221几何图形综合性问题中考真题含参考答案全国中考数学真题分类特训.docx

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221几何图形综合性问题中考真题含参考答案全国中考数学真题分类特训

第六章　综合性问题专题

6.1　几何图形综合性问题

2017年中考真题

1.题型特点：

几何图形综合性问题是指综合研究图形中点与线之间的位置关系，数量关系，角的关系以及特定图形的判定和性质的问题，图形可能是由若干个基本几何图形组合而成；问题由多个小题组成，小题之间有“并列”关系或“递进”关系两种．

几何图形综合性问题命题呈现方式：

（1）几何推断类问题，以选择和填空题出现；

（2）几何图形性质或判定的综合题；

（3）几何图形与函数联系的综合题．

2.解题思路

（1）寻找突破口法

如通过添辅助线构造定理所需的图形或基本图形；紧扣不变量，并善于使用前题所采用的方法或结论；深度挖掘题干，反复认真的审题，在题目中寻找多解的信息等等．

（2）各个击破法

几何综合题一般有多个小问题组成，第

（1）问一般比较简单，可先解决，并从中获得灵感，再根据后面小题与之关系寻找突破口．

（3）针对问题选方法

几何推断类问题，一般可采用顺推法、逆推法、尝试法等解答．能定性判定的，就不再使用复杂的定量计算；能使用特殊值判定的，就不必采用常规解法；能使用间接解法的，就不必采用直接解法；对于明显可以否定的，应及早排除，以缩小选择的范围；对于具有多种解题思路的，宜选择最优解法等等．

几何图形性质或判定的综合题

①注意观察，分析图形，把复杂的图形分解成几个基本图形，通过添加辅助线补全或构造基本图形．②掌握常规的证题方法和思路；③运用转化的思想解决几何证明问题，运用方程的思想解决几何计算问题．还要灵活运用其他的数学思想方法等．

另外，要注意分析问题的逻辑结构，搞清楚它的各个小题之间的关系是“并列”的还是“递进”的，是递进的要会运用已获得的结论帮助思考解题．

几何图形与函数联系的综合题．

①观察几何图形的特征；②依据相关图形的性质（如特殊三角形的性质、特殊平行四边形的性质、平行线分线段成比例定理及其推论、相似三角形的性质、圆的性质等等）找出几何元素之间的联系；③将它们的联系用数学式子表示出来，并整理成函数关系式，在此函数关系式的基础上再来解决其他的问题；解决此类问题时，要特别注意自变量的取值范围．

【例1】（2017·湖北咸宁）如图，在Rt△ABC中，BC＝2，∠BAC＝30°，斜边AB的两个端点分别在相互垂直的射线OM，ON上滑动，下列结论：

①若C，O两点关于AB对称，则OA＝2；

②C，O两点距离的最大值为4；

③若AB平分CO，则AB⊥CO；

④斜边AB的中点D运动路径的长为.

其中正确的是________（把你认为正确结论的序号都填上）．

图6.11

思路点拨①先根据直角三角形30°的性质和勾股定理分别求AC和AB，由对称的性质可知：

AB是OC的垂直平分线，所以OA＝AC；

②当OC经过AB的中点E时，OC最大，则C，O两点距离的最大值为4；

③如图

（2），当∠ABO＝30°时，易证四边形AOBC是矩形，此时AB与CO互相平分，但所夹锐角为60°，明显不垂直，或者根据四点共圆可知：

A，C，B，O四点共圆，则AB为直径，由垂径定理相关推论：

平分弦（不是直径）的直径垂直于这条弦，但当这条弦也是直径时，即OC是直径时，AB与OC互相平分，但AB与OC不一定垂直；

④如图（3），半径为2，圆心角为90°，根据弧长公式进行计算即可．

具体推理过程如下：

在Rt△ABC中，∵BC＝2，∠BAC＝30°，

∴AB＝4，AC＝＝2.

①若C，O两点关于AB对称，如图

（1），

图6.11

（1）

∴AB是OC的垂直平分线．

则OA＝AC＝2.所以①正确．

②如图

（1），取AB的中点为E，连接OE，CE，

∵∠AOB＝∠ACB＝90°，

∴OE＝CE＝AB＝2.

当OC经过点E时，OC最大，

则C，O两点距离的最大值为4.

