电力生产.docx
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电力生产
电力生产问题的数学模型
摘要
本文解决的是电力生产模型，属于优化模型中的单目标多变量的非线性规划决策优化模型，为选择在每个时间段的发动机的最佳组合，使得每天的总费用最小，我们建立了两个最优化模型。
对于问题一：
我们首先用局部最优方法分析了每一个时间段非线性规划模型的的局部最优解（见表1），基于局部最优和实际用电不间断的情况我们建立了全局单目标多变量非线性规划决策优化模型。
得到如表3的方案，且得到最终每天最小总成本为1447260元。
对于问题二：
在问题一的基础上，再加以考虑留出发电机机组20%的发电能力，该条件使得约束条件发生了改变，但目标函数仍然未变，我们首先增加了约束条件，局部分析了每一个时间段的最优解（见表2），然后建立全局单目标多变量非线性规划决策优化模型，得到如表4的方案，且得到最终每天最小总成本为1531960元。
最后，分别对模型2和模型3从可用数量和输出功率两个方面进行灵敏性分析，结果为增加型号3的最大输出功率和型号2的可用数量都会使得问题一、二总的成本分别降低0.0071%，1.8154%，0.0118%，1.4412%。
关键词：
单目标多变量非线性规划、全局最优解、局部最优解、灵敏性分
1.问题重述
1.1问题背景
在电力无处不在的今天，电力市场也日益成熟。
电力生产问题也由此而生，在此问题下，电力公司在满足用电用户的条件下，将努力争取自己的利益最大化。
根据人们的生活作息习惯，用户用电需求会出现高峰与低潮期交替现象，因此合理发电与供电，以节约生产成本便成为电力公司追求利益最大化的重要途径之一。
本题即是要求在满足每日供电量以及能够应对突发情况下，通过合理分配发电机的使用数量以及调整其输出功率，以节约电力生产成本的问题。
1.2需要解决的问题
为满足每日电力需求（单位为兆瓦（MW）），可以选用四种不同类型的发电机。
每日电力需求见附录一表1。
每种发电机都有一个最大发电能力，当接入电网时，其输出功率不应低于某一最小输出功率。
所有发电机都存在一个启动成本，以及工作于最小功率状态时的固定的每小时成本，并且如果功率高于最小功率，则超出部分的功率每兆瓦每小时还存在一个成本，即边际成本。
这些数据均列于附录一表2中。
只有在每个时段开始时才允许启动或关闭发电机。
与启动发电机不同，关闭发电机不需要付出任何代价。
问题
（1）在每个时段应分别使用哪些发电机才能使每天的总成本最小，最小总成本为多少？
问题
（2）如果在任何时刻，正在工作的发电机组必须留出20%的发电能力余量，以防用电量突然上升。
那么每个时段又应分别使用哪些发电机才能使每天的总成本最小，此时最小总成本又为多少？
2.模型假设及符号说明
2.1基本假设
假设1.发电机组都能够正常工作；
假设2.在同一时间段内同一型号发电机的输出功率保持不变；
假设3.发电机启动时可瞬间完成，即忽略发电机启动时间；
假设4.题目中所给出的所有数据都是合理、正确的；
假设5.忽略发电机自身及电力传输设备的能量消耗；
假设6.每个时段内不存在开关发电机情况，即启动和关闭发电机都在每个时段的开始；
假设7.电力系统循环供电，各时间段都受前一时间段影响，即0-6时段也受22-24时段影响；
2.2符号说明
本时间段长度
本时段需要型号i机器的数量
相对于前一时段新启动的i号机器数量
型号i的机器启动成本
型号i机器固定成本
型号i机器边际成本
型号i机器实际功率
型号i机器最小功率
型号i机器最大功率
型号i机器在j时间段的功率
本时间段功率需求
（局部）、
（全局）
总成本
、
启动成本
、
固定成本
、
边际成本
j=1,2···7；i=1,2,3,4
3.问题分析
此题研究的是在每日电力满足需求的条件下，使得每天的的总成本达到最小的数学建模问题。
3.1问题一的分析：
针对问题一，我们从以下三个方面分析
（1）对已知条件的分析：
