3山西中考数学重难点题组特训三.docx
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3山西中考数学重难点题组特训三
18～21+22、23题重难解答题题组特训
题组特训三
18.（7分）请阅读下列材料，并完成相应的任务．
张华同学遇到这样一个问题：
在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：
y＝－x，点A（1，t）在反比例函数y＝
（x＞0）的图象上，求点A到直线l的距离．
第18题图①
如图①，张华过点A作AB⊥l于点B，AD∥y轴分别交x轴于点C，交直线l于点D.他发现OC＝CD，∠ADB＝45°，可求出AD的长，再利用Rt△ABD求出AB的长，即为点A到直线l的距离．
任务：
如图②，在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：
y＝－x，点M（a，b）是反比例函数y＝
（x＞0）的图象上的一个动点，设点M到直线l的距离为d.
（1）若a＝1，d＝5
，求k的值；
（2）当k＝8时，
①若d＝3
，则a＝________；
②在点M运动的过程中，求d的最小值．
第18题图②
19.（9分）“全民阅读”活动是中央宣传部、中央文明办和新闻出版总署贯彻落实关于建设学习型社会要求的一项重要举措．读书必须要讲究方法，只有按照一定的方法去阅读，才能取得事半功倍的效果．常用的阅读方法有：
A.圈点批注法；B.摘记法；C.反思法；D.撰写读后感法；E.其他方法．某中学张老师为了解本校学生使用不同阅读方法读书的情况，随机抽取部分本校中学生进行了调查，通过数据的收集、整理绘制成以下不完整的统计图表，请根据图表中的信息解答下列问题：
中学生阅读方法情况统计表
阅读方法
频数
A
圈点批注法
a
B
摘记法
20
C
反思法
b
D
撰写读后感法
16
E
其他方法
4
（1）请你补全图表中的数据：
a＝________，b＝________，c＝________；
（2）若该校共有中学生960名，估计该校使用“反思法”读书的学生有________人；
（3）小明从以上抽样调查所得结果估计全县6000名中学生中有1200人采用“撰写读后感法”读书，你同意小明的观点吗？
请说明你的理由；
（4）该校决定从本次抽取“其他方法”的4名学生（记为甲，乙，丙，丁）中，随机选择2名成为学校阅读宣讲志愿者，请你用列表法或画树状图的方法，求恰好抽到甲和乙的概率．
中学生阅读方法情
况扇形统计图
第19题图
20.（10分）某学校在商场购买甲、乙两种不同的篮球，购买甲种篮球共花费2000元，购买乙种篮球共花费1400元，购买甲种篮球数量是购买乙种篮球数量的2倍，且购买一个乙种篮球比购买一个甲种篮球多花20元．
（1）求购买一个甲种篮球、一个乙种篮球各需多少元？
（2）因为教学需求，这所学校决定再次购买甲、乙两种篮球共50个．恰逢该商场对两种篮球的售价进行调整，甲种篮球售价比第一次购买时提高了10%，乙种篮球售价比第一次购买时降低了10%.如果此次购买甲、乙两种篮球的总费用不超过2910元，那么这所学校最多可购买多少个乙种篮球？
21.（7分）如图，已知AB是⊙O的直径，DC与⊙O相切于点C，交AB的延长线于点D.
（1）求证：
∠BAC＝∠BCD；
（2）若BD＝4，DC＝6，求AB的长．
第21题图
22.（12分）综合与实践：
折纸中的数学
问题背景
在数学活动课上，老师首先将平行四边形纸片ABCD按如图①所示方式折叠，使点C与点A重合，点D落到D′处，折痕为EF.这时同学们很快证得：
△AEF是等腰三角形．接下来各学习小组也动手操作起来，请你解决他们提出的问题．
操作发现
（1）“争先”小组将矩形纸片ABCD按上述方式折叠，如图②，发现重叠部分△AEF恰好是等边三角形，求矩形ABCD的长、宽之比是多少？
实践探究
（2）“励志”小组将矩形纸片ABCD沿EF折叠，如图③，使B点落在AD边上的B′处；沿B′G折叠，使D点落在D′处，且B′D′过F点．试探究四边形EFGB′是什么特殊四边形？
（3）再探究：
在图③中连接BB′，试判断并证明△BB′G的形状．
第22题图
参考答案
题组特训三
18.解：
（1）如解图，过点M作MB⊥l于点B，MD∥y轴分别交x轴于点C，交直线l于点D，易得△MBD为等腰直角三角形，
∴MB＝BD＝
MD.（1分）
∵d＝MB＝5
，
∴MD＝
MB＝10.