所以②正确；

③如图

（1），

同理取AB的中点E，

则OE＝CE，

∵AB平分CO，

∴OF＝CF.

∴AB⊥OC.

所以③正确．

④如图

（2），

图6.11

（2）

斜边AB的中点D运动路径是：

以O为圆心，以2为半径的圆周的，则＝π，所以④不正确．

综上所述，本题正确的有：

①②③.

完全解答①②③.

归纳交流本例题属于推断类综合题，采用各个击破方法．整题考查了直角三角形30°的性质、直角三角形斜边中线的性质、等腰三角形的性质、轴对称的性质、线段垂直平分线的性质、动点运动路径问题、弧长公式，熟练掌握直角三角形斜边中线等于斜边一半是本题的关键．

【例2】（2017·江苏苏州）如图，已知△ABC内接于⊙O，AB是直径，点D在⊙O上，OD∥BC，过点D作DE⊥AB，垂足为点E，连接CD交OE边于点F.

（1）求证：

△DOE∽△ABC；

（2）求证：

∠ODF＝∠BDE；

（3）连接OC，设△DOE的面积为S1，四边形BCOD的面积为S2，若＝，求sinA的值．

图6.12

（1）

思路点拨

（1）根据圆周角定理和垂直求出∠DEO＝∠ACB，根据平行得出∠DOE＝∠ABC，根据相似三角形的判定得出即可；

（2）根据相似三角形的性质得出∠ODE＝∠A，根据圆周角定理得出∠A＝∠BDC，推出∠ODE＝∠BDC即可；

（3）根据△DOE∽△ABC求出S△ABC＝4S△DOE＝4S1，求出S△BOC＝2S1，求出2BE＝OE，解直角三角形求出即可．

完全解答

（1）∵AB是⊙O的直径，

∴∠ACB＝90°.

∵DE⊥AB，

∴∠DEO＝90°.

∴∠DEO＝∠ACB.

∵OD∥BC，

∴∠DOE＝∠ABC.

∴△DOE∽△ABC.

（2）∵△DOE∽△ABC，

∴∠ODE＝∠A.

∵∠A和∠BDC是所对的圆周角，

∴∠A＝∠BDC.

∴∠ODE＝∠BDC.

∴∠ODF＝∠BDE.

（3）∵△DOE∽△ABC，

图6.12

（2）

∴＝2＝.

即S△ABC＝4S△DOE＝4S1，

∵OA＝OB，

∴S△BOC＝S△ABC，即S△BOC＝2S1.

∵＝，

S2＝S△BOC＋S△DOE＋S△DBE＝2S1＋S1＋S△DBE，

∴S△DBE＝S1.

∴BE＝OE.

即OE＝OB＝OD，

∴sinA＝sin∠ODE＝＝.

归纳交流本例题属于几何图形性质和判定的综合题．涉及相似三角形的性质和判定，圆周角定理，平行线的性质，三角形的面积，三角函数等知识点，能综合运用知识点进行推理是解此题的关键．

【例3】（2017·吉林长春）如图

（1），在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，BC＝6，点P从点A出发，沿折线AB－BC向终点C运动，在AB上以每秒5个单位长度的速度运动，在BC上以每秒3个单位长度的速度运动，点Q从点C出发，沿CA方向以每秒个单位长度的速度运动，P，Q两点同时出发，当点P停止时，点Q也随之停止．设点P运动的时间为t秒．

（1）求线段AQ的长；（用含t的代数式表示）

（2）连接PQ，当PQ与△ABC的一边平行时，求t的值；

（3）如图

（2），过点P作PE⊥AC于点E，以PE，EQ为邻边作矩形PEQF，点D为AC的中点，连接DF.设矩形PEQF与△ABC重叠部分图形的面积为S.①当点Q在线段CD上运动时，求S与t之间的函数关系式；②直接写出DF将矩形PEQF分成两部分的面积比为1∶2时t的值．

（1）

（2）

图6.13

思路点拨

（1）利用勾股定理先求出AC，根据AQ＝AC－CQ即可解决问题；

（2）分两种情形列出方程求解即可；

（3）①分三种情形．a.如图（3）中，当0≤t≤时，重叠部分是四边形PEQF.b.如图（4）中，当＜t≤2时，重叠部分是四边形PNQE.c.如图（5）中，当2＜t≤3时，重叠部分是五边形MNPCQ.分别求解即可；

②分两种情形．a.如图（6）中，当DE∶DQ＝1∶2时，DF将矩形PEQF分成两部分的面积比为1∶2.b.如图（7）中，当NE∶PN＝1∶2时，DF将矩形PEQF分成两部分的面积比为1∶2.分别列出方程即可解决问题．

完全解答

（1）在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，AB＝10，BC＝6，

∴AC＝＝＝8.