从已知的条件来看，本题将每天分为7个时间段，在每一个时间段内，都已知了发电机的型号，可用数量，最小输出功率，最大输出功率，固定成本，每兆瓦边际成本，启动成本。
（2）根据题目的要求，我们需对发电机组的启动数量及其发电功率进行合理的调配制定一个模型方案，已达到节约成本的目的。
我们采取了两种方法：
局部最优解法和全局最优解法。
局部最优解法：
求出每个时间段的发电机的组合，使得在每个时间段的总成本达到最小，对其求和从而使得每天的总成本达到最小。
全局最优解法：
根据题目的条件，直接求出每天的总成本，使其达到最小。
（3）由题可知：
发电机在启动时会花费启动成本，而关闭时则不需要关闭成本，若本时段相同型号的机器下一时段还需使用就不需关闭机器，这样便节约了启动成本。
故相连时间段之间的设备决策安排对整个问题的总成本是有影响的。
因此我们先分段考虑各个时段的机组安排即局部最优解，其次再使用全局最优解，并进行对比。
（4）对目标函数的分析：
无论是局部最优解法还是全局最优解法，总成本都有三个指标组成，即固定总成本、边际总成本、启动总成本。
分别对每个指标进行分析。
固定总成本等于型号i型发电机每小时的固定成本与型号i型发电机在第j个时间段的工作时间以及型号i型发电机的启动数量的乘积的累加和。
边际总成本为第j个时间段的工作时间与此时间段的实际功率与最小功率的差值以及与型号i型发电机每兆瓦的边际成本以及启动数量的乘积的累加和。
启动总成本为型号i型发电机启动数量与启动成本的乘积的累加和。
（5）对约束条件的分析：
通过对题目进行分析，可知约束条件有三个。
一是型号j型发电机在每个时间段的实际输出功率与启动的数量需满足每个时间段的需求量。
二是型号i型发电机的实际输出功率需介于最小和最大输出功率之间。
三是四种型号的发电机启动的数量一定比该型号的发电机的总数量要小，并为正整数。
3.2问题二的分析：
问题二的分析与问题一在已知条件的分析和目标函数的分析一样。
而对约束条件的分析在一的基础上增加了一个，题目要求在任何时刻，正在工作的发电机组必须留出20%的发电能力余量，以防用电量突然上升，即发电机组在各时间段的实际输出功率要小于或等于该时段的最大输出功率。
4.局部最优模型的建立与求解
该模型的建立是为了解决电力生产问题中的优化问题，根据用户用电需求量的规律，在满足用户用电的条件下，通过建立模型来合理供电、发电，以节约生产成本。
根据题设条件可知，此模型为非线性规划问题。
生产总成本应该由启动成本，固定成本和边际成本组成。
即总成本：
下面我们先对每一个时段用局部最优建立模型，并与后面的全局最优进行对比：
4.1模型的建立
对于问题一：
（1）目标函数
目标：
获得总成本最小
i.总成本:
ii.启动成本:
即各型号的发电机启动的台数乘以相应型号机器的启动成本所得数值的累加值，其数学表达式为：
iii.固定成本：
即各型号发电机在七个时间段内的固定成本乘以启动台数乘以工作时间所得数值的累加值，其数学表达式为：
iiii.边际成本：
即各型号发电机在七个时间段内的输出功率与最小输出功率的差值乘以相对应的边际成本乘以对应时间内启动台数乘以工作时间所得数值的累加值，其数学表达式为：
（2）约束条件
i.每个时间段的供电必须满足当前段的功率需求。
ii.发电功率大于等于最小功率且小于等于最大功率。
对于问题二：
求局部最优解时，条件要求发电机组必须留出20%发电能力余量，即留出发电机组最大发电功率的20%，以防用电量突然上升。
因此我们只要在问题一的基础上更改约束条件为：
4.2模型求解
通过lingo软件求解如下：
（代码见附录二）
问题一结果：
表1
时段
机组
型号1
型号2
型号3
型号4
成本
1
数量
0
4
3
0
176620
输出功率
0
1500
2000
0
2
数量
3
4
8
3
527890
输出功率
1533.33
1500
2000
1800
3
数量
0
4
7
3
395500
输出功率
0
1400
2000
1800
4
数量
5
