高考数学 第十三节 函数的应用教材.docx

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高考数学第十三节函数的应用教材

2019-2020年高考数学第十三节函数的应用教材

教材面面观

常见函数模型的增长变化情况：

（1）一次函数模型：

f（x）＝________（k，b为常数，k≠0），当k＞0时，f（x）为增函数，这个函数的增长速度是均匀的，我们常常用“直线上升”来形容一次函数模型的这个增长性质；

（2）反比例函数模型：

f（x）＝________（k，b为常数，k≠0），当k＞0时，f（x）在（0，＋∞）上是减函数（根据函数性质可知，f（x）在（－∞，0）上也是减函数），而且在（0，＋∞）上，f（x）递减的速度越来越缓慢；

（3）二次函数模型：

f（x）＝________（a，b，c为常数，a≠0），当a＞0时，f（x）在[－

，＋∞）上是增函数，且增长速度是变化的；

（4）指数函数模型：

f（x）＝________（a，b，c为常数，a≠0，b＞0，且b≠1），当a＞0，b＞1时，f（x）是增函数，且增长的速度越来越快，底数越大，增长速度越惊人．我们常用“指数爆炸”来形容这个性质；

（5）对数函数模型：

f（x）＝________（m，n，a为常数，m≠0，a＞0，且a≠1），当m＞0，a＞1时，f（x）是增函数，但是增长的速度越来越缓慢，底数越大，这个情况越明显．我们常用“对数平缓”来形容这个性质；

（6）幂函数模型：

f（x）＝________（a，n，b为常数，a≠0，n≠0）．当a＞0，n＞0时，f（x）在（0，＋∞）上是增函数，且增长的快慢程度与指数n密切相关．

答案　kx＋b　

＋b　ax2＋bx＋c　a·bx＋c　mlogax＋n　axn＋b

考点串串讲

1．三种函数模型的性质

函数

性质　　

y＝ax（a＞1）

y＝logax（a＞1）

y＝xn（n＞0）

在（0，＋∞）上的增减性

增函数

增函数

增函数

增长的速度

越来越快

越来越慢

相对平稳

图象的变化

随x增大逐渐上升

随x增大逐渐上升

随n值而不同

2.函数y＝ax（a＞1），y＝logax（a＞1）和y＝xn（n＞0）增长速度的对比

（1）对于指数函数y＝ax（a＞1）和幂函数y＝xn（n＞0），在区间（0，＋∞）上，无论n比a大多少，尽管在x的一定范围内，ax会小于xn，但由于指数函数增长速度快于幂函数的增长速度，因此总存在一个x0，当x＞x0时，就会有ax＞xn.

（2）对于对数函数y＝logax（a＞1）和幂函数y＝xn（n＞0），在区间（0，＋∞）上，尽管在x的一定范围内，logax可能会大于xn，但由于logax的增长慢于xn的增长，因此总存在一个x0，当x＞x0时，就会有xn＞logax.

（3）在区间（0，＋∞）上，尽管函数y＝ax（a＞1），y＝logax（a＞1）和y＝xn（n＞0）都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次”上．随着x的增大，总会存在一个x0，当x＞x0时，就会有logax＜xn＜ax.

3．解答函数应用题的一般步骤是

第一步：

阅读题目中的文字叙述，理解叙述中所反映的实际背景，领悟从背景中概括出来的数学实质．尤其是理解叙述中的新名词、新概念，进而把握住新信息．

在此基础上，分析出已知什么，求什么，涉及哪些知识，确定自变量与函数值的意义．审题时要抓住题目中的关键量，要勇于探索，敏于发现、归纳，善于联想、化归，实际问题向数学问题的转化．

第二步：

引进数学符号，建立数学模型．

一般地，设自变量为x，函数为y，并用x表示各相关量，然后根据已知条件，运用已掌握的数学知识、物理知识及其他相关知识建立函数关系，将实际问题转化为一个数学问题，实现问题的数学化，即所谓建立数学模型．

