随机变量都服从或者近似服从正态分布或通过某种转换后服从正态分布，许多其他类型分布基本上都与正态分布有关，它们的极限就是正态分布。

1.1正态分布的定义正态分布的定义在日常工作中所遇到的变量大多是连续型随机变量，当这一类随机变量呈线性时，往往服从正态分布频数分布表：

下面我们以某地13岁女孩118人的身高（cm）资料，来说明身高变量服从正态分布。

某地13岁女孩118人的身高（cm）资料频数分布身高组段频数组中值

（1）

（2）（3）1292130.51322133.51358136.513820139.514126142.514425145.514720148.51509151.51533154.51562157.51591621160.5合计118频数分布图（又称直方图）（cm）身高160.5157.5154.5151.5148.5145.5142.5139.5136.5133.5130.513118（cm）某地岁女孩人身高频数分布图频数3020100从频数表及频数分布图上可得知：

该数值变量资料频数分布呈现中间频数多，左右两侧基本对称的分布。

所以我们通俗地认为该资料服从正态分布。

（cm）身高13118（cm）某地岁女孩人身高频数分布图频数20100频数分布图二频数分布图三（cm）身高13118（cm）某地岁女孩人身高频数分布图频数14121086420正态分布图四（cm）身高频数分布逐渐接近正态分布示意图和正态分布相对应的曲线称为正态分布密度曲线，简称为正态曲线。

用来描述正态曲线的函数称为正态分布密度函数总体平均数2总体方差圆周率3.14总体标准差任何一个正态分布均由参数任何一个正态分布均由参数和和所决定所决定如果一个随机变量如果一个随机变量x服从平均数为服从平均数为、方差为、方差为2的正态分布的正态分布，可记为，可记为xN（，2）。

）。

e自然对数的底，2.71828222）（21）（xexf1.2正态分布的特点正态分布的特点

（1）正态分布曲线以直线x=为对称轴，左右完全对称（3）正态分布曲线有两个拐点，拐点座标分别为（-，f（-）和（+，f（+），在这两个拐点处曲线改变方向，即曲线在（-，-）和（+，+）区间上是下凹的，在-，+区间内是上凸的

（2）在x=处，f（x）有最大值x21）（f（4）正态分布密度曲线的位置由决定（为位置参数），形状由决定（为形状参数）（5）正态分布曲线向两边无限延伸，以x轴为渐进线，分布从-到+的大小决定了曲线在x轴上的位置的大小则决定了曲线的胖瘦程度当恒定时，愈大，则曲线沿x轴愈向右移动愈小，曲线沿x轴愈向左移动越大表示数据越分散，曲线越胖越小表示数据越集中，曲线越瘦1.3标准正态分布标准正态分布正态分布由正态分布由和和所决定，不同的所决定，不同的、值就决定了不同的正值就决定了不同的正态分布密度函数，因此在实际计算中很不方便的。

需将一般的态分布密度函数，因此在实际计算中很不方便的。

需将一般的N（，22）转换为转换为=0,22=1的正态分布。

我们称的正态分布。

我们称=0,22=1的正态分布为标准正态分布的正态分布为标准正态分布（standardnormaldistribution）可见，由正态分布密度函数得到标准正态分布密度函数：

222）（21）（xexf2221）（xexf1.4正态分布的概率计算正态分布的概率计算根据概率论原理，可知随机变量x在区间（a，b）内取值的概率是一块面积：

面积由曲线所围成的曲边梯形所组成：

随机变量x在（-，+）间取值的概率为1，即：

求机量随变x在某一段取区内的率就化值概转成了求由段该区相曲所与应线围成的曲梯形的边面。

积axbx0ybadxxfbxaP）（）

（1）（）（dxxfxP由于正态分布的概率密度函数比较复杂，积分的计算也比较麻烦，而这些由于正态分布的概率密度函数比较复杂，积分的计算也比较麻烦，而这些计算在动物科学或动物医学生产实践中又经常会用到。