4
8
3
605390
输出功率
1720
1500
2000
1800
5
数量
0
4
7
3
395500
输出功率
0
1400
2000
1800
6
数量
1
4
8
3
488400
输出功率
1750
1500
2000
2083.33
7
数量
0
4
6
0
277240
输出功率
0
1500
2000
1800
总成本
2866540
问题二结果：
表2
时段
机组
型号1
型号2
型号3
型号4
成本
1
数量
0
4
1
3
183940
输出功率
0
1200
1600
1866.67
2
数量
6
4
8
3
571780
输出功率
1400
1200
1600
2000
3
数量
1
4
8
3
426630
输出功率
1400
1200
1600
2000
4
数量
9
4
8
3
654310
输出功率
1400
1200
1600
1933.33
5
数量
1
4
8
3
426630
输出功率
1400
1200
1600
2000
6
数量
5
4
8
3
529070
输出功率
1400
1200
1600
1800
7
数量
0
4
5
3
293620
输出功率
0
1150
1600
1800
总成本
3085980
以上为局部最优所得结果。
对于问题一，最后总成本为2866540元；对于问题二，最后总成本为3085980元。
接下来我们再观察全局最优模型求解情况：
5.问题一的求解
5.1模型的建立
该模型根据电力系统循环供电情况，后一个时间段的发电情况受前一个时间段的影响，与局部最优情况相比主要是启动成本上的影响。
同样，总成本：
（1）目标函数
目标：
获得总成本最小
i.总成本：
ii.总启动成本：
即各型号的发电机在关闭的状态下重新被启动的台数乘以相应型号机器的启动成本所得数值的累加值，其中
为相对于前一时段新启动的i号机器数量，其数学表达式为：
，
其中
iii.总固定成本：
即各型号发电机在七个时间段内的固定成本乘以启动台数乘以工作时间所得数值的累加值，其数学表达式为：
iiii.总边际成本：
即各型号发电机在七个时间段内的输出功率与最小输出功率的差值乘以相对应的边际成本乘以对应时间内启动台数乘以工作时间所得数值的累加值，其数学表达式为：
（2）约束条件
i.每个时间段的供电必须满足当前段的功率需求；
ii.发电功率大于等于最小功率且小于等于最大功率。
5.2模型求解
通过lingo软件求解出最佳方案，其方案表示如下表：
（代码见附录三）
表3
时段
机组
型号1
型号2
型号3
型号4
1
数量
2
4
2
0
输出功率
1000
1500
2000
0
2
数量
2
4
8
3
输出功率
1750
1500
2000
2166.67
3
数量
2
4
8
1
输出功率
750
1425
2000
1800
4
数量
2
4
8
3
输出功率
1750
1500
2000
3500
5
数量
2
4
8
1
输出功率
750
1425
2000
1800
6
数量
2
4
8
3
输出功率
1300
1500
2000
1800
7
数量
2
4
5
0
输出功率
1000
1500
2000
0
总成本：
1447260
为了更直观、清晰的对比问题一的最佳方案中各种参数，我们将上表用柱形图表示出来。
下图为各时段各型号机器数量：
图一
下图为各时段机器输出功率：
图二
6.问题二求解
6.1模型的建立
针对问题二使用全局最优求解，我们建立了该模型。
问题二是在问题一的基础上增加条件要求：
工作中的发电机组必须留出20%发电能力余量，即留出最大发电功率的20%，以防用电量突然上升。
因此，我们只需更改问题一的约束条件即可得出问题二的模型结果。
（1）目标函数
目标：
获得总成本最小
i.总成本：
ii.总启动成本：
即各型号的发电机在关闭的状态下重新被启动的台数乘以相应型号机器的启动成本所得数值的累加值，其中
为相对于前一时段新启动的i号机器数量，其数学表达式为：
，