第三步：

利用数学方法将得到的常规数学问题（即数学模型）予以解答，求得结果．

第四步：

再转设成具体问题作出解答．

这个过程也可用以下框图表示：

4．解答应用题的关键

解答应用题的关键在于审题上，而要准确理解题意，又必须过好三关：

（1）通过阅读、理解，明白问题讲的是什么，熟悉实际背景，为解题打开突破口．

（2）将实际问题的文字语言转化为数学的符号语言，用数学式子表示数学关系．

（3）在构建数学模型的过程中，对已知数学知识进行检索，从而认定或构建相应的数学模型，完成由实际问题向数学问题的转化，构建了数学模型之后，要真正解决数学问题，就需要具备扎实的基础知识和较强的数理能力．

5．函数模型的确定

利用给定的函数模型或建立确定的函数模型解决实际问题的方法：

（1）根据题意选用恰当的函数模型来描述所涉及的数量之间的关系；

（2）利用待定系数法，确定具体函数模型；

（3）对选定的函数模型进行适当的评价、比较、并选择最恰当的模型；

（4）根据实际问题对模型进行适当的修正．

6．数学拟合过程中的假设

就一般的数学建模来说，是离不开假设的，如果在问题的原始状态下不作任何假设，将所有的变化因素全部考虑进去．对于稍复杂一点的问题就无法下手了，假设的作用主要表现在以下几个方面：

（1）进一步明确模型中需要考虑的因素和它们在问题中的作用．通常，初步接触一个问题，会觉得围绕它的因素非常多，经仔细分析观察，发现有的因素并无实质联系，有的因素是无关紧要的，排除这些因素，问题则越发清晰明朗，在假设时就可以设这些因素不需考虑．

（2）降低解题难度．虽然每一个解题者的能力不同，但经过适当的假设就都可以有能力建立数学模型，并且得到相应的解．

一般情况下，是先在最简单的情形下组建模型，然后通过不断地调整假设使模型尽可能地接近实际，从而得到更满意的解.

典例对对碰

题型一二次函数模型

例1某旅游公司有客房300间，每间日房租为20元，每天都客满，公司欲提高档次，并提高租金．如果每间客房每日增加2元，客房出租数就会减少10间，若不考虑其他因素，公司将房间租金提高到多少时，每天客房的租金总收入最高．

解析　设客房租金每间提高x个2元，则将有10x间客房空出，客房租金总收入为y＝（20＋2x）（300－10x），x∈N.这个二次函数图象的对称轴为x＝

＝10,20＋2x＝40.

当x＝10时，y最大值＝（20＋20）（300－100）＝8000.

答：

将房间租金提高到40元/间时，客房租金总收入最高，每天为8000元．

点评　本题中自变量为正整数，要结合二次函数的对称性，确定何时取最大值，若求出对称轴为x＝a＋

，n是整数，则x＝n，n＋1可能都符合题意，总之要注意二次函数的对称性并结合定义域来解决问题.

变式迁移1

有一批材料可以围成200米长的围墙，现用此材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地，且内部用此材料隔成三个面积相等的矩形（如图所示），则围成的矩形场地的最大面积为（　　）

A．1000米2　　　　　　　

B．2000米2

C．2500米2

D．3000米2

答案　C

解析　设三个面积相等的矩形的长、宽分别为x米、y米，如题图所示，则4x＋3y＝200，又S＝3xy＝3x·

＝x（200－4x）＝－4（x－25）2＋2500，∴当x＝25时，Smax＝2500.

题型二分段函数模型

例2某公司生产一种电子仪器的固定成本为xx0元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知每月总收益满足函数：

R（x）＝

其中x是仪器的月产量．

（1）将利润表示为月产量的函数f（x）；

（2）当月产量为何值时，公司所获利润最大？

最大利润为多少元？

（总收益＝总成本＋利润）

分析　本题考查二次函数的解析式和最值问题．由总收益＝总成本＋利润，可知利润＝总收益－总成本．由R（x）是分段函数，所以f（x）也要分段求出．分别求出f（x）在各段中的最大值，通过比较，就能确定f（x）的最大值．

解析　

（1）设月产量为x台，则总成本为xx0＋100x，从而

f（x）＝

（2）当0≤x≤400时，

f（x）＝－

x2＋300x－xx0＝－

（x－300）2＋25000，

∴当x＝300时，f（x）max＝25000.

