江西科技学院 朱文强 倪爱洋 高情情.docx
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江西科技学院朱文强倪爱洋高情情
题目：
C
参赛队员：
队员1朱文强队员2倪爱洋队员3高情情
指导教师：
教练组
单位：
江西科技学院
2013高教社杯全国大学生数学建模竞赛
承诺书
我们仔细阅读了《全国大学生数学建模竞赛章程》和《全国大学生数学建模竞赛参赛规则》（以下简称为“竞赛章程和参赛规则”，可从全国大学生数学建模竞赛网站下载）。
我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。
我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的,如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。
我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。
如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。
我们授权全国大学生数学建模竞赛组委会，可将我们的论文以任何形式进行公开展示（包括进行网上公示，在书籍、期刊和其他媒体进行正式或非正式发表等）。
我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）：
C
我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）：
所属学校（请填写完整的全名）：
江西科技学院
参赛队员（打印并签名）：
1.
2.
3.
指导教师或指导教师组负责人（打印并签名）：
日期：
2013年09月16日
赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：
2013高教社杯全国大学生数学建模竞赛
编号专用页
赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：
赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：
评
阅
人
评
分
备
注
全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：
全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：
古塔的变形分析模型
摘要
本文通过对往年古塔观测所得的数据进行分析，运用了Excel，matlab等软件进行数理统计并计算出了最优均值，求出了古塔的各层的中心位置并建立了三次样条插值、数据拟合、和统计回归模型。
通过科学探测数据及分析数据可以更好的熟知古塔的变形情况和趋势，并制定古塔的相关保护措施。
针对问题一：
根据题目所提供的往年古塔观测的相关信息，主要运用Excel，matlab等软件进行编程分析及依据标准差公式求均值的数学方法确定了各层的中心坐标。
针对问题二：
根据问题一所求出的古塔中心坐标数值，运用直线拟合和相应的余弦值来分析古塔倾斜的变化情况；运用三次样分析弯曲变形情况；根据条插值法和曲线拟合模型，将各层中心之间的距离和与一层中心到塔尖的距离的比值分析古塔的弯曲程度，所提供的原始数据将每年各层第一点在底层的投影与底层第一点的距离与底层半径比值来分析扭曲变形情况。
针对问题三：
根据问题二所求出塔的倾斜、弯曲、扭曲等变形因素，拟合成相对应的变形量函数，从而预测未来塔的变形趋势。
关键词：
中心坐标、matlab、最优均值、三次样条插值法、数据拟合、变形趋势。
1问题重述
1.1背景
在幅员辽阔的中国大地上，古塔的踪影随处可见。
它们造型优美,结构巧妙，成为不可多得的独特景观。
由于古塔建造年代久远，圈于当时的科学技术且长时间承受自重、气温、风力等各种作用，偶然还受地震、飓风的影响，或多或少存在一些问题。
最常见的问题是地基不均匀沉降，从而导致塔体倾斜、弯曲、扭曲等。
由于古塔建造的年代不同，地质情况千差万别，建造后所经历的人为破坏和自然力破坏很多，因此，我们应当对古塔变形采取一些有效的保护措施。
