随机过程谱密度分析.docx
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随机过程谱密度分析
第二章平稳随机过程的谱分析
本章要解决的问题：
•随机信号是否也可以应用频域分析方法？
•傅里叶变换能否应用于随机信号？
•相关函数与功率谱的关系
•功率谱的应用
•采样定理
•白噪声的定义
2.1随机过程的谱分析
2.1.1预备知识
1、付氏变换：
x（t）傅里叶变换存在。
即：
0O）范围内满足狄利赫利条件J即
对于一个确定性时间信号x（t），设x（t）是时间t的非周期实函数,且x（t）满足狄利赫利条件（有限个极值，有限个断点，断点为有限值）且绝对可积，能量有限，则
1.加在（一8.
2+兀（门绝对可积，
■
3.若M代表信号.则兀信号的总能量有限，即
满足上述三个条件的x（t）的傅里叶变换为:
—8
g
聲e匸沖di
其反变换为:
OC
力⑴=灵汀XjK3）e画dtfj
X3为％⑴的频谱°当/恳代表电压时，则X4表示了
电压按频率的分布料一般舐X3是血的复函数,apx^（oi）
包含了振幅谱和相位谱.
2、帕赛瓦等式
oa
X挂（他）7曲d^di
»g
由上面式子可以得到：
0O8
（&⑴7山=[丸⑴
匕8—8
XOo
wXx（^）|兀⑴电河d/d«>
J■g■8
oo一般也是无限的，因此，其付氏变换不存在。
但是注意到它的平均功率是有限的，在特定的条件下，仍然可以利用博里叶变换这一工具。
为了将傅里叶变换方法应用于随机过程，必须对过程的样本函数做某些限制，最简单的一种方法是应用截取函数。
截取函数xT⑴:
当x（t）为有限值时，裁取函数XT（t）满足绝对可积条件。
因此,
Xt⑴的傅里叶变换存在，有
CW
彳x（Z）带冋df
-T
很明显，Xt（t）也应满足帕塞瓦等式，即：
（注意积分区间和表达式的变化）
|^（Odf=\pdo>
'■T—OO
用2T除上式等号的两端，可以得到
Too
/⑴皿=亍舊4iXHTai也
■T—oo
等号两边取集合平均，可以得到：
E陽彳川⑴出=E〔石討JXx（r,®）|3dfl>j
—T—M
令T，二，再取极限，便可得到随机过程的平均功率。
交换求数学期望和积分的次序，可以得到：
（注意这里由一条样本
函数推广到更一般的随机过程，即下面式子对所有的样本函数均适用）
上式等号的左边表示的正是随机过程消耗在单位电阻上的平均功率（包含时间平均和统计平均），以后我们将简称它为随机过程的功率并记为Q。
再看等式的右边，它当然也存在，并且等于Q。
2E[Xx（Tw）2]
又因为XX（T严）非负，所以极限lim—x'，'」必定
t*2T
存在，记为SX（）:
式中£（何）=lim黑卩3
注意：
（1）Q为确定性值，不是随机变量
（2）SXC）为确定性实函数。
（见式）
•两个结论：
1.Q=AE[X2（t）]
1
式中，A・，lim・•表示时间平均。
它说明，随机过
J吆2T
程的平均功率可以通过对过程的均方值求时间平均来得到，即对于一般的随机过程（例如，非平稳随机过程）求平均功率，需要既求时间平均，又求统计平均。
显然，Q不是随机变量。
若随机过程为平稳的，则
Q=AE[X2（t）]=E[X2（t）]=Rx（0）
这是因为均方值与时间t无关，其时间平均为它自身。
2-QSz（*>）do>
三g
2
由于已经对XX（T^）求了数学期望，所以SXW）不再具有随机性，它是「的确定性函数。
•功率谱密度：
SX（）描述了随机过程x（t）的功率在各个不同频率上的分布一一称SXC）为随机过程x（t）的功率谱密度。
•对SX（）在x（t）的整个频率范围内积分，便可得到X（t）的功率。
•对于平稳随机过程，则有：
1
E[X2（t）r厂Sx（）d
【例八】设随机过程
X（f）+Ijk）
其中a和％皆是实常数，G是均匀分布在区间上的随机变量。
试求连程XQ）的平均功率出
解『因为过程X®的均方值
E〔XP）〕以（gf+O）：
）二E［乡+会心2叫十
*料証
=厉十石］2_cos（2<^0/+2卩疋聊
嗟眩间缈函數；豎®不是宽込稳的卜根据式（3・了），我们可
/
Q=A—lim-^rj（才—*iu2«M}di=专
2.1.3、功率谱密度的性质
【•功率谱密度为非负的.即
03）海
证明：
根据定义式<3.1.14）,69）为
小…「E〔|禺（八刚空•5x（o?