∵CQ＝t，

∴AQ＝8－t（0≤t≤4）．

（2）①当PQ∥BC时，＝，

∴＝.

∴t＝.

②当PQ∥AB时，＝，

综上所述，t＝s或3s时，PQ与△ABC的一边平行．

（3）①如图（3）中，a.当0≤t≤时，重叠部分是四边形PEQF.

图6.13（3）

S＝PE·EQ＝3t·＝－16t2＋24t.

b.如图（4）中，当＜t≤2时，重叠部分是四边形PNQE.

图6.13（4）

S＝S四边形PEQF－S△PFN＝（16t2－24t）－·

·

＝t2＋8t－24.

c.如图（5）中，当2＜t≤3时，重叠部分是五边形MNPCQ.

图6.13（5）

S＝S四边形PCQF－S△FNM＝t·[6－3（t－2）]－·

＝－t2＋32t－24.

②a.如图（6）中，当DE∶DQ＝1∶2时，DF将矩形PEQF分成两部分的面积比为1∶2.

则有（4－4t）∶＝1∶2，解得t＝s，

图6.13（6）

b.如图（7）中，当NE∶PN＝1∶2时，DF将矩形PEQF分成两部分的面积比为1∶2.

图6.13（7）

∴DE∶DQ＝NE∶FQ＝1∶3.

∴（4t－4）∶＝1∶3.

解得t＝s，

综上所述，当t＝s或s时，DF将矩形PEQF分成两部分的面积比为1∶2.

归纳交流本例题属于几何图形与函数联系的综合题，需要利用几何知识列出函数关系式进行解答．整题考查了矩形的性质、勾股定理、相似三角形的性质和判定、平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会构建方程或函数解决问题．

一、选择题

1.（2017·江苏常州）如图，已知▱ABCD的四个内角的平分线分别相交于点E，F，G，H，连接AC.若EF＝2，FG＝GC＝5，则AC的长是（　　）．

（第1题）

A.12B.13

C.6D.8

二、填空题

2.（2017·广东广州）如图，平面直角坐标系中O是原点，▱ABCO的顶点A，C的坐标分别是（8,0），（3,4），点D，E把线段OB三等分，延长CD，CE分别交OA，AB于点F，G，连接FG.则下列结论：

①F是OA的中点；②△OFD与△BEG相似；③四边形DEGF的面积是；④OD＝.其中正确的结论是________（填写所有正确结论的序号）．

（第2题）

3.（2017·四川达州）如图，矩形ABCD中，E是BC上一点，连接AE，将矩形沿AE翻折，使点B落在CD边F处，连接AF，在AF上取点O，以O为圆心，OF长为半径作⊙O与AD相切于点P.若AB＝6，BC＝3，则下列结论：

①F是CD的中点；②⊙O的半径是2；③AE＝CE；④S阴影＝.其中正确结论的序号是________．

（第3题）

三、解答题

4.（2017·四川成都）问题背景：

如图

（1），等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，作AD⊥BC于点D，则D为BC的中点，∠BAD＝∠BAC＝60°，于是＝＝；

（第4题

（1））

迁移应用：

如图

（2），△ABC和△ADE都是等腰三角形，∠BAC＝∠DAE＝120°，D，E，C三点在同一条直线上，连接BD.

（第4题

（2））

①求证：

△ADB≌△AEC；

②请直接写出线段AD，BD，CD之间的等量关系式；

拓展延伸：

如图（3），在菱形ABCD中，∠ABC＝120°，在∠ABC内作射线BM，作点C关于BM的对称点E，连接AE并延长交BM于点F，连接CE，CF.

