七年级下册数学第九章 不等式与不等式组 导学案.docx
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七年级下册数学第九章不等式与不等式组导学案
第九章不等式与不等式组
9.1不等式
9.1.1不等式及其解集
1.了解不等式概念，理解不等式的解集，能正确表示不等式的解集.
2.培养数感，渗透数形结合的思想.
3.培养自主学习的能力，合作交流意识与探究精神.
自学指导：
自学教材第114至115页，思考并完成下列问题（先独立思考，后小组交流完善）
自学反馈
1.根据下列语句，列出不等式.
（1）a是负数（a＜0）
（2）a与b的和小于5（a＋b＜5）
（3）x与2的差大于-1（x-2＞-1）
（4）x的4倍大于7（4x＞7）
（5）y的一半小于3（
y<3）
（6）x的2倍与1的和的
减去2所得的差是正数（
（2x+1）-2>0）
2.下列数值哪些是不等式x+3＞6的解？
哪些不是？
-4，-2.5，0，1，2.5，3，3.2，4.8，8，12.
解：
3.2，4.8，8，12是.
3.请你试着直接写出下列不等式的解集.
（1）2x＜8
（2）x-2＞0（3）2x+1＜3（4）a2+1＞0
解：
（1）不等式2x＜8的解集是:
x＜4
（2）不等式x-2＞0的解集是:
x＞2
（3）不等式2x+1＜3的解集是:
x＜1
（4）不等式a2+1＞0的解集是:
a取任何数.
活动1不等式的定义
幻灯片出示刘翔跨栏、姚明身高及日常生活中的一些高低、轻重、大小等现象，引出本节课内容.
不等式的定义：
用含有“<”或“>”号表示大小关系的式子，叫做不等式.
找一找：
下列式子哪些是不等式？
哪些不是不等式？
（1）-2＜5
（2）x+3＞0（3）4x-2y＜0（4）a-2b
（5）x2-2x+1＜0（6）y+2≠y-2（7）5m+3=8
解：
（1）
（2）（3）（5）（6）是不等式，（4）（7）不是不等式.
活动2不等式的解集
（1）问题：
一辆匀速行驶的汽车在11：
20距离A地50千米，要在12：
00之前驶过A地，车速应满足什么条件？
解：
设车速是x千米/时.
从时间上看，汽车要在12：
00之前驶过A地，则以这个速度行驶50千米所用的时间不到
小时，用式子表示：
<
.
从路程上看，汽车要在12：
00这前驶过A地，则以这个速度行驶
小时的路程要超过50千米，用式子表示：
x>50.
（2）虽然以上两个式子从不同角度表示了车速应满足的条件，但是我们希望更明确地得出x应取哪些值.
对于不等式
x>50我们给出当x=78、x=75、x=72的不同取值，发现只有x=78时，不等式成立，由此得出：
使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解.
（3）列表试值寻找不等式
x>50的解，发现它有无数个解，而且x>75时的值都是不等式
x>50的解，即当x＞75时，不等式总成立.进而得出：
能使不等式成立的未知数的取值范围，叫做不等式的解的集合，简称解集.
求不等式解集的过程叫做解不等式.
活动3利用数轴来表示不等式的解集
画一画:
利用数轴来表示下列不等式的解集.
（1）x＞-1
（2）x＜
活动4课堂小结
9.1.2不等式的性质
1.掌握不等式的三个基本性质并且能正确应用.
2.通过解决实际问题，初步体会学习不等式基本性质的价值，让学生感受到数学与生活的密切联系.
3.经历探究不等式基本性质的过程，培养学生的合作意识，发展学生分析问题和解决问题的能力.
自学指导：
阅读教材第116至119页，回答下列问题：
知识探究
不等式基本性质1:
如果a＞b，那么a±c＞b±c，就是说不等式两边都加上（或减去）同一个数（或式子）,不等号方向不变.