计算在动物科学或动物医学生产实践中又经常会用到。

最好的解决办法：

将正态分布转化为标准正态分布，然后根据标准正态分最好的解决办法：

将正态分布转化为标准正态分布，然后根据标准正态分布表（附表布表（附表1）直接查出概率值。

）直接查出概率值。

（1）标准正态分布的概率计算）标准正态分布的概率计算附表附表1列出了在标准正态分布随机变量列出了在标准正态分布随机变量u在区间在区间（，u内取值的概率内取值的概率：

uuudueduufuuP2221）（）（标准正态分布的概率计算通式标准正态分布的概率计算通式标准正态分布函数表标准正态分布函数表例例1：

若uN（0，1），），求：

（1）

（2）（3）解解：

（1）

（2）（3））64.0（uP）53.1（uP）53.012.2（uP）64.0（uP）53.012.2（uP）53.1（uP7389.0）53.1（1uP9370.010630.0）12.2（）53.0（uPuP）12.2

（1）53.0（1uPuP）9830.01（）7109.01（0170.02981.02811.0关于标准正态分布，以下几种概率应当熟记：

关于标准正态分布，以下几种概率应当熟记：

P（-1u1）=0.6826P（-2u2）=0.9545P（-3u3）=0.9973P（-1.96u1.96）=0.95P（-2.58u2.58）=0.99P（u1）u变量在上述区间以外取值的概率，变量在上述区间以外取值的概率，即两尾概率：

即两尾概率：

=1-P（-1u1）=1-0.6826=0.3174P（u2）=1-P（-2u2）=0.0455P（u3）=1-0.9973=0.0027P（u1.96）=1-0.95=0.05P（u2.58）=1-0.99=0.01

（2）正态分布的概率计算）正态分布的概率计算对于服从任意正态分布对于服从任意正态分布N（,2）的随机变量，欲求其在某个区间的取值概率，）的随机变量，欲求其在某个区间的取值概率，需先将它标准化为标准正态分布需先将它标准化为标准正态分布N（0,1）的随机变量，然后查表即可。

）的随机变量，然后查表即可。

实质：

实质：

为了能使正态分布应用起来更方便一些，可以将为了能使正态分布应用起来更方便一些，可以将x作一变换，作一变换，令：

令：

变换后的正态分布密度函数为变换后的正态分布密度函数为：

标准正态分布均具有标准正态分布均具有=0，2=1的特性的特性如果随机变量如果随机变量u服从标准正态分布，可记为：

服从标准正态分布，可记为：

uN（0，1）u变换变换这个变换称为标准化或这个变换称为标准化或u变换变换,由于由于x是随机变量，因此是随机变量，因此u也是随机变量，也是随机变量，所得到的随机变量所得到的随机变量U也也服从正态分布，因此，由任意正态分布随机变量标准化得到的随机变量的标准正态分布常称为服从正态分布，因此，由任意正态分布随机变量标准化得到的随机变量的标准正态分布常称为u分分布。

可见：

布。

可见：

xu2221）（ueuf例2：

设xN（30，102）试求x40的概率。

解解：

首先将正态分布首先将正态分布转化为标准正态分布，令转化为标准正态分布，令:

则则u服从标准正态分布，故服从标准正态分布，故:

）103040（uP）40（xP1030xu）1（uP）1（1uP8413.011587.0例3：

设x服从=30.26,2=5.102的正态分布，试求P（21.64x32.98）。

解：

解：

令令则则u服从标准正态分布，故服从标准正态分布，故=P（-1.69u0.53）=（0.53）-（-1.69）=0.7019-0.04551=0.656410.526.30xu）10.526.3098.3210.526.3010.526.3064.21（）98.3264.21（xPxP关于一般正态分布，经常用到以下几个概率：

