杆件的变形简单超静定问题.docx
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杆件的变形简单超静定问题
第四章杆件的变形简单超静定问题
、基本要求
1•熟练掌握拉（压）杆变形计算
2•熟练掌握圆轴扭转变形计算与刚度条件
3•掌握积分法求梁的弯曲变形
4•熟练掌握叠加法求弯曲变形与梁的刚度计算
5•理解超静定概念，熟练掌握简单超静定问题的求解方法
6•了解弹性体的功能原理，掌握杆件基本变形的应变能计算
内容提要
1•拉（压）杆的轴向变形、胡克定律
拉（压）杆的轴向变形为
1,1lil，式中丨、h分别为变形前、后杆的长
2•拉压超静定问题
定义杆系未知力的数目超过静力平衡方程的数目，仅用静力平衡方程不能确定全部未知力。
这类问题，称为超静定问题，或静不定问题。
超静定问题的求解方法根据变形协调条件建立变形几何方程，将变形与协调关系与力之间的物理关系带入几何方程得到补充方程，再与静力平衡方程联立求解，可得到全部未知力。
解题步骤：
（1）画出杆件或节点的受力图，列出平衡方程，确定超静定次数；
（2）根据结构的约束条件画出变形位移图，建立变形几何方程；
（3）将力与变形间的物理关系代入变形几何方程，得补充方程；
（4）联立静力平衡方程及补充方程，求出全部未知力。
超静定结构的特点：
（1）各杆的内力按其刚度分配；
（2）温度变化，制造不准确与支座沉陷等都可能使杆内产生初应力
3•圆轴的扭转变形与刚度条件超静定问题
1，变形计算
圆轴扭转时，任意两个横截面绕轴线相对转动而产生相对扭转角。
相距为I
的两个横截面的相对扭转角为
度扭转角',即
（4.8）
Tmax180
maxGIP
根据刚度条件可以进行校核刚度、设计截面与确定许可载荷等三类刚度计
3,扭转超静定问题
定义当杆端的支反力偶矩或横截面上的扭矩仅由平衡方程不能完全确定，这类问题称为扭转超静定问题。
扭转超静定问题的解法根据变形协调条件建立变形几何方程，将扭转角与扭矩间的物理关系代入变形几何方程得到补充方程，再与静力平衡方程联立求解，可得全部未知力偶。
4•梁的变形挠曲线近似微分方程及其积分
1,
挠曲线挠度与转角在外力作用下，梁的轴线由直线变为光滑连续的弹性曲线，称为挠曲线。
在对称弯曲情况下，挠曲线为纵向对称平面内的平面曲线，其方程为
fx
梁横截面的形心在垂直于轴线方向的线位移，称为挠度，用表示。
梁横截面相对于原来位置绕中性轴转过的角度，称为截面转角，用表示。
小变形时，有图4.3
tan'f'x
在图4.3所示坐标系中，向上的挠度和反时针的转角为正，反之为负
2,挠曲线的近似微分方程及其积分在分析纯弯曲梁的正应力时，得到弯矩与曲率的关系
丄M
EI
对于跨度远大于截面高度的梁，略去剪力对弯曲变形的影响，由上式可得
利用平面曲线的曲率公式，并忽略高阶微量，得
挠曲线的近似微分方程，即
Mx
（4.9）
将上式积分一次得转角方程为
II
El
再积分得挠曲线方程
Mxdx
El
C（4.10）
x
Mx
El
Mx
El
dxdx
Cx
D
（4.11）
式中，C,D为积分常数，它们可由梁的边界条件确定。
当梁分为若干段积分时，积分常数的确定除需利用边界条件外，还需要利用连续条件。
挠曲线的某些点上的挠度或转角是已知的，称为边界条件。
挠曲线是一条连续光滑的曲线，在其上任意一点，有唯一确定的挠度与转角，称为连续性边界条件。
3,梁的刚度条件
限制梁的最大挠度与最大转角不超过规定的许可数值，就得到梁的刚度条
件，即
max，max（4.12）
5.用叠加法求弯曲变形
叠加原理在小变形和线弹性范围内，梁在几种载荷共同作用下任一横截面的挠度与转角，分别等于每一种载荷单独作用下该截面的挠度与转角的代数和。
应用叠加原理的条件小变形与材料在线弹性范围。
6.简单超静定梁
梁上未知力的数目超过静力平衡方程数目，仅由平衡方程不能确定全部未知力，这类梁称为超静定梁。
超静定梁的解法与前述拉（压）杆、扭转超静定相同。
具体步骤如下：
1,首先判断超静定梁的次数。
解除多余约束代之以多余约束力，得到原超静定梁的相当系统。
注意解除多余约束以后的梁应该是静定梁的形式。
2,根据相当系统的变形与原超静定梁的变形应该相同，建立变形协调方程。
3,将变形与力之间的物理关系代入上述变形协调方程，得补充方程。
由补充方程解出多余约束力。
4,由平衡方程求梁上其余的约束反力。
然后就可以进行梁的强度与刚度的计算。
7.杆件的应变能||
1）应变能弹性体在外力作用下，因发生弹性变形而储存在弹!