不等式基本性质2：
如果a＞b，c>0,那么ac>bc（或
>
）就是说不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变.
不等式基本性质3：
如果a>b，c<0，那么ac<
）就是说不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变.
自学反馈
1.设a＞b，用“＜”或“＞”填空并口答是根据哪一条不等式基本性质.
（1）a-3>b-3；
（2）a÷3>b÷3
（3）0.1a>0.1b;
（4）-4a<-4b
（5）2a+3>2b+3;
（6）（m2+1）a>（m2+1）b（m为常数）
2.判断正误
（１）如果a＞b，那么ac＞bc.（错）
（２）如果a＞b，那么ac2＞bc2.（错）
（３）如果ac2＞bc2,那么a＞b.（正确）
在第
（2）题当中，c可能为0，从而使ac2=bc2，所以错.
活动1复习回顾
一、等式的性质
等式的基本性质1:
在等式两边都加上（或减去）同一个数或整式，结果仍相等.
等式的基本性质2:
在等式两边都乘以或除以同一个数（除数不为0），结果仍相等.
二、解一元一次方程的基本步骤
１.去分母
２.去括号
３.移项
４.合并同类项
５.系数化为１
活动2探索新知
1.用“>”或“<”填空，并总结其中的规律：
（1）5>35+2>3+2,5-2>3-2;
（2）-1<3-1+2<3+2,-1-3<3-3;
（3）6＞26×5>2×5,6×（-5）<2×（-5）
（4）-2<3（-2）×6<3×6,（-2）×（-6）>3×（-6）
2.根据发现的规律填空:
当不等式两边加或减去同一个数（正数或负数）时,不等号的方向不变；当不等式的两边同乘以一个正数时,不等号的方向不变;当不等式的两边同乘以一个负数时,不等号的方向改变.
不等式的性质1不等式的两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变.
字母表示为：
如果a＞b，那么a±c>b±c.
不等式的性质2不等式的两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变.
字母表示为：
如果a＞b，c>0,那么ac>bc（或
>
）.
不等式的性质3不等式的两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变.
字母表示为：
如果a>b，c<0,那么ac<
）.
活动3例题解析
例１利用不等式的性质解下列不等式.
（1）x-７＞26
（2）3x<2x+1（3）-x>50（4）-4x>3
解未知数为x的不等式，就是要使不等式逐步化为x>a或x解：
（１）为了使不等式x-７＞26中不等号的一边变为x，根据不等式的性质１，不等式两边都加７，不等号的方向不变，得:
x-７+７>26+７,x>33.
这个不等式的解集在数轴上的表示如图
（2）3x<2x+1
为了使不等式3x<2x+1中不等号的一边变为x，根据不等式的性质1，不等式两边都减去2x，不等号的方向不变.得，3x-2x<2x+1-2x,x<1.
这个不等式的解集在数轴上的表示如图
（3）-x>50
为了使不等式-x>50中不等号的一边变为x，根据不等式的性质3，不等式的两边都乘-1,不等号的方向改变，得:
x<-50.
这个不等式的解在数轴上的表示如图
（4）-4x>3
为了使不等式-4x>3中的不等号的一边变为x，根据不等式的性质3，不等式两边都除以-4，不等号的方向改变，得:
x<-
.
这个不等式的解集在数轴上的表示如图
（3）（4）的求解过程，类似于解方程两边都除以未知数的系数（未知数系数化为１），解不等式时要注意未知数系数的正负，以决定是否改变不等号的方向.
活动4跟踪训练
用不等式的性质解下列不等式,并在数轴上表示解集：
（1）x+5>-1;
（2）4x<3x-5;（3）17x<67;（4）-8x>10.
（答案略）
活动5问题探究
探究：
已知a<0，试比较2a与a的大小
解法一：
∵2＞1，a＜0，
∴2a＜a.（不等式的性质3）
解法二：
在数轴上分别表示2a和a的点（a＜0），如图.2a位于a的左边，所以2a＜a.