同时，通过数据模型的建立和分析，掌握古塔的变形情况和趋势，对分析研究已有千年历史的古塔发生的倾斜，弯曲等变形情况都有实际的指导意义。
1.2相关情况
数据（见附件中数据文件data1.xls）来源于测绘公司提供的1986年、1996年、2009年和2011年的古塔观测数据。
请根据题目提供的数据，回答以下问题：
1.3问题的提出
问题一：
给出确定古塔各层中心位置的通用方法，并列表给出各次测量的古塔各层中心坐标。
问题二：
分析该塔倾斜、弯曲、扭曲等变形情况。
问题三：
分析该塔的变形趋势。
2.符号的设定
ai：
表示1986年各层各点的X轴坐标；
bi：
表示1986年各层各点的Y轴坐标；
ci：
表示1986年各层各点的Z轴坐标；
aii：
表示1996年各层各点的X轴坐标；
bii：
表示1996年各层各点的Y轴坐标；
cii：
表示1996年各层各点的Z轴坐标；
aiii：
表示2009年各层各点的X轴坐标；
biii：
表示2009年各层各点的Y轴坐标；
ciii：
表示2009年各层各点的Z轴坐标；
aiiii：
表示2011年各层各点的X轴坐标；
biiii：
表示2011年各层各点的Y轴坐标；
ciiii：
表示2011年各层各点的Z轴坐标；
3模型假设
（1）假设在条件允许的情况下，题目所提供的所有数据表中存在着小部分的数据缺失均暂不纳入考虑的范围内。
（2）假设测绘公司对该塔进行4次观测的数据真实有效。
（3）假设倾斜、弯曲、扭曲对塔的变形效果相同。
（4）假设影响古塔发生变形的因素是相关联的且随外界环境变化而改变。
（5）假设古塔发生变形与人为因素无关。
（6）假设4次观测古塔在观测间隔内变形量不大。
4模型的建立与求解
4.1问题一
题目的附件中数据文件data1.xls给出了四年的古塔相关坐标信息，根据所给数据分别绘制出各年观测图，如下：
根据题目要求我们应用了Excel,Matlab等软件并利用了标准差公式分别计算并绘制了1986,1996,2009,2011四年的最优均值表。
利用均值坐标确定古塔各次测量的各层中心坐标。
对问题一利用标准差公式：
x=
，
将附件data1.xls中的坐标值处理后得到最优均值数据文data1.xls_data4.xls的表格，按年份重新分类，分别为1986、1996、2009、2011年观测数据利用标准差所求的均值。
即为各次测量古塔各层的中心坐标，如下图所示：
4.2问题二
1）通过题目中附件data1.xls所提供的四年的古塔相关坐标信息数据，运用matlab软件，利用线性回归模型进行拟合将每年的相应坐标得出：
并得出相应的拟合直线并由直线方程确定直线的方向向量：
1986年：
1996年：
；
2009年：
；
2011年：
；
利用求余弦值来确定该塔的倾斜变形情况，经计算可得每年相对应余弦值如下：
从以上每年相对应线性余弦值可以看出：
<
<
<
所以该塔2009年比2011年倾斜，2011年比1986年倾斜，1986年比1996年倾斜。
2）利用各次测量的古塔各层中心坐标值，研究该塔的弯曲变形情况。
运用matlab软件求空间距里（
），利用各层间距之和与一层到塔尖的距离的比值来提供弯曲变形的参考因素，具体因素值如下表：
年份
间距
楼层数
1986年
1996年
2009年
2011年
1~2
5.5333
5.5321
5.5446
5.5274
2~3
5.4354
5.4366
5.4222
5.4366
3~4
4.3233
4.3246
4.3389
4.3253
4~5
4.6426
4.6413
4.6398
4.6521
5~6
4.5150
4.5139
4.5029
4.5017
6~7
3.6020
3.6030
3.6188
3.6127
7~8
3.5142
3.5133
3.5109
3.5200
8~9
3.5042
3.6281
3.5044
3.4864
9~10
3.3174
3.1945
3.3225
3.3227
10~11
4.2692
4.2757
4.2676
4.2812
11~12
4.2714
4.2723
4.2676
4.2594
12~13
4.1383
4.1463
4.1155
4.1297
13~塔尖