）=hm万l
Tfg61
因为|X,（T,o）P>0,故S3A0
2.功率谱俺度是㈢的实函数。
证明:
93）=hm市一
TfOO"
因为Xx（T畀）2进行了取模运算，这是⑷的实函数，所以
Sxc）也是，的实函数，且为确定性实函数。
3.对于实随机过程来说，功率谱密度是少的偶函数。
即
Sx（他）—他）
证明：
根据傅里叶变换的性质，我们知道.当听⑴为/的实函数时，其频谱满足
xJt（rf«>=（師⑴厂蚀a/
因此：
式中.
♦表示复共辄。
于是有
IX/r*川=/（fw）X肌厂严）
即:
丹…"E〔|X%（7>〉［勺
'Sx（w）=lim肓r
T->oo£丄
得:
Sjc（肋）=Sjc〈—叭
4.功率谱密度可积.AP
OO
|SA（^）d一DO
证明：
对于平稳随机过程，有：
21旳
E[X2（t）]二厂5）d
可以说明功率谱密度函数曲线下面的总面积（即随机过程的全部
功率）睜于过程的均方值。
由于平稳随机过程的均方值是有限
的，因此可积。
2.2联合平稳随机过程的互功率谱密度
2.2.1、互谱密度
可由单个随机过程的功率谱密度的概念，以及相应的分析方法
推广而来。
考虑两个平稳实随机过程X（t）、丫⑴，它们的样本函数分别为
x（t）和y（t），定义两个截取函数xTt、yTt为:
to
-T其它
其它
因为xTt、yTt都满足绝对可积的条件，所以它们的傅里叶变换存在。
在时间范围（-T，T）内，两个随机过程的互功率Qxy（T）为：
（注意
xTt、yTt为确定性函数，所以求平均功率只需取时间平均）
T_
QNX
-T
T
*-T
由于xTt、yTt的傅里叶变换存在，故帕塞瓦定理对它们也适用，即：
o>）d—DO*CK）
因萸已设X"）为实过程，所以略"〉=師仃九可以得到
T
=^r皿沪斗
«D4
注意到上式中，x（t）和y（t）是任一样本函数，因此，具
有随机性，取数学期望，并令T>:
，得：
1T
JimE[Qxy（T）】=Qxy二』mE[Tx（t）y（t）dt]
T-T—2T1
=
Tr：
：
1T
lim^-TRxY（t,t）dt]
2TT
定义互功率谱密度为:
SxT（^）=Um拾£〔心（7>”/（7\期门
婁亠丄
得：
0劝=扫］SAT（ft>）dtt>
J—DC
同理，有：
）=lim）XH丁W）〕
T*ooZJ
8
Qyk=莎］0丫龙（少）<12
**8
又知
Ox^=Qx
以上定义了互功率和互功率谱密度，并且导出了它们之间的关系
2.2.2、互谱密度和互相关函数的关系
平稳随机过程的自相关函数与其功率谱密度之间互为傅里叶变换，互相关函数与互谱密度之间也存在着类似关系。
定义：
对于两个实随机过程X（t）、Y（t）,其互谱密度SXY（）与互相关函数rxy（t,t■•）之间的关系为
—g
即川尺“（4£+書））・>“¥（爼〉'
若X（t）、Y（t）各自平稳且联合平稳，则有
丘JIY（匸〉~（俎）
即:
DO
S*叭彳UBe_i咗dt
—g
oo
/?
XT<）—步］Sxy（毎〉d少
—oo
式中，
显然：
A*.-表示时间平均。
当和yc；）广义联合平稳时，有心卫“+*）=Z?