关于一般正态分布，经常用到以下几个概率：

P（-x+）=0.6826P（-2x+2）=0.9545P（-3x+3）=0.9973P（-1.96x+1.96）=0.95P（-2.58x+2.58）=0.99把随机变量把随机变量x落在平均数落在平均数加减不加减不同倍数标准差同倍数标准差区间之外的概率称区间之外的概率称为两尾概率（双侧概率），记作为两尾概率（双侧概率），记作。

对应于两尾概率可以求得随机变量对应于两尾概率可以求得随机变量x小于小于-k或大于或大于+k的概率，的概率，称为一尾概率（单侧概率），记作称为一尾概率（单侧概率），记作2。

0.31730.04550.00270.050.01/2附表2：

给出了满足给出了满足两尾临界值两尾临界值u因此，可以根据两尾概率因此，可以根据两尾概率，由附表，由附表2查出相应的临界值查出相应的临界值u。

例4：

已知uN（0，1），），试求u：

（1）

（2）解解：

（1）

（2）uuP（10.0（）（）uuPuuP86.0（）uuuP10.0）（）（uuPuuP644854.110.0u）（）（uuPuuP）（uuuP114.086.01475791.114.0u2.二项分布二项分布二项分布（二项分布（binomialdistribution）是一种最常见的、典型的离散型随机）是一种最常见的、典型的离散型随机变量的概率分布。

变量的概率分布。

有些试验只有非此即彼两种结果，这种由非此即彼的事件构成的总体，称有些试验只有非此即彼两种结果，这种由非此即彼的事件构成的总体，称为二项总体。

为二项总体。

结果“此”用变量结果“此”用变量1表示表示，概率为概率为p结果“彼”用变量结果“彼”用变量0表示表示，概率为概率为q于对n次立的，如果每次果出且只出立事独试验试验结现现对件A与A-中之一，在每次中出试验现A的率是概p（0p5，np、nq较接近时，接近较接近时，接近正态分布，正态分布，n时服从正态分布，即二项分布的极限是正态分时服从正态分布，即二项分布的极限是正态分布布（4）二项分布的平均数为：

方差为：

准差：

标为00.10.20.30.4051015202530npnpq2npq例4：

某奶牛场情期受胎率为0.6，该场对30头发情母牛配种，使24头母牛一次配种受胎的概率为多少？

解解：

2.3二项分布的概率计算二项分布的概率计算6.0p30n24m）24（30P6242430）4.0（）6.0（C624）4.0（）6.0（）2430（2430！

0115.0%15.1186.030np2.74.06.0302npq68.22.7npq课堂练习：

用某种常规药物治疗猪瘟的治愈率为0.7，对20头患猪瘟的肥育猪进行治疗，问20头猪中16头猪治愈的概率是多少？

解解：

7.0p20n16m）16（20P4161620）3.0（）7.0（C416）3.0（）7.0（）1620（1620！

1295.0%95.12147.020np2.43.07.0202npq05.22.4npq3.泊松分布泊松分布当二项分布中的n，p0时，二项分布趋向于一种新的分布泊松分布（普哇松分布）（泊松分布（普哇松分布）（Poissonsdistribution）当试验次数（或称观测次数）很大，而某事件出现的概率很小，则离散型随机变量x服从于泊松分布。

3.1泊松分布的定义泊松分布的定义若随机变量若随机变量x（x=m）只取零和正整数值）只取零和正整数值0，1，2，且，且其概率分布为：

其概率分布为：

其中：

其中：

=np，是一个常量，且，是一个常量，且则称则称x服从参数为服从参数为的泊松分布，的泊松分布，记为记为xP（））（mxPemm!