（第4题（3））

①证明△CEF是等边三角形；

②若AE＝5，CE＝2，求BF的长．

5.（2017·云南）已知AB是⊙O的直径，PB是⊙O的切线，C是⊙O上的点，AC∥OP，M是直径AB上的动点，A与直线CM上的点连线距离的最小值为d，点B与直线CM上的点连线距离的最小值为f.

（1）求证：

PC是⊙O的切线；

（2）设OP＝AC，求∠CPO的正弦值；

（3）设AC＝9，AB＝15，求d＋f的取值范围．

（第5题）

6.（2017·黑龙江哈尔滨）已知：

AB是⊙O的弦，点C是的中点，连接OB，OC，OC交AB于点D.

（1）如图

（1），求证：

AD＝BD；

（第6题

（1））

（2）如图

（2），过点B作⊙O的切线交OC的延长线于点M，点P是上一点，连接AP，BP，求证：

∠APB－∠OMB＝90°；

（第6题

（2））

（3）如图（3），在

（2）的条件下，连接DP，MP，延长MP交⊙O于点Q，若MQ＝6DP，sin∠ABO＝，求的值．

（第6题（3））

7.（2017·山东菏泽）正方形ABCD的边长为6cm，点E，M分别是线段BD，AD上的动点，连接AE并延长，交边BC于点F，过点M作MN⊥AF，垂足为H，交边AB于点N.

（1）　

（2）

（第7题）

（1）如图

（1），若点M与点D重合，求证：

AF＝MN；

（2）如图

（2），若点M从点D出发，以1cm/s的速度沿DA向点A运动，同时点E从点B出发，以cm/s的速度沿BD向点D运动，运动时间为ts.

①设BF＝ycm，求y关于t的函数表达式；

②当BN＝2AN时，连接FN，求FN的长．

8.（2017·湖北荆门）已知：

如图所示，在平面直角坐标系xOy中，∠C＝90°，OB＝25，OC＝20，若点M是边OC上的一个动点（与点O，C不重合），过点M作MN∥OB交BC于点N.

（1）求点C的坐标；

（2）当△MCN的周长与四边形OMNB的周长相等时，求CM的长；

（3）在OB上是否存在点Q，使得△MNQ为等腰直角三角形？

若存在，请求出此时MN的长；若不存在，请说明理由．

（第8题）

2016年中考真题

1.题型特点：

几何图形综合性问题是指综合研究图形中点与线之间的位置关系、数量关系，角的关系以及特定图形的判定和性质的问题，图形可能是由若干个基本几何图形组合而成；问题由多个小题组成，小题之间有“并列”关系或“递进”关系两种．

2.命题呈现方式：

（1）几何推断类问题，以选择和填空题出现；

（2）几何图形性质或判定的综合题；

（3）几何图形与函数联系的综合题．

3.解题方法：

1.寻找突破口法

如通过添加辅助线构造定理所需的图形或基本图形；紧扣不变量，并善于使用前题所采用的方法或结论；深度挖掘题干，反复认真的审题，在题目中寻找多解的信息等等．

2.各个击破法

几何综合题一般有多个小问题组成，第

（1）问一般比较简单，可先解决，并从中获得灵感，再根据后面小题与之关系寻找突破口．

3.针对问题选方法

（1）几何推断类问题，一般可采用顺推法、逆推法、尝试法等解答．能定性判定的，就不再使用复杂的定量计算；能使用特殊值判定的，就不必采用常规解法；能使用间接解法的，就不必采用直接解法；对于明显可以否定的，应及早排除，以缩小选择的范围；对于具有多种解题思路的，宜选择最优解法等等．

（2）几何图形性质或判定的综合题

①注意观察、分析图形，把复杂的图形分解成几个基本图形，通过添加辅助线补全或构造基本图形；②掌握常规的证题方法和思路；③运用转化的思想解决几何证明问题，运用方程的思想解决几何计算问题．还要灵活运用其他的数学思想方法等．

另外，要注意分析问题的逻辑结构，搞清楚它的各个小题之间的关系是“并列”的还是“递进”的，是递进的要会运用已获得的结论帮助思考解题．

（3）几何图形与函数联系的综合题

①观察几何图形的特征；②依据相关图形的性质（如特殊三角形的性质、特殊平行四边形的性质、平行线分线段成比例定理及其推论、相似三角形的性质、圆的性质等等）找出几何元素之间的联系；③将它们的联系用数学式子表示出来，并整理成函数关系式，在此函数关系式的基础上再来解决其它的问题；解决此类问题时，要特别注意自变量的取值范围．

【例1】（2016·湖北咸宁）如图，边长为4的正方形ABCD内接于⊙O，点E是上的一动点（不与A，B重合），点F是上的一点，连接OE，OF，分别与AB，BC交于点G，H，且∠EOF＝90°，有下列结论：

①＝；

②△OGH是等腰直角三角形；

③四边形OGBH的面积随着点E位置的变化而变化；

④△GBH周长的最小值为4＋.