XY（T）及AiRjiyd^i+—-RayC）
证明：
略，参见自相关函数和功率谱密度关系的证明。
结论：
对于两个联合平稳（至少是广义联合平稳）的实随机过程，它们的互谱密度与其互相关函数互为傅里叶变换。
2.3.3、互谱密度的性质
互功率谱密度和功率谱密度不同，它不再是频率的正的、实的和偶函数。
性质1：
Sxy（厂Syx（）=sYx（）
证明：
Sxy（）=；Rxy（）ejd
=：
Ryx（）ejd令…
=•_：
:
RyxC）ed=Syx（）
=/■Ryx（）e"）d=Syx（-）
性质2:
Re[SXY（）]=Re[SXY（—）;
Re[SYX（）]=Re[SYX（-）
证明：
式中Re[•]表示实部。
亦即互谱密度的实部为「的偶函数。
Sxy（）=：
Rxy（）ejd
qQ
=.Rxy（）[cosjsin（-）]d
—cO
所以：
Re[SXY（）pRXY（）cosd令
T=-T
QO
=Rxy（-）cosd=
Re[SXY（~）]
其它同理可证。
性质3:
ImtS¥X（»）3=—ImCSrjt（—
式中，表示虚部.亦即互谱密度的虚部为他的奇函数*
证明：
类似性质2证明
性质4:
若X（t）与丫（t）正交，则有
SJ（Y证明：
若X（t）与丫（t）正交，则Rxy（如t2）=Ryx（如t2）=0
所以，SXY（）=SYX（）=0
性质5：
若X（t）与丫⑴不相关，X（t）、丫⑴分别具有常数均值mX
和my,则
SXY<3）=Syx（叭=2处叫蚀3（
证明：
因为X（t）与Y（t）不相关，所以
E[X（ti）Y（t2）PmxmY
=2mX叫（）（注意12（））
性质6:
Syjc3）
式中，A<*>表示时间平均。
这给出了一般的随机过程（包含平稳）的互谱密度与互相关函数的
关系式。
[例2.2]
设两个随机过程X（t）和丫⑴联合平稳，其互相关
函数Rxy（）为：
—舞产5（0Y0
求互谱密度SXY（）,SyX（）
解：
先求SXY（）:
g
—co
—8
再求Syx（）
9
S甘（r）=S如3）=「3二匸
2.3功率谱密度与自相关函数之间的关系
确定信号：
x（t）「X（j）。
随机信号：
平稳随机过程的自相关函数…功率谱密度
1定义:
若随机过程X（t）是平稳的，自相关函数绝对可积，则自相关函数与
功率谱密度构成一对付氏变换，即:
OQ
这一关系就是著名的维纳一辛钦定理、或称为维纳一辛钦公式。
2.证明:
F面就来推导这一关系式。
证明方法类似式的证明。
T+u
设二t2tq,U=t^t1，则t2,t1
所以：
J=（tl，t2）
込U）
则SxC）=
12T■2T「1口_i血.
Tim2T{f0d"”2Rx「）edu
0
-2Td
2T
-2T-
矢（）/
du}
2T卜-㈣
Tm』1-并）RxC）ejd
（1）
；Rx（）ejd—Jim：
2；亓）Rx（）ejd
H
（注意T，0;且•时，RXCp0
2T
因此，通常情况下，第二项为o
二Rx（）ejd
证毕。
推论：
对于一般的随机过程X（t），有：
=|+1dt
*0O
S裁3）』以d<^
DO
8
AiRxCttt^r）>=-g-^-j
则平均功率为
limt》2T
T21:
TE[X2（t）]dt二—Sx（）d
-I
间平均加统计平均
利用自相关函数和功率谱密度皆为偶函数的性质,钦定理表示成：
8
5誰3）=2（/?
^（r）cos^rd*
ffz（T）=_^[Sx（又可将维纳一辛
3.单边功率谱
由于实平稳过程x（t）的自相关函数RXC）是实偶函数,功率谱密度也一定是实偶函数。
有时我们经常利用只有正频率部分的单边功率谱。
^<0
（常见的几种付氏变换关系需要记住）
A>0,
［例3.3］平稳随机过程的自相关函数为RX（）=Ae1
1•0,求过程的功率谱密度。
解：
应将积分按+•和-*分成两部分进行。
S3=（
_0Q
dr+（
eO-jwx=/_牡一莎
+
C3O
11"
B—河+B+jmJ
2A0
［例测设X（D为随机相位随机过程X（Z）=4cos（%/+»）t其中儿叫为实常*0为随机相位,在（叫2町均匀分布月以推导出这个过程为广义平稳随机过程.具有自相关函数•为
/?