把x＝1代入y＝－x得，y＝－1，即CD＝1，
∴MC＝9.
∴M（1，9）．
则k＝1×9＝9；（3分）
第18题解图
（2）①2或4；（5分）
【解法提示】由k＝8，得到ab＝8，如解图，易得BM＝BD＝
MD＝3
，即MD＝6，把x＝a代入y＝－x得：
y＝－a，即MD＝MC＋CD＝b＋a＝6，解得a＝2，b＝4或a＝4，b＝2，则a＝2或4.
②由题意得：
ab＝8，且a>0，b>0
∵（a－b）2≥0，∴（a＋b）2≥4ab.
∴a＋b≥2
＝4
.（6分）
∴MD的最小值为4
.
则BM的最小值为4，即d的最小值为4.（7分）
19.解：
（1）32，8，10；（3分）
【解法提示】本次调查的学生有：
20÷25%＝80（人），a＝80×40%＝32，b＝80×（100－40－25－20－5）%＝80×10%＝8，c%＝（100－40－25－20－5）%＝10%，即c＝10.
（2）96；（5分）
【解法提示】若该校共有中学生960名，估计该校使用“反思法”读书的学生有：
960×10%＝96（人）．
（3）同意小明的观点；（6分）
理由如下：
估计全县6000名中学生中采用“撰写读后感法”读书的有6000×20%＝1200（人）；（7分）
（4）根据题意画树状图如解图所示，
第19题解图
（8分）
∵从四人中随机抽取两人有12种等可能的情况，恰好是甲和乙的有2种情况，
∴抽取两人恰好是甲和乙的概率是
＝
.（9分）
20.解：
（1）设购买一个甲种篮球需要x元，则购买一个乙种篮球需要（x＋20）元，
根据题意得
＝2×
，
解得x＝50，
经检验，x＝50是原方程的解，且符合题意，
∴x＋20＝70.
答：
购买一个甲种篮球需要50元，购买一个乙种篮球需要70元；（5分）
（2）设学校此次购买m个乙种篮球，则购买（50－m）个甲种篮球，
根据题意得50×（1＋10%）（50－m）＋70×（1－10%）m≤2910，
解得m≤20.
答：
这所学校最多可购买20个乙种篮球．（10分）
21.
（1）证明：
如解图，连接OC.
∵DC与⊙O相切于点C，
∴∠OCD＝∠OCB＋∠BCD＝90°.（1分）
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝∠OCB＋∠ACO＝90°.
∴∠ACO＝∠BCD.（2分）
∵OA＝OC，
∴∠ACO＝∠BAC.
∴∠BAC＝∠BCD；（3分）
第21题解图
（2）解：
由
（1）可得，∠BAC＝∠BCD.
∵∠CDB＝∠ADC，
∴△CDB∽△ADC.（5分）
∴
＝
，即
＝
.
∴AD＝9.
∴AB＝AD－BD＝9－4＝5.（7分）
22.解：
（1）设AB为x.（1分）
∵△AEF为等边三角形，
∴∠EAF＝60°.
在矩形ABCD中，
∠DAB＝∠B＝90°，
∴∠BAE＝90°－60°＝30°.
在Rt△ABE中，
∵tan∠BAE＝
＝
，∴BE＝
x.（2分）
∴AE＝2BE＝
x.
由折叠性质可知：
CE＝AE＝
x.
∴BC＝BE＋CE＝
x.（3分）
∴
＝
＝
，
即矩形ABCD的长、宽之比为
；（4分）
（2）四边形EFGB′是平行四边形．
∵在矩形ABCD中，AD∥BC，
∴∠FB′D＝∠BFB′，（6分）
由折叠性质可知：
∠BFE＝∠EFB′＝
∠BFB′，
∠DB′G＝∠GB′F＝
∠FB′D，
∴∠EFB′＝∠GB′F.（7分）
∴EF∥B′G.
又∵EB′∥FG，
∴四边形EFGB′是平行四边形；（8分）
（3）△BB′G为直角三角形．（9分）
证明：
如解图，连接BB′交EF于点M.
由折叠性质可知，B与B′关于EF对称，
∴EF⊥BB′.（10分）
∴∠BMF＝90°.
∵四边形EFGB′是平行四边形，
∴EF∥B′G.（11分）
∴∠BB′G＝∠BMF＝90°.
∴△BB′G为直角三角形．（12分）
第22题解图
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