其中正确的是________．

（把你认为正确结论的序号都填上）．

思路点拨①根据ASA可证△BOE≌△COF，根据全等三角形的性质得到BE＝CF，根据等弦对等弧得到＝，可以判断①；

②根据SAS可证△BOG≌△COH，根据全等三角形的性质得到∠GOH＝90°，OG＝OH，根据等腰直角三角形的判定得到△OGH是等腰直角三角形，可以判断②；

③通过证明△HOM≌△GON，可得四边形OGBH的面积始终等于正方形ONBM的面积，可以判断③；

④根据△BOG≌△COH可知BG＝CH，则BG＋BH＝BC＝4，设BG＝x，则BH＝4－x，根据勾股定理得到GH＝＝，可以求得其最小值，可以判断④.具体解答过程如下：

①连接OA，OB，如图，

根据正方形的性质，知∠AOB＝90°＝∠EOF，

∠AOB－∠BOE＝∠EOF－∠BOE，

即∠AOE＝∠BOF，

根据相等的圆心角所对的弧相等，可得＝，故①正确；

②连接OB，OC，如图，则OB＝OC，

由①知＝，

∵ABCD为正方形，

∴AB＝BC.

∴＝.

∴－＝－.

即＝.

∴∠BOG＝∠COH.

又∠OBG＋∠OBC＝90°，

∠OCH＋∠OBC＝90°，

∴∠OBG＝∠OCH.

在△OGB和△OHC中，

∴△OGB≌△OHC.

∴OG＝OH.

又∠EOF＝90°

∴△OGH是等腰直角三角形，故②正确．

③如图，过点O作OM⊥BC，ON⊥AB.

∵正方形ABCD内接于⊙O，

∴OM＝ON.

由②知，OG＝OH，

在Rt△OGN和Rt△OHM中，

∴Rt△OGN≌Rt△OHM.

∴S△OGN＝S△OHM.

∵四边形BMOG公共，

∴不管点E的位置如何变化，四边形OGBH的面积不变；故③错误．

④过点B作B关于OF的对称点P（易知点P在⊙O上），连接PH，则PH＝BH；过点B作B关于OE的对称点Q（易知点Q在⊙O上），连接QG，则QG＝BG.

连接PQ，易证明PQ过圆心O，

∴PQ＝＝4≠4＋，故④错误．

综上，①②正确，③④错误．

完全解答①②.

归纳交流本例题属于推断类圆的综合题．考查了正方形的性质，圆心角定理，等腰直角三角形的判定，全等三角形的判定，四边形的面积，三角形的周长，动点问题，最值问题．运用圆心角定理是解答①的关键；在②中连接OB，OC，证明三角形全等是解题的关键；在③中，运用证明三角形全等，从而证明面积相等以解决不管点E的位置如何变化，四边形OGBH的面积不变的问题；解答④的关键是运用轴对称解决最小周长问题.作为填空题，解题时要注意技巧．

【例2】（2016·江苏泰州）已知正方形ABCD，P为射线AB上的一点，以BP为边作正方形BPEF，使点F在线段CB的延长线上，连接EA，EC.

（1）如图

（1），若点P在线段AB的延长线上，求证：

EA＝EC；

（1）

（2）若点P在线段AB上．

①如图

（2），连接AC，当P为AB的中点时，判断△ACE的形状，并说明理由；

（2）

②如图（3），设AB＝a，BP＝b，当EP平分∠AEC时，求a∶b及∠AEC的度数．

（3）

思路点拨

（1）根据正方形的性质和全等三角形的判定定理证明△APE≌△CFE，根据全等三角形的性质证明结论；

（2）①根据正方形的性质、等腰直角三角形的性质解答；

②根据PE∥CF，得到＝，代入a，b的值计算求出a∶b，根据角平分线的判定定理得到∠HCG＝∠BCG，证明∠AEC＝∠ACB，即可求出∠AEC的度数．

完全解答

（1）∵四边形ABCD和四边形BPEF是正方形，

∴AB＝BC，BP＝BF.