A（r）-yCos（^^）
求X（Q的功率谁密度SW叽
Q0
解：
注意此时JRXC）d不是有限值，即不可积，因此
—oO［
RxC）的付氏变换不存在，需要引入:
函数。
¥【（-o）（o）]
（注意：
ej°「2=（「八0））
[«S5]设随机过程y（O=4X«）5in^其申乐呵皆为
常数.X⑴为具有功率谱密度Sx（叭的平稳过程■求过程F⑴的功率谱密度。
解』首先，我们可求得过程卩匕）的自相关函数
ft（*J+T）（^+t）3
—£^.¥（/）sin®of*aX（/+t）sin»o（i+OJa2
=r）〔cosm尹一cos（2他』+⑴歯）〕
显然，它与时间t有关，所以Y（t）为非平稳随机过程，
g
5y（«＞）=j£血（Z+C山如dr
■8
而Ar）＞
因此，最后得到过程的功率谱密度为
S*3）=忑［Sjr3—矶〉+SHm+%）〕
（一定要注意一般随机过程与平稳随机过程的平均功率和谱
密度的求法区别）
2.4离散时间随机过程的功率谱度
2.4.1、离散时间随机过程的功率谱密度
1平稳离散时间随机过程的相关函数
设X（n）为广义平稳离散时间随机过程，或简称为广义平稳随机序
列，具有零均值，其自相关函数为：
简写为：
Rx（心=E〔X（%T）X5T+mT）^
心（択）=E〔X（移）X（呢+m）J
2.平稳离散时间随机过程的功率谱密度
当恐⑷）满足条件式为阳初|功率谱密度为尺証桝〉的离散傅里叶变换，并记为：
（小
S3=S心伽応皿丁
fn=—8
式中，T是随机序列相邻各值的时间间隔。
SXC）是频率为
2応？
己^为
的周期性连续函数，其周期为-2q。
SX（）的傅里叶级数的
系数恰为RX（m），这里
就是奈奎斯特频率（不是采样频率）。
这说明离散序列的功率谱为周期函数。
因为SXC）为周期函数，周期为
E〔|X⑷）|2）=心5》=
3.谱分解
1z变换定义
在离散时间系统的分析中，常把广义平稳离散时间随机过程的功率谱密度定义为RX（m）的z变换，并记为SXz，即
g
书n■
式中z=ejT，且
R^m）则为哭⑺的逆Z变换。
SP
5S：
⑵严也
D
上式中，D为在SXz的收敛域内环绕z平面原点反时针旋转的一条闭合围线。
2性质
sees牡）
因为自相关函数RX（m）=RX（-m），带入式即可。
3谱分解
谱分解定理：
设x（n）是广义平稳实离散随机过程，具有有理功率谱密度函数SXz。
则SXz可分解为：
敕）=盼）・£（小
式中
式中，若则必定有|对|>1,若|仇|<
1,则必定有|隔a|>l,A1.2严,肌可见■在3（刃中包含了
单位圆之内的全部零点和极点；B（z"）中包含了单位圆之外的全部
零点和极点。
证明：
总可以将SXz表示成两个多项式之比：
S；d）=ERx（m）z-m—D（}
上式中:
D（z）=工必
由于RX（m）是实函数，因此多项式N（z）、D（z）的系数也都是实数、
且有MvN
对式（349）因式分解，形式如下:
（玄一為）（成一血亞〉
）***•••—
设a1是n（z）的一个根，是SXz的一个零点，那么，a1应满足
smJ=o
而根据性质［见式（348）］可知，若上式成立，则下式必成立：
一i一i
这就是说，a1也一定是n（z）的一个根；或者说a1是SXz的一个零点。
于是，两个零点a1和a11总是同时出现。
同理，若:
1是Sx'z的一个极点，则^1也必定是
SXz的一个极点。
或者说，两个极点必定同时出现。
根据上面的讨论，便可将式（3.4.11）分解成两项相乘，即
（小Rd
式中
刃⑴虫（畫一阳卄”（匸五）1
）=c（―歼）”….匕一阳）丿
式中，若BlVb则必定有l«；H>bc=l,2严・,M$若|0』<1,则必定有严,恥可见■•在艮⑴中包含了
单位圆之内的全部零点和极点；B（z1）中包含了单位圆之外
[M3.6]设Rx（m）=a[ml[a\解：
应用式（345）,可以得到
-1X
榊=亠DOJ7>=0
亦N
一1_羽
整理得：
丘£{1一刃玄_{1_刃_
挖
（a"{+a）—lz~x+z）
将z=ejT代人上式，即可求得
?
「l~^
Sx（^）=矿1+靡一icos⑷F
2.4.2、平稳随机过程采样定理
1.预备知识
在分析确定性的离散时间信号时，香农采样定理占有重要地位。
它建立了连续信号与其采样离散信号之间的变换关系。
设s（t）是一个确定性连续限谱实信号，它的频带范围限于（」c，
+「c）之间。
香农采样定理告诉我们，当采样周期小于或等于1/2fc（c=2fc时），可将s（t）展开成:
J-
曲）=Ls（nr）血一亦
式中，F为采样周期，心巧为在时何匸必时对露⑴的振幅采样"
因此，采样频率为：
原信号的恢复：
满足采样定理的采样值通过一个低通滤波器
（冲激响应为Sa函数），就可以无失真的恢复原信号。
2.平稳随机过程的采样定理
现在将香农采样定理推广到随机信号。
定义：
若X（t）为平稳随机过程，具有零均值，它的功率语密度
Sx（）限于（-c，+'C）之间：
（即假设连续过程的功率谱有界）
的振幅样本展开为:
SX（nT）
这就是平稳随机过程的采样定理。
式中，T为采样周期X（nT）表示在时间t=nT时，对随机过程X（t）的任一样本函数X（t）的振幅采样，l.i.m则表示均方意义下的极限。
例如
表示fiClimCXC/）一兌（"严］=o
N**w
就是说，在Nv的极限条件下•X（f）与定（f）的均方误差为零.