07182.2en泊松分布主要是用来描述小概率事件发生的概率泊松分布主要是用来描述小概率事件发生的概率单位空间中某些野生动物数畜群中的畸形个体数畜群中某些遗传性疾病的患病数n泊松分布不是用来描述几乎不可能发生的事件的概率泊松分布不是用来描述几乎不可能发生的事件的概率山无棱，天地合南京六月飞雪

（1）泊松分布只有一个参数）泊松分布只有一个参数，=np。

3.2泊松分布的特点泊松分布的特点既是泊松分布的平均值既是泊松分布的平均值，又是方差，又是方差2，即：

，即：

（2）泊松分布的图形决定于）泊松分布的图形决定于，值愈小分布愈偏倚，随着值愈小分布愈偏倚，随着的增大，的增大，分布趋于对称。

分布趋于对称。

当当=20时分布接近于正态分布；当时分布接近于正态分布；当=50时，可以认为泊松分布呈正态分时，可以认为泊松分布呈正态分布。

布。

23.3泊松分布的概率计算泊松分布的概率计算例5：

某大型猪场因某种疾病死亡的猪数呈泊松分布。

已知该场平均每年因这种疾病死亡的猪数为9.5头，问2007年该场因这种疾病死亡的猪数为15头的概率是多少？

解解：

根据泊松分布的性质可知：

根据泊松分布的性质可知：

2007年该场因这种疾病死亡的猪数为15头的概率是2.65%。

5.915m）15（xP5.915!

155.9e0265.0）（mxPemm!

第二节第二节抽样分布抽样分布统计学的主要任务就是研究总体和样本的关系：

统计学的主要任务就是研究总体和样本的关系：

从样本到总体从样本到总体从总体到样本从总体到样本目的就是通过样本来推断总体。

目的就是通过样本来推断总体。

目的就是研究样本统计量的分布及其与原目的就是研究样本统计量的分布及其与原总体的关系总体的关系从特殊到一般，从特殊到一般，从一般到特殊，从一般到特殊，统计推断抽样分布抽分布是推的基，究抽分布的目的就是了更样统计断础研样为好地行推，能正确地理解推的。

进统计断并统计断结论1.抽样分布的概念抽样分布的概念样本平均数样本平均数和样本方差和样本方差S2是描述样本特征的两个最重要的统计是描述样本特征的两个最重要的统计量量总体平均数总体平均数和总体方差和总体方差2是描述总体特征的两个最重要的参数是描述总体特征的两个最重要的参数因此，研究总体和样本的关系，实际就是研究：

因此，研究总体和样本的关系，实际就是研究：

S22就总体而言，就总体而言，和和2都是常量都是常量从总体中随机地抽取若干个体所组成的样本，即使每次抽取的样本容量都相等，每一个样本所得到的样本平均数也不可能都相等，同时也不可能就等于总体平也不可能都相等，同时也不可能就等于总体平均数均数样本统计量将随样本的不同而有所不同，因而样本统计量也是随机变量，也有其概率分布样本统计量的概率分布称为抽样分布（样本统计量的概率分布称为抽样分布（samplingdistribution）样本统计量与总体参数之间的差异称为抽样误差样本统计量与总体参数之间的差异称为抽样误差（samplingerror）xx从总体中抽取样本的过程称为抽样（从总体中抽取样本的过程称为抽样（sampling）抽样分为复置抽样和不复置抽样两种：

抽样分为复置抽样和不复置抽样两种：

复置抽样指每次抽出一个个体后，这个个体应返回原总体复置抽样指每次抽出一个个体后，这个个体应返回原总体不复置抽样指每次抽出的个体不返回原总体不复置抽样指每次抽出的个体不返回原总体对于无限总体，或者样本容量对于无限总体，或者样本容量n与总体容量与总体容量N相比很小时，返回与相比很小时，返回与否都可保证每个个体被抽到的机会相等，复置抽样等同于不复置抽样否都可保证每个个体被抽到的机会相等，复置抽样等同于不复置抽样对于有限总体，应该采取复置抽样，否则各个体被抽到的机会就不相对于有限总体，应该采取复置抽样，否则各个体被抽到的机会就不相等等在实际操作中，均为不复置抽样在理论研究中则以复置抽样为主2.样本平均数的抽样分布样本平均数的抽样分布2.1样本平均数抽样分布的概念样本平均数抽样分布的概念从总体容量为从总体容量为N的总体中进行抽样，如果每个样本的样本容量均为的总体中进行抽样，如果每个样本的样本容量均为n，将所，将所有这样的样本都抽出来，并计算出每一个样本的平均数有这样的样本都抽出来，并计算出每一个样本的平均数原来的那个总体，称为原总体原来的那个总体，称为原总体由样本平均数组成的分布称为样本平均数的抽样分布由样本平均数组成的分布称为样本平均数的抽样分布如果原总体的平均数为如果原总体的平均数为，标准差为，标准差为，那么样本平均数抽样总体：