解法三：
∵2a-a=a,
又∵a＜0,
∴2a-a＜0,
∴2a活动6不等式的应用
例1用炸药爆破时，如果导火索燃烧的速度是0.8cm/s，人跑开的速度是每秒4m，为了使点导火索的战士在爆破时能够跑到100m以外的安全区域，这个导火索的长度应大于多少厘米?
解：
设导火索的长度是xcm.根据题意，得
×4≥100,解得x≥20.
答：
导火索的长度应大于20cm.
例2某长方体形状的容器长5cm，宽3cm，高10cm.容器内原有水的高度为3cm，现准备向它继续注水.用V（单位：
cm3）表示新注入水的体积，写出V的取值范围.
解：
新注入水的体积V与原有水的体积的和不能超过容器的容积，即
V+3×5×3≤3×5×10,解得:
V≤105.
又由于新注入水的体积不能是负数，因此，V的取值范围是V≥0并且V≤105.
在数轴上表示V的取值范围如图
例3三角形中任意两边之差与第三边有怎样的大小关系？
解：
如图，
设a,b,c为任意一个三角形的三条边的长，则a＋b＞c,b＋c＞a,c＋a＞b.
由式子a＋b＞c移项可得a＞c-b,b＞c-a.
类似地，由式子b+c＞a及c+a＞b移项可得c＞a-b,b＞a-c及c＞b-a,a＞b-c.
结论：
三角形中任意两边之差小于第三边.
活动7课堂小结
1.不等式的性质.
2.不等式性质的作用：
将不等式化为：
x>a或x3.不等式的应用.
4.三角形中任意两边之差小于第三边.
9.2一元一次不等式
第1课时一元一次不等式的解法
1.能将实际问题转化为一元一次不等式；会根据具体问题中的数量关系列一元一次不等式.
2.归纳列一元一次不等式解实际问题的基本步骤，培养学生的数学建模能力.
3.通过解决实际问题，体会一元一次不等式在生活中的应用价值，培养学生学习数学的兴趣.
自学指导：
阅读教材中第122至124页，完成下面练习.
自学反馈
某市自来水公司按如下标准收费：
用户每月用水在5立方米之内的，按每立方米1.5元收费；超出5立方米的部分，每立方米收费2元.小明家某月的水费超过了15元，那么他家这个月的用水量至少是多少立方米？
（结果取整数）
解：
设小明家这个月的用水量为x立方米.
1.5×5＋2（x-5）>15,解得：
x>8.75.
因为x取整数，所以x≥9.
答：
小明家这个月的用水量至少为9立方米.
活动1一元一次不等式的概念
想一想：
观察下列不等式，有什么共同点？
并试着给它们起名.
（1）2x＜8
（2）y-2＞0（3）x＞50
像这样，只含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式.
类比一元一次方程进行记忆.
活动2问题探究
放映幻灯片，播放一组日常生活商场购物场景，导入新课.
甲、乙两商场以同样价格出售同样的商品,并且又各自推出不同的优惠方案：
在甲商场累计购买100元商品后，再购买的商品按原价的90%收费；在乙商场累计购买50元商品后，再购买的商品按原价的95%收费.顾客怎样选择商场购物能获得更大优惠？
甲商场优惠方案的起点为购物款达100元后；乙商场优惠方案的起点为购物款达50元后
累计购买金额
选择哪家商场合算
40元
两家一样
80元
乙商场
140元
乙商场
160元
甲商场
分析:
乙店消费＞甲店消费
若设累计购物x元（x＞100），如果在甲店购物花费小，则
50+0.95（x-50）＞100+0.9（x-100）
解得：
x>150
所以累计购物超过150元时在甲店购物花费少.