当x＞400时，f（x）＝－100x＋60000，此时f（x）在定义域上是减函数，

∴f（x）＜f（400）＝xx0.

综合以上情形可知，当x＝300时，f（x）的最大值为25000.

答：

每月生产300台仪器时，利润最大，最大利润为25000元．

点评　在函数的应用题中，已知的等量关系是解题的依据．像此题中的利润＝总收益－总成本，又如销售额＝销售价格×销售数量等．另外，几何中的面积、体积公式，物理学中的一些公式等，也常用来构造函数关系.

变式迁移2

已知A、B两地相距150千米，某人开汽车以60千米/小时的速度从A地前往B地，到达B地停留1小时后再以50千米/小时的速度返回A地，把汽车离开A地的距离x（千米）表示为时间t（小时）的函数，则下列正确的是（　　）

A．x＝60t＋50t（0≤t≤6.5）

B．x＝

C．x＝

D．x＝

答案　D

解析　依题意，函数为分段函数，求出每一段上的解析式即可.

题型三指数函数模型

例3若某厂去年年产值为a万元，以后计划每年按年增长率为p%增长，则x年后的年产值y为多少呢？

解析　我们先看看特例：

经过1年后其年产值为a（1＋p%）；

经过2年后其年产值为a（1＋p%）＋a（1＋p%）p%＝a（1＋p%）2；

经过3年后其生产值为a（1＋p%）3；

归纳到一般有：

经过x年后其生产值为y＝a（1＋p%）x.

因而得到增长率的计算公式为y＝a（1＋p%）x.

类似地有下降率的计算公式为y＝a（1－p%）x.

点评　类似地有储蓄中复利的计算公式为y＝a（1＋r）x.

变式迁移3

为了预防甲型H1N1流感，某学校用某种药物对教室进行消毒．已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间t（小时）成正比；药物释放完毕后，y与t的函数关系式为y＝（

）t－a（a为常数），如图所示，根据图中提供的信息，回答下列问题：

（1）求从药物释放开始，每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间t（小时）之间的函数关系式；

（2）据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进教室，那么从药物释放开始，至少需要经过多少小时，学生才能回到教室．

解析　

（1）由于图中直线的斜率k＝

＝10，所以图象中线段的方程为y＝10t（0≤t≤0.1），

又点（0.1,1）在曲线y＝（

）t－a上，所以1＝（

）0.1－a，所以a＝0.1，因此含药量y（毫克）与时间t（小时）之间的函数关系式为y＝

.

（2）因为药物释放过程中室内药量一直在增加，即使药量小于0.25毫克，学生也不能进入教室，所以只有当药物释放完毕后，室内药量减少到0.25毫克以下时学生方可进入教室，即（

）t－0.1＜0.25，解得t＞0.6，所以从药物释放开始，至少需要经过0.6小时，学生才能回到教室.

题型四对数函数模型

例4有时可用函数

f（x）＝

描述学习某学科知识的掌握程度，其中x表示某学科知识的学习次数（x∈N*），f（x）表示对该学科知识的掌握程度，正实数a与学科知识有关．

（1）证明：

当x≥7时，掌握程度的增长量f（x＋1）－f（x）总是下降；

（2）根据经验，学科甲、乙、丙对应的a的取值区间分别为（115,121]，（121,127]，（127,133]．当学习某学科知识6次时，掌握程度是85%，请确定相应的学科．