!
»_II
性体内的能量，称为应变能或变形能。
用V或Vr表示。
\I
I1I
2）弹性体的功能原理在弹性体变形过程中，储存在弹性体内
的应变能V（或Vr）在数值上等于外力所做的功W，即T
F
VW（4.13）
3）轴向拉伸或压缩杆件的应变能在线弹性范围内，由功能原理得
1
VWFl
2
当杆件的横截面面积A、轴力Fn为常量时，由胡克定律I血，可得
EA
（4.14）
Fn2|
2EA
杆单位体积内的应变能称为应变能密度，用V表示。
线弹性范围内，得
根据微体内的应变能在数值上等于微体上的内力功，得应变能的密度VJ
解得Fn11.56kN
2.求C点的垂直位移c
A、B、C、
作结构的变形位移图如图c所示。
因ABCD为刚体，故发生位移后，
D仍为一直线。
小变形条件下。
可以“以切线代替圆弧”画变形图。
由B1向钢索作垂线得B
直位移C为
解法二用能量法求解C点的垂直位移解：
1.求钢索内的应力
与解法一相同，得Fn11.56kN
2.求C点的垂直位移
32
（11.56103*）2
Fn2i
Fn21
Ceaf
2EA
例2-2图示杆系的两杆均为钢杆，E=200GPa,112.51061/C。
两杆
的横截面积同为A=10cm2。
若BC杆的温度降低20C,而BD的温度不变，试求两杆的应力。
解：
设杆1受拉力，杆2受压力。
以节点B为研究对象，受力如图b所示。
因B点的未知力有三个，而平衡方程仅有两个，故为一次超静定问题。
列平衡方程
Fx0,FN1cos30Fn20
（1）
作结构的变形位移图如图c所示。
图中It为温度引起的变形，11为Fn1引
由图c得变形协调万程
I1
FN1ljcos30]Fn21
I2
起的变形，l2为Fn2引起的变形。
小变形条件下，以切线代替圆弧。
变形后B
（2）
（3）
（4）
点位移至B1点，即两杆在B1点铰接＜
l2cos30lt
物理方程为
ltiTlcos30,l
EAEA
式中T为温度改变量。
将式（3）代入式
（2），得补充方程
杆1
FN1
iTE
303MPa（拉应力）
1
3
OU.OIvlrdl拉应力）
A
cos30
1
杆2
Fn2
2
1cos30
26.2MPa（压应力）
A
例2-3传动轴的转速n=500r/min，主动轮1输入功率为P1=372.8kW，从
16
P2=149.1kW，P3=223.7kW。
已知［t］=70MPa,［約=1d1和BC段的直径d2；
（2）若AB和BC两段选用同一直主动轮和从动轮应如何安排才比较合理？
316T
32T180
4G2
BC段d248014972畀74.7103m74.7mm
经比较，取d185mm,d275mm
2.若AB和BC两段选用同一直径，则d85mm
度和刚度，故较合理。
WaWaWa
例2-5图示悬臂梁AD和BE的抗弯刚度同为EI24106N.m2，由钢杆
CD连接。
CD杆的长1=5m横截面面积A3104m2,E=200GPa。
若F=50kN，试求悬臂梁AD在D点的挠度。
解：
本题为一次超静定问题。
以CD杆的轴力Fn为多余约束力，得相当系统如图（b）所示。
设两梁的挠度以向下为正，则变形协调方程为
由表4.1,得
由胡克定律，得
（3）
FnI
EA
由式（5）解得
Fn
0.91F
Wd
Fn23
3EI
1038
6
0.9150
3
1.6
17710976.3610620103
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