2.3478
2.3488
2.2778
2.2755
各层间距之和
53.4141
53.4305
53.3335
53.4944
一层到塔尖的距离
54.3410
53.3422
53.3321
53.3294
各层间距之和/一层到塔尖的距离
0.9829429
1.00165535
1.00002625
1.00309398
将各层间距之和与一层到塔尖的距离的比值作为一个变量因素，时间年份作为另一个变量因素，再运用三次样条插值方法，进行曲线拟合，得到相应曲线方程系数和图像，具体如下：
;从以上图形可以看出1986年至1996年，随着时间的增加弯曲变形情况比较明显的变强，1996年至2009年弯曲变形程度降低，呈现回缩的趋势，2009年至2011年弯曲变形程度又在渐渐增强，因此可以确定弯曲变形情况随时间的变化不是成线性变化的，有可能还受其它因素的共同影响。
3）利用题目所提供的原始数据，假设以第一层为基础平面，对该古塔四次观测数据中的各层第一点坐标作为参考数据，此次不考虑塔尖坐标作为参考数据，利用matlab软件计算出每年各层第一点在第一层投影的间距，并绘制图标如下：
1986
1996
2009
2011
1~2
0.2494
0.2500
0.2683
0.2684
2~3
0.2454
0.2463
0.2625
0.2627
3~4
0.1940
0.1946
0.2099
0.2099
4~5
0.2092
0.2098
0.2246
0.2248
5~6
0.2052
0.2058
0.4384
0.4385
6~7
0.2817
0.2822
0.1618
0.1619
7~8
0.2735
0.2742
0.2590
0.2590
8~9
0.2741
0.2749
0.2583
0.2585
9~10
0.2583
0.2587
0.2230
0.2231
10~11
0.2961
0.2968
0.2611
0.2611
11~12
0.2970
0.2977
0.2607
0.2609
12~13
0.2862
0.2863
0.2577
0.2577
注：
d表示为每年各层第一点投影在第一层之间的间距。
为了研究扭曲的变形情况，如果只考虑每年各层第一点投影在第一层之间的间距作为研究因素，很显然有点欠缺，为了更加形象有力探讨出扭曲的变形情况，将每年各层第一点投影在第一层之间的间距近似看成是圆的弧长，将各四年第一层第一点在xoy平面的距离作为半径，用每年各层第一点投影在第一层之间的间距与半径比值作为研究扭曲的变量因素。
经计算1986、1996、2009、2011四年半径分别为773.650372m、773.650314m、766.246819m、766.246824m。
利用软件分别计算出了每年各层第一点投影在第一层之间的间距与半径比值，具体如下表：
1986
1996
2009
2011
1~2
0.3223678
0.323143409
0.3501483
0.350278
2~3
0.3171975
0.318360887
0.3425789
0.3428399
3~4
0.2507593
0.25153483
0.2739326
0.2739326
4~5
0.2704064
0.271181949
0.293117
0.2933781
5~6
0.2652361
0.266011654
0.5721394
0.5722699
6~7
0.364118
0.36476428
0.2111591
0.2112896
7~8
0.3535189
0.354423691
0.3380112
0.3380112
8~9
0.3542944
0.355328493
0.3370976
0.3330126
9~10
0.3338717
0.3343888
0.2910289
0.2874086
10~11
0.382731
0.383635855
0.3407518
0.3363621
11~12
0.3838943
0.384799172
0.3402298
0.3404908
12~13
0.3699345
0.370063832
0.3363146
0.331982
平均值
0.330694
0.33147
0.335542
0.334271