分析　

（1）只要根据函数解析式作差，判断其单调递减即可；

（2）即当自变量等于6，函数值等于0.85时，确定正实数a的取值范围．

解析　

（1）当x≥7时，f（x＋1）－f（x）＝

，而当x≥7时，函数y＝（x－3）（x－4）单调递增，且（x－3）（x－4）＞0，故f（x＋1）－f（x）单调递减，∴当x≥7时，掌握程度的增长量f（x＋1）－f（x）总是下降．

（2）由题意可知0.1＋15ln

＝0.85，整理得

＝e0.05，

解得a＝

×6≈20.5×6＝123，而123∈（121,127]，由此可知，该学科是乙学科．

变式迁移4

在不考虑空气阻力的条件下，火箭的最大速度v（m/s）和燃料的质量M（kg）、火箭（除燃料外）的质量m（kg）的函数关系是v＝xxln（1＋

），要使火箭的最大速度可达12km/s，则燃料的质量与火箭的质量的比值是__________．

答案　e6－1

解析　v＝12km/s＝1.2×104m/s，

代入v＝xxln（1＋

）中得：

1．2×104＝xxln（1＋

）⇒

＝e6－1，即燃料的质量与火箭的质量的比值是e6－1.

题型五对号函数模型

例5围建一个面积为360m2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙（利用的旧墙需维修），其他三面围墙要新建，在旧墙对面的新墙上要留一个宽度为2m的进出口，如图所示．已知旧墙的维修费用为45元/m，新墙的造价为180元/m.设利用的旧墙长度为x（单位：

m），修建此矩形场地围墙的总费用为y（单位：

元）．

（1）将y表示为x的函数；

（2）试确定x，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用．

解析　

（1）如图所示，设矩形的另一边长为am，

则y＝45x＋180（x－2）＋180·2a＝225x＋360a－360，

由已知xa＝360，得a＝

.

所以y＝225x＋

－360（x＞0）．

（2）∵x＞0，∴225x＋

≥2

＝10800.

∴y＝225x＋

－360≥10440.

当且仅当225x＝

时，等号成立．

即当x＝24m时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是10440元．

变式迁移5

某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品，其生产的总成本y（万元）与年产量x（吨）之间的函数关系式可以近似地表示为y＝

－48x＋8000，已知此生产线的年产量最大为210吨．

（1）求年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成本最低，并求最低成本；

（2）若每吨产品平均出厂价为40万元，那么年产量为多少吨时，可以获得最大利润？

最大利润是多少？

解析　

（1）生产每吨产品的平均成本为f（x）＝

＝

＋

－48（0＜x≤210），

由于

＋

－48≥2

－48＝2×40－48＝32，

当且仅当

＝

，即x＝200时等号成立．

故年产量为200吨时，生产每吨产品的平均成本最低为32万元．

（2）设年利润为s，则s＝40x－（

－48x＋8000）＝－

＋88x－8000＝－

（x－220）2＋1680（0＜x≤210），

由于s在（0,210]上为增函数，故当x＝210时，s取得最大值为1660.

故年产量为210吨时，可以获得最大利润为1660万元．

【教师备课资源】

题型六一次函数模型

例6商店出售茶壶和茶杯，茶壶每只定价20元，茶杯每只定价5元，该商店现推出两种优惠办法：

（1）买一只茶壶赠送一只茶杯；

（2）按购买总价的92%付款．

某顾客需购买茶壶4只，茶杯若干只（不少于4只），若以购买x只茶杯的付款为y元，试分别建立两种优惠办法中y与x之间的函数关系式，并指出如果该顾客需购买茶杯40只，应选择哪种优惠办法？

解析　由优惠办法

（1）得函数关系式为y1＝20×4＋5（x－4）＝5x＋60（x≥4，x∈N*）．

由优惠办法

（2）得函数关系式为y2＝（20×4＋5x）×92%＝4.6x＋73.6（x≥4，x∈N*）．

当该顾客需购买茶杯40只时，采用优惠办法

（1）应付款y1＝5×40＋60＝260（元）；采用优惠办法

（2）应付款y2＝4.6×40＋73.6＝257.6（元），由于y2＜y1，因此应选择优惠办法

（2）．

点评　注意分析问题时要抓住实质，本题的实质是一个一次函数问题.