解：
（1）当x≤50时,则在甲、乙两店是一样的;
（2）当50（3）当x＞100时,设在甲店应付款y1元,在乙店付款y2元,则
y1=100+0.9（x-100）=0.9x+10，
y2=50+0.95（x-50）=0.95x+2.5,
①当x＜150时,y1＞y2,则在乙店购买花费少些;
②当x=150时,y1=y2,则在甲乙两店是一样的;
③当x＞150时,y1＜y2,则在甲店购买花费少些.
通过以上探究，你能对不同的消费者设计出不同方案吗？
假设累计购物为x元，
则当0＜x≤50或x=150时，任选一家；
当50＜x＜150时，选乙店；
当x＞150时，选甲店.
用不等式解决实际问题时注意根据题意，分情况讨论.
活动3例题解析
例名山通票60元/人，团购优惠方法（10人以下不予优惠）如下：
A.全体八折优惠；
B.一人免费其余八五折优惠.
假如我们要组团（不少于10人）去旅游,利用我们学过的知识分析一下，你们会选择那种方式购票？
解：
设组团人数为x人，选择A种方式所需费用为60×0.8x元,选择B种方式所需费用为60×0.85（x-1）元，则
（1）A、B两种方式所需费用一样时：
60×0.8x=60×0.85（x-1），解得：
x=17.
（2）A方式较B方式优惠时：
60×0.8x<60×0.85（x-1），解得：
x>17.
（3）B方式较A方式优惠时：
60×0.8x>60×0.85（x-1），解得：
x<17.
答:
当人数为17人时,A、B方式任选一种;当人数超过17人时,选A方式合适;当人数少于17人而不少于10人时,选B方式合适.
活动4课堂小结
归纳出应用一元一次不等式解实际问题的一般步骤
第2课时一元一次不等式的应用
1.能根据实际问题中的数量关系，列出一元一次不等式，解决简单问题.
2.初步体会一元一次不等式的应用价值，发展学生的分析问题和解决问题的能力.
自学指导：
阅读教材第124至125页，完成下列问题（先独立完成，再小组讨论）
知识探究
问题1某人问一位老师，他所教的班有多少名学生，老师说：
“一半的学生在学数学，四分之一的学生在学音乐，七分之一的学生在学外语，还剩不足6位同学在操场上踢足球”.求这个班共有多少名学生？
解：
设这个班有学生x名.根据题意，得：
x-
x-
x-
x<6，解得：
x＜56.
∵x,
都是正整数，
∴x取2、4、7的最小公倍数，即x＝28.
问题2：
为了保护环境，某企业决定购买10台污水处理设备，现有A、B两种型号的设备，A型设备的价格是每台12万元，B型设备的价格是每台10万元.经预算，该企业购买设备的资金不高于105万元.请你设计该企业有几种购买方案.
解：
设购买污水处理设备A型x台，则B型为（10-x）台，依题意得：
12x+10（10-x）≤105，解得：
x≤2.5.
因为x取非负整数，所以x取0、1、2.
所以有三种购买方案：
A型0台，B型10台；A型1台，B型9台；A型2台，B型8台.
变式：
若企业每月生产的污水量为2040吨，A型设备每月可处理污水240吨，B型机每月处理污水200吨，为了节约资金，应选择哪种方案？
解：
由题意得：
240x+200（10-x）≥2040，解得：
x≥1.
所以x为1或2.
当x=1时，购买资金为12×1+10×9=102万元
当x=2时，购买资金为12×2+10×8=104万元
又因为102<104
因此，为节约资金，应选购A型1台，B型9台.
活动1例题解析
例12002年北京空气质量良好（二级以上）的天数与全年天数之比达到55%，如果2008年这样的比值要超过70%，那么2008年空气质量良好的天数要比2002年至少增加多少？
分析：
1.2002年北京空气质量良好的天数是多少？
2.用x表示2008年增加的空气质量良好的天数，则2008年北京空气质量良好的天数是多少？
3.与x有关的哪个式子的值应超过70%？
解：
设2008年空气质量良好的天数比2002年增加x天.