∴AP＝CF.

在△APE和△CFE中，

∴△APE≌△CFE.

∴EA＝EC.

（2）①∵P为AB的中点，

∴PA＝PB.

又PB＝PE，

∴PA＝PE.

∴∠PAE＝45°.

又∠DAC＝45°，

∴∠CAE＝90°，即△ACE是直角三角形．

②∵EP平分∠AEC，EP⊥AG，

∴AP＝PG＝AB－BP＝a－b，BG＝BP－PG＝b－（a－b）＝2b－a.

∵PE∥CF，

∴＝，即＝.

解得a＝b.

作GH⊥AC于H.

∵∠CAB＝45°，

∴HG＝AG＝×2（a－b）＝（b－b）

＝（2－）b.

又BG＝2b－a＝（2－）b，

∴GH＝GB，GH⊥AC，GB⊥BC.

∴∠HCG＝∠BCG.

∵PE∥CF，

∴∠PEG＝∠BCG.

∴∠AEC＝∠ACB＝45°.

∴a∶b＝∶1.

∴∠AEC＝45°.

归纳交流这是一道几何图形性质和判定的综合题，其中涉及正方形的性质、直角三角形的判定、相似三角形的判定和性质以及等腰直角三角形的性质，掌握相关的性质定理和判定定理、正确作出辅助线是解题的关键．

【例3】（2016·上海）如图所示，梯形ABCD中，AB∥DC，∠B＝90°，AD＝15，AB＝16，BC＝12，点E是边AB上的动点，点F是射线CD上一点，射线ED和射线AF交于点G，且∠AGE＝∠DAB.

（1）求线段CD的长；

（2）如果△AEG是以EG为腰的等腰三角形，求线段AE的长；

（3）如果点F在边CD上（不与点C，D重合），设AE＝x，DF＝y，求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围．

备用图

思路点拨

（1）作DH⊥AB于H，如图

（1），易得四边形BCDH为矩形，则DH＝BC＝12，CD＝BH，再利用勾股定理计算出AH，从而得到BH和CD的长；

（2）分类讨论：

当EA＝EG时，则∠AGE＝∠GAE，则判断点G与点D重合，即ED＝EA，作EM⊥AD于M，如图

（1），则AM＝AD＝，通过证明Rt△AME∽Rt△AHD，利用相似比可计算出此时的AE长；当GA＝GE时，则∠GAE＝∠AEG，可证明AE＝AD＝15；

（3）作DH⊥AB于H，如图

（2），则AH＝9，HE＝AE－AH＝x－9，先利用勾股定理表示出DE＝，再证明△EAG∽△EDA，则利用相似比可表示出EG＝×，则可表示出DG，然后证明△DGF∽△EGA，于是利用相似比可表示出x和y的关系．

完全解答

（1）作DH⊥AB于H，如图

（1），

（1）

易得四边形BCDH为矩形，

∴DH＝BC＝12，CD＝BH.

在Rt△ADH中，

∴AH＝＝9.

∴BH＝AB－AH＝16－9＝7.

∴CD＝7.

（2）①EA＝EG时，则∠AGE＝∠GAE.

∵∠AGE＝∠DAB，

∴∠GAE＝∠DAB.

∴点G与点D重合，即ED＝EA.

作EM⊥AD于M，如图

（1），

则AM＝AD＝.

∵∠MAE＝∠HAD，

∴Rt△AME∽Rt△AHD.

∴AE∶AD＝AM∶AH，即AE∶15＝∶9.

∴AE＝.

②GA＝GE时，则∠GAE＝∠AEG，

∵∠AGE＝∠DAB，

而∠AGE＝∠ADG＋∠DAG，

∠DAB＝∠GAE＋∠DAG，

∴∠GAE＝∠ADG.

∴∠AEG＝∠ADG.

∴AE＝AD＝15.

综上所述：

当△AEG是以EG为腰的等腰三角形时，线段AE的长为15或.

（3）作D