变式迁移6

某超市销售一种奥运纪念品，每件售价11.7元，后来，此纪念品的进价降低了6.4%，售价不变，从而超市销售这种纪念品的利润提高了8%.则这种纪念品的原进价是________元．

答案　6.5

解析　设原进价为x元，则依题意有（11.7－x）（1＋8%）＝11.7－（1－6.4%）x，解得x＝6.5.

题型七函数模型的确定

例7以下是某地区不同身高的未成年男性体重的平均值表：

身高/cm

60

70

80

90

100

110

120

130

140

150

160

170

体重/kg

6.13

7.90

9.99

12.15

15.02

15.70

20.92

26.86

31.11

38.85

47.25

55.05

（1）根据表中提供的数据，能否从我们已学过的函数y＝ax＋b，y＝alnx，y＝a·bx中选择一种函数，使它比较近似地反映出该地区未成年男性体重y关于x的函数关系式？

试求这个函数关系式；

（2）若体重超过相同身高男性平均值的1.2倍为偏胖，低于0.8倍为偏瘦，那么该地区某一中学生身高为175cm，体重为78kg，他的体重是否正常？

解析　根据散点图选择函数关系式．

（1）记身高为x，体重为y，作（x，y）的散点图（略）．根据变化趋势；增长的速度越来越快，事实上不画散点图，从表中也能观察出这个变化趋势，再根据“对数增长，直线上升，指数爆炸”这个规律，应选择指数函数模型：

y＝a·bx，反映上述数据之间的对应关系．

把（70,7.90），（160,47.25）两组数据代入上述关系，得

利用计算器，得a＝2，b＝1.02.

所以，该地区未成年男性体重关于身高的近似函数关系式可选为y＝2×1.02x.

将没有使用的表中自变量代入检验，可知所求函数模型能较好地反映题中关系．

（2）把x＝175代入y＝2×1.02x得y＝2×1.02175≈63.98.

由于78÷63.98≈1.22＞1.2，因此可认为这名男生体型偏胖．

点评　根据收集到的数据，作出散点图，然后通过观察散点图变化趋势选择适当的函数模型，再利用计算器或计算机的数据拟合功能得出具体的函数关系式，再用得到的函数模型解决相应的问题，这是函数应用的基本过程，但由于选择函数模型的多种性，造成考查这种能力有一定困难，因此本题采用限定函数模型，若是进一步限定所取散点，则所得具体函数将是唯一的，这样的题型是可以在考试中出现的，因为答案唯一，阅卷也就比较方便，也基本达到了考查应用函数模型解题的能力这一目的.

变式迁移7

南方某地市场信息中心为了分析本地区蔬菜的供求情况，通过调查得到家种野菜“芦蒿”的市场需求量和供应量数据（见下表）．

芦蒿的市场需求量信息表（表1）

需求量y吨

40

38

37.1

36

32.8

30

价值x千元/吨

2

2.4

2.6

2.8

3.4

4

芦蒿的市场供应量信息表（表2）

价值y千元/吨

2

2.5

3.2

4.46

5

5.3

供应量x吨

29

32

36.3

40.9

44.6

47

（1）试写出描述芦蒿市场需求量y关于价格x的近似函数关系式；

（2）试根据这些信息，探求市场对芦蒿的供求平衡量（需求量与供应量相等，又称供求平衡），近似到吨．

解析　

（1）在直角坐标系中，由表

（1）描出数对（x，y）对应的点，由图可知这些点近似地构成一条直线（其中四个点在一条直线上），所以芦蒿的市场需求量关于价格的近似函数关系式为y－40＝

（x－2），即y＝50－5x　①.表

（2）同理可知芦蒿的市场价格关于供应量的近似函数关系式为y＝

x－

，所以芦蒿的市场供应量关于价格的近似函数关系为y＝6x＋17　②.