，那么样本平均数抽样总体：

平均数为：

平均数为：

标准差为：

标准差为：

称为样本平均数抽样总体的标准误差称为样本平均数抽样总体的标准误差简称为标准误（简称为标准误（standarderror）由这些样本平均数组成的新总体，就称为样本平均数抽样总体。

由这些样本平均数组成的新总体，就称为样本平均数抽样总体。

xx标准误表示平均数抽样误差的大小，反映样本平均数与新总体平均数之间的标准误表示平均数抽样误差的大小，反映样本平均数与新总体平均数之间的离散程度。

离散程度。

标准差表示的是原总体中原始数据与原总体平均数的关系标准差表示的是原总体中原始数据与原总体平均数的关系标准误表示的是从原总体中抽取的样本平均数与样本平均数抽样总体平标准误表示的是从原总体中抽取的样本平均数与样本平均数抽样总体平均数的关系均数的关系研究总体与样本的关系就转化成了讨论原总体与样本平均数抽样总体的关系：

例6：

设有一总体，总体容量为N=3，观测值分别为2、4、6，以样本容量n=2对该总体进行复置抽样，证明：

（1）

（2）xnxxnx原总体的总体平均数为：

原总体的总体平均数为：

（1）以样本容量以样本容量n=2对该总体进行复置对该总体进行复置抽样，则样本平均数抽样总体为：

抽样，则样本平均数抽样总体为：

样本平均数抽样总体的总体容量样本平均数抽样总体的总体容量为：

为：

样本平均数抽样总体的总体平均样本平均数抽样总体的总体平均数为：

数为：

4364223nN49369632x9

（2）原总体的总体标准差为：

原总体的总体标准差为：

样本平均数抽样总体的总体标准差为：

样本平均数抽样总体的总体标准差为：

NxNx2）（23485638NxxNx2）（299）36（156234238n2.2样本平均数抽样分布的特点样本平均数抽样分布的特点

（1）样本平均数抽样总体的总体平均数与原总体的总体平均数相等，）样本平均数抽样总体的总体平均数与原总体的总体平均数相等，因此，可用代替

（2）样本平均数抽样总体的方差与原总体的方差的关系为）样本平均数抽样总体的方差与原总体的方差的关系为（3）当随机变量）当随机变量xN（,2）时，样本平均）时，样本平均数数当随机变量当随机变量x不呈正态分布或分布未知时，只要样本容量不呈正态分布或分布未知时，只要样本容量n不断增大不断增大（或足够大），则样本平均数的分布逐渐趋向于正态分布，且平均数为（或足够大），则样本平均数的分布逐渐趋向于正态分布，且平均数为，方差为方差为中心极限定理样本平均值服从或近似服从正态分布xnx22n2）,（2nNx2.3与的关系与的关系

（1）

（2）表示原总体中各观测值的离散程度表示原总体中各观测值的离散程度表示样本平均数抽样总体中各样本平均数的离散程度表示样本平均数抽样总体中各样本平均数的离散程度（3）是总体中各观测值变异程度的度量值是总体中各观测值变异程度的度量值是样本平均数抽样误差的度量值是样本平均数抽样误差的度量值是用来衡量样本平均数代表总体平均数的代表程度的是用来衡量样本平均数代表总体平均数的代表程度的（4