注：
F表示为各层第一点投影在第一层之间的间距与半径比值*1000
将每年各层第一点投影在第一层之间的间距与半径比值作为一个变量因素，时间年份作为另一个变量因素，再运用三次样条插值方法，进行曲线拟合，得到相应曲线方程系数和图像，具体如下：
，从以上图形可以看出1986年至1990年附近扭曲变形回收，1990年附近至2007年附近扭曲变形程度近似于直线增长，2007至2011年扭曲变形程度又渐渐回收了。
4.3问题三
运用线性回归模型，设观测年份（t）与观测倾斜余弦值（y）线性相关，表达式：
y=at+c,通过matlab软件可求出回归系数a,c。
经运行得y3=-2.7465
x+1.0545。
问题二运用三次样条插值法，曲线拟合通过matlab软件已求出了弯曲和扭曲各自与年份的关系并求出了相应方程，具体分别如下：
；由上述三个方程可以看出塔的变形与倾斜，弯曲，扭曲三者息息相关，根据扭曲变形是在弯曲变形的基础上旋转，扭成螺旋状态，弯曲是在倾斜的基础上弯曲，所以三者相互影响塔的变形，所以变形趋势T=
；权重假设一样都为1/3,即T=
，预测出下几年的各自的变形趋势，2011年以后倾斜程度降低有可能回收，不会再继续向下倾斜；2011年以后的弯曲变形程度回收最后变化不大，基本趋于稳定；2011年以后的扭曲变形趋势下降，趋于回收状态，当然到最后倾斜，弯曲，扭曲基本都会趋于稳定状态。
经查阅和搜集文献可知：
中华人民共和国《建筑地基基础设计规范GB50007-2002》小于0.0025（多层和高层建筑的整体倾斜）的要求”
5古塔的日常保养与预警措施
5.1进行定期的科学观测：
1）.沉降观测 ：
地基的不均匀沉降是导致古塔倾斜的主要原因之一。
按照国家标准设置好水准点和观测点，使用固定的水准点和水准仪，水准尺，进行观测。
2）.倾斜和屈曲观测：
高层建筑物因为地基不均匀沉降而产生倾斜，由于不同季节南北两侧温度差异而引起区曲，被称之为温度疲劳，当他们发展到一定程度时会危及建筑物的安全。
因此，对古塔除进行沉降观测外，还必须进行倾斜和屈曲观测。
3）.裂缝观测：
古塔的砖砌体仍存在或发生裂缝时，除加强沉降与倾斜观测外，还应对裂缝进行观测。
根据沉降和裂缝观测的综合资料来查明变形的特性及原因，以便及时采取加固措施
4）.刚度观测：
如果砖体的裂缝发展到一定程度，势必会影响塔体的整体性，使它整体的刚度降低。
因此，定期检测塔体的动力特性进而计算出塔体刚度，这样的观测容易进行，而且反应也灵敏
5.2预警措施：
1）做好经常性的保护维护工作包括瓦顶除草、补漏、疏通水道、清理杂草树木以及检查避雷防火设备等。
山于古塔大部分是砖结构，砖体容易吸水而发生冻融破坏，塔檐若长期受雨水冲刷，砖缝灰浆也会流失，这样会降低塔体强度和整体刚度。
因此，除做好塔檐瓦顶的排水工作外，对于破损的塔砖要即时更换，对流失的砖缝灰浆要即时填补
2）对于建筑在湿陷性黄土场地上的古塔来讲，做好古塔周围的防水工作至关重要。
黄土湿陷的内因是其内部为点接触式的疏松大孔结构及高孔隙，湿陷的外因则是一个湿字。
因此，必须加强古塔塔基周围的防水。
6模型的评价与推广
6.1模型的评价
1.优点
（1）通过利用数学工具和matlab编程的方法，严格地对模型求解，具有科学性。
（2）建立的模型能与实际紧密联系，结合实际情况对所提出的问题进行求解，使模型更贴近实际，通用性、推广性较强。
（3）使用数学模型能更有说服力，逻辑推理更严紧，更直观。
（4）本文建立的模型可以处理少量数据分析汇总问题。
2.不足
（1）一些数据中，我们对数据进行了必要的处理，如：
舍弃数据，这些方法可能会带来一定的误差。
（2）模型虽然考虑到了很多因素，但是为了建立模型，理想化了许多影响因素，具有一定的局限性，得到的最优方案可能与实际有一定的出入。
（3）回归分析是研究因变量与自变量之间变动比例关系的一种方法，最终结果一般是建立某种经验性的回归方程，使计算结果与实际数据存在一定误差。
6.2模型的推广
本文建立的模型解决了分析该古塔倾斜、弯曲、扭曲等变形情况，采用了多因素多数据作表处理数据。
同时这个模型也能应用于其他变形有效分析与统计。
比如：
扭矩变形，刚体变形等。
参考文献
[1]赵静，但琦，《数学建模与数学实验》，北京：
高等教育教育出版社，2008.