证明：
因为X（t）的自相关函数及RXC）是.的确定性因数，由维纳一辛钦定理，RXC）SX（），
又因为SX（）带宽有限，
由预备知识的香农采样定理，RXC）的振幅可以展开成：
"八、吕c#或13（叫雷一加冗）
心U）=Z^式中T为采样周期，RAnT）为在时闻r^nT时对RE的振幅采样°
由付氏变换时移性质，可得：
心（卞一0）一^5x（^）e
这里a为任一常数。
显然。
SX「）e「「a带宽也是有限
的。
再由香农采样定理，将RXCa）展开：
2心仏—异认咛
JGi^T—n^
»nOO
令一a=,再令=,则上式可变为:
或卫+Q—轉乳）劭*（*十林）—
现在令:
邑一移巧
a.<—啊乳
EOiin〔Xa）—龙⑷
=E〔lim〔X⑷—龙a）〕X（f）-lkn〔X⑴一戈⑴比⑴〕
£timitx（n^^（nr}=o
Nfg
X⑴=l*i*tn
Nfg
N
£X（nT）
n--N
采样定理就得到了证明。
F面分别证明上式的两项均为0
①E{lim[X（t）X?
（t）]X（t）}
N—:
:
RX（0）lim
E[X（nT）X（t）]Sin（ctn）
⑷ct_"
=島⑹一刀R^tnT-t）
財=一co
（4）
令二0,a=t，得:
Rx（0）=Rx（nTt）Sin（ctmJ（5）
n="⑷ct一屮
比较（4）（5）式得：
E{lim[X（t）X\t）]X（t）}=0（6）
N—■
②令.二t,a=mT,得:
又:
（8）
（7）（8）式比较，上式等号右端为零。
于是可得：
上式说明，在Nfx＞的极限条件下，〔X⑴一斤⑴〕与X（M）正
交。
另方面，龙（*）是X（mT）的线性组合,
【X⑴-X®地必定与衣“）正交心an
EOimCXtn一龙OR龙⑴；I=Q
由①②可见：
班lim〔X（R-龙（/）〕勺
⑴一衣⑴込⑷Tim〔X（f）-龙⑴就⑷］
NfDO料fg
=0
证毕。
为了书写方便，也常把采样定理写成:
xgEx（皿〉吋_解…
17=—OO
但应注意，上式的近似是表示均方意义下的极限，它与一般意义下
的近似是不同的。
2.4.3、功率谱密度的采样定理
由平稳随机过程的采样定理，可以通过对平稳随机过程X（t）的采样而得到与之相对应的离散时间随机过程X（n）。
现在讨论X（n）的自相关函数（或称自相关序列）与X（t）的自相关函数、X（n）功率谱密度和X（t）功率谱密度之间的关系。
定义：
设X（t）为广义平稳随机过程，用RCC）和SC（）分别表示它的自相关函数和功率谱密度，且SC（）的带宽有限（这里下标C表示连续）。
现在，应用采样定理对X（t）采样，构成采样离散时间随机过程X（n）=X（nT）,其中T为采样周期。
R（）和S（）分别表示X（n）的自相关函数和功率谱密度，则
R如=龙〔X（眸）+m）3
n=—oq
式中•■q=二t—即功率谱密度的采样定理。
（随机序列功率谱为周期函数）
结论：
（1）离散时间随机过程的自相关函数R（m）正是
对连续过程自相关函数RC（）的采样。
（2）sc）等于sc（）及SC（）的所有各位移之和，即SCC）以2q为周期延拓，所以S（）为周期函数。
S（）与SC（）关系如下图示意：
图2.3x（t）、Sc（w）与X（n）、S（w）的对应关系
证明：
预备知识：
若确定性函数f（t）为周期函数，周期为T,即f（t）=f（t+mT），m为
任意整数，则它总可以展开为傅立叶级数：
（《信号与线性系统分析》
吴大正主编，P129）
f（t）=zFne^t
指数形式表示：
t"
R订厲f（t）^j^tdt
IT三
n0,1,辽…t
注意Sc（）是确定性
升级会员 