2002年有（365×0.55）天空气质量良好，
2008年有（x+365×0.55）天空气质量良好，
并且
>70%，
去分母，得x+200.75>256.2，
移项，合并，得x>55.45.
由x应为正整数，得x≥56.
答：
2008年要比2002年空气质量好的天数至少增加56天.
例2某次知识竞赛共有20道题.每道题答对加10分，答错或不答均扣5分：
小明要想得分超过90分，他至少要答对多少道题？
解：
设小明答对x道题，则他答错或不答的题数为（20-x）.根据他的得分要超过90，得
10x-5（20-x）>90，解这个不等式，得x>12
.
由题意，小明至少要答对13道题.
活动2课堂小结
列一元一次不等式解应用题的一般步骤：
（1）审：
认真审题，分清已知量、未知量及其关系，找出题中不等关系；
（2）设：
设出适当的未知数；
（3）列：
根据题中的不等关系，列出不等式；
（4）解：
解所列的不等式，求得不等式的解集；
（5）答：
写出答案并检验是否符合题意.
9.3一元一次不等式组
1.理解有关不等式组的概念.
2.会解由两个一元一次不等式组成的不等式组.
自学指导：
阅读教材第127至129页内容，并回答以下问题：
知识探究
（一）概念
1.由几个所含未知数相同的一元一次不等式所组成的不等式组叫做一元一次不等式组.
2.几个一元一次不等式的解集的公共部分,叫做由它们所组成的一元一次不等式组的解集.
3.求不等式组的解集的过程,叫做解不等式组.
（二）解简单一元一次不等式组的方法：
（1）求出不等式组中各个不等式的解集
（2）利用数轴找出这几个不等式解集的公共部分即求出了不等式组的解集（找不到公共部分则不等式组无解）
自学反馈
1.（2010·自贡）如图所示的是下面哪一个不等式组的解集（D）
A.
B.
C.
D.
解：
选D.本题主要考查不等式的解集在数轴上的表示方法，注意“圆圈”与“实心点”的意义.
2.（2010·广州）不等式组
的解集是（B）
A.-
解：
选B.解不等式①，得：
x>-3；解不等式②，得：
x≤2，所以不等式组的解集为-33.不等式组
的解集是_____________.
解：
解不等式4-x>0得x<4,
解不等式3x+2>0得x>-
，
所以不等式组
的解集是-
活动1温故知新
1.不等式-x＞-2的解是（C）
A.x＞2B.x＞-2C.x＜2D.x＜-2
2.如图所示的是不等式（D）的解集.
A.x＞-1B.x＜-1C.x≤-1D.x≥-1
活动2情境导入
为迎接校第七届田径运动会，学校里将在我们班级里选拔几位同学（不论男女）组织彩旗队，但被选拔的同学应具备下列条件：
①身高x要在1.6米以上（包括1.6米）;
②身高x要在1.7米以下.
解：
活动3理解概念
现有两根木条a和b，a长10cm，b长3cm，如果再找一根木条c，用这三根木条钉成一个三角形木框，那么对木条c的长度有什么要求？
由题中的条件可得,
概念：
几个一元一次不等式合起来就组成一元一次不等式组.
一般地，几个一元一次不等式的解集的公共部分叫做由它们所组成的一元一次不等式组的解集.
不等式x>4x-9的解集是x<3，
不等式2x≤x+1的解集是x≤1，
那么
的解集是什么呢？
通过数轴找出它们的公共部分为x≤1，从而确定不等式组的解集.在讨论的基础上，师生一起归纳解一元一次不等式组的步骤：
（1）求出各个不等式的解集；
（2）找出各个不等式的解集的公共部分（利用数轴）.
活动4尝试应用
幻灯片出示试题，探讨不等式组与解集的对应关系
教师总结：
同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到.
活动5例题解析（幻灯片出示）
活动6思维拓展
解不等式组
活动7课堂小结
升级会员 