[2]周品，赵新芬，《MATLAB数学建模与仿真》，北京：
国防工业出版社，2009.
[3]肖华勇，《实用数学建模与软件应用》，西安：
西北工业大学出版社，2008.
[4]司守奎，孙玺菁，《数学建模算法与应用》，北京：
国防工业出版社，2011.
[5]谭永基，蔡志杰，《数学模型》，上海：
复旦大学出版社，2011.
[6]陈东佐，康玉庆中国古塔的维修与保护，
[7]童华岗祁祺建设局质检站:
倾斜率小于国标,
附录：
MATLAB编程：
标准差求最优值：
x=[1986199620092011];y=[0.999891070.999937510.99858140.99989089];p=polyfit（x,y,1）
p=
f=@（x）sqrt（（565.454-x）.^2+（562.058-x）.^2+（561.39-x）.^2+（563.782-x）.^2+（567.941-x）.^2+（571.255-x）.^2+（571.938-x）.^2+（569.5-x）.^2）
[x,fval]=fminbnd（f,560,580）
空间距离：
a（x1,y1,z1）
b（x2,y2,z2）
norm（a-b）
曲线拟合：
x=[566.6648566.7196566.7735566.8161566.8624566.9084566.9468566.9842567.0217567.0569567.1045567.1518567.085567.2472];
y=[522.7105522.6684522.6273522.5944522.5591522.5244522.508522.4924522.4764522.4624522.423522.3836522.7403522.2437];
z=[1.78747.320312.755317.078321.720526.235129.836933.350936.854940.172144.440948.711952.834355.1232];
F=[z;11111111111111];
M=F*F';
N=F*x';
O=F*y';
A=（M\N）'
B=（M\O）'
A=
0.0100566.6480
B=
-0.0050522.6840
x1=0.0100*z+566.6480;
y1=-0.0050*z+522.6840;
z1=z;
plot3（x1,y1,z1,'r',x,y,z,'o'）
x=[566.665566.7205566.7751566.8183566.8649566.9118566.9506566.9884567.0265567.062567.3182567.3535567.0912567.2543];
y=[522.711522.6674522.6256522.5922522.5563522.5197522.5046522.4881522.4714522.4572522.4173522.3775522.734522.2367];
z=[1.7837.314612.750817.075121.71626.229529.832333.345436.973340.167644.435448.707452.8355.1198];
F=[z;11111111111111];
M=F*F';
N=F*x';
O=F*y';
A=（M\N）'
B=（M\O）'
A=
0.0118566.6242
B=
-0.0052522.6840
x1=0.0118*z+566.6242;
y1=-0.0052*z+522.6840;
z1=z;
plot3（x1,y1,z1,'r',x,y,z,'o'）
x=[566.7268566.764566.8001566.8293566.8529566.9472566.977567.0305567.0816567.137567.1799567.2225567.2712567.336];
y=[522.7015522.6693522.6384522.6132522.5866522.5342522.5123522.4797522.4466522.3937522.3547522.316522.2715522.2148];
z=[1.76467.30912.73117.069721.709426.21129.829633.339936.843840.165444.432648.699852.814855.091];
F=[z;11111111111111];
M=F*F';
N=F*x';
O=F*y';
A=（M\N）'
B=（M\O）'
A=
0.0117566.6542
B=
-0.0090522.7558
x1=0.0117*z+566.6542;
y1=-0.0090*z+522.7558;
z1=z;
plot3（x1,y1,z1,'r',x,y,z,'o'）
x=[566.727566.7642566.8004566.8297566.861
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