（2）解①、②联立的方程组，得x＝3，y＝35，则市场对芦蒿的供求平衡量为35吨．

题型八几类函数模型增长差异

例8研究函数y＝0.5ex－2，y＝ln（x＋1），y＝x2－1在[0，＋∞）上的增长情况．

分析　画出函数的图象，先观察图象，然后给出具体的计算，或者给出一个粗略的估计，如本题中令f（x）＝0.5ex－x2－1，计算知f

（2）＜0，f（3）＞0，则可以取x0＝3，即当x＞3时，不等式ln（x＋1）＜x2－1＜0.5ex－2恒成立．

解析　分别在同一个坐标系中画出三个函数的图象，如图所示，从图象上可以看出函数y＝0.5ex－2的图象首先超过了函数y＝ln（x＋1）的图象，然后又超过了y＝x2－1的图象，即存在一个满足0.5ex0－2＝x

－1的x0（这个x0的近似值可以用二分法求得），当x＞x0时，ln（x＋1）＜x2－1＜0.5ex－2.

变式迁移8

研究函数y＝0.1x与函数y＝lgx在（0，＋∞）上的变化情况．

解析　在同一坐标系中分别画出两个函数的图象，如图所示，可以看出，两个函数都是增函数，只在某一段区域上函数y＝lgx的图象位于函数y＝0.1x图象的上方，而当x＞10时，恒有lgx＜0.1x.

方法路路通

1．分析不同类型函数增长差异的方法是

（1）在同一坐标系下正确、规范地作图；

（2）找到不同函数图象的交点；

（3）注重每种函数自身的单调性；

（4）整体把握．

2．几类常见函数模型的增长特点是

（1）直线型y＝kx＋b（k＞0）函数平稳增长；

（2）对数型y＝logax（a＞1）函数增长缓慢；

（3）指数函数y＝ax（a＞1）函数增长迅速．

一般称为直线上升，对数增长，指数爆炸．

3．解答应用题的基本思想和程序

（1）解应用题的基本思想

（2）解答应用问题的程序概括为“四步八字”，即

①审题：

弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择模型．

②建模：

将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型．

③求模：

求解数学模型，得出数学结论．

④还原：

将数学结论还原.

正误题题辨

例如图所示，在矩形ABCD中，已知AB＝a，BC＝b（a＞b）．在AB、AD、CD、CB上分别截取AE、AH、CG、CF都等于x，当x为何值时，四边形EFGH的面积最大？

求出这个最大面积．

错解　设四边形EFGH的面积为S，

由题意得S△AEH＝S△CFG＝

x2，

S△BEF＝S△DHG＝

（a－x）·（b－x）．

由此得S＝ab－2[

x2＋

（a－x）（b－x）]

＝－2x2＋（a＋b）x

＝－2（x－

）2＋

.

当x＝

时，S取得最大值

.

点击　错误的原因在于忽略了这个实际问题中自变量x的取值范围：

0＜x≤b.由于a＞b＞0，所以当a＞3b时，

＞b，自变量x不能取得

，面积S不能取得最大值

.

正解　由前面的计算可得S＝－2（x－

）2＋

，

由题意可得函数的定义域为{x|0＜x≤b}，因为a＞b＞0，所以0＜b＜

.

若

≤b，即a≤3b，当x＝

时面积S取得最大值

；

若

＞b，即a＞3b时，函数S＝－2（x－

）2＋

在（0，b]上是增函数，因此，当x＝b时，面积S取得最大值ab－b2.综上可知，若a≤3b，当x＝

时，四边形EFGH的面积取得最大值

；若a＞3b，当x＝b时，四边形EFGH的面积取得最大值ab－b2.

2019-2020年高考数学第十二节函数与方程教材

教材面面观

1．一般地，如果函数y＝f（x）在实数α处的值等于零，即________，则α叫做这个函数的________．

答案　f（α）＝0　零点

2．方程的根与函数的零点的关系：

由函数的零点的概念可知，函数y＝f（x）的零点就是方程f（x）＝0的实数根，也就是函数y＝f（x）的图象与______