其中
iii.总固定成本：
即各型号发电机在七个时间段内的固定成本乘以启动台数乘以工作时间所得数值的累加值，其数学表达式为：
iiii.总边际成本：
即各型号发电机在七个时间段内的输出功率与最小输出功率的差值乘以相对应的边际成本乘以对应时间内启动台数乘以工作时间所得数值的累加值，其数学表达式为：
（3）约束条件
i.每个时间段的供电必须满足当前段的功率需求；
ii.发电功率大于等于最小功率且小于等于最大功率的80%。
6.2模型求解
通过lingo软件求解出最佳方案，其方案表示如下表：
（代码见附录三）
表4
时段
机组
型号1
型号2
型号3
型号4
1
数量
9
4
0
0
输出功率
800
1200
0
0
2
数量
9
4
6
3
输出功率
1355.56
1200
1600
1800
3
数量
9
4
6
2
输出功率
777.78
1200
1600
1800
4
数量
9
4
8
3
输出功率
1400
1200
1600
1933.33
5
数量
9
4
6
2
输出功率
777.78
1200
1600
1800
6
数量
9
4
5
3
输出功率
1311.11
1200
1600
1800
7
数量
9
4
0
3
输出功率
866.67
1200
0
1800
总成本：
1531960
为了更直观、清晰的对比问题二的最佳方案中各种参数，我们将上表用柱形图表示出来。
下图为各时段各型号机器数量：
图三
下图为各时段机器输出功率：
图四
6.3模型结果分析
（1）利用lingo软件求解出全局最优解为：
问题一条件下最终成本为1447260元；问题二条件下最终成本为1531960元。
（2）首先对比局部最优解可以看到成本明显减少。
其次，在全局最优方案中我们看到型号2和型号3在供电过程中起到主要的影响作用，并且型号2和型号3在边际成本和启动成本上都具有相当的优势；我们知道型号1的固定成本较小，但启动成本最高，而型号1在各时段使用过程中是一个稳定的值，并且在问题二的解决方案中的使用最多，这就大大减少了启动成本。
（3）我们知道问题二中的条件是正在工作的发电机组必须留出20%的发电能力余量，以防用电量突然上升，这是现实生活中不可预知的情况。
因此问题二的模型方案是电力公司首要考虑的。
我们可以看到问题二的模型中各型号机器发电功率以及使用频率都较为稳定，对设备的维护有一定作用，减少了设备的维护成本。
（4）这些都符合节约成本的思想，因此该模型的实用性很强。
7.模型的灵敏度分析
7.1问题一的灵敏性分析
在计算结果中发现在第4时间段中发电机的使用数量和输出功率都最接近于最大，故将此时间段作为分析的对象，分别从最大输出功率和可用数量两方面分析。
先从最大输出功率方面分析：
发现只有型号1,2,3的输出功率松弛变量为0，即他们对目标起主要影响作用。
表5：
最大输出功率增大单位1时成本变动情况
机器型号
原成本
变动后成本
差值
变动幅度
1
605390
605390
0
0.0000%
2
605390
605378
-12
-0.0020%
3
605390
605347
-43
-0.0071%
4
605390
605390
0
0.0000%
从上表可以看出，当增加型号2、3的最大输出功率时总成本会分别下降0.0020%、0.0071%，即当不考虑增加机器的最大功率对发电机的损坏费用和超额对电网的损耗时，是值得增加型号2、3的最大输出功率，且增大3号机器的最大输出功率更有利。
从可用数量方面分析：
发现只有型号2，3，4的使用数量的松弛变量为0，即它们对目标的影响起主要作用。
表6：
可用数量增大单位一时成本变动情况
机器型号
原成本
变动后成本
差值
变动幅度
1
605390
605390
0
0.0000%
2
605390
594400
-10990
-1.8154%
3
605390
600180
-5210
-0.8606%
4
605390
599880
-5510
-0.9102%
从上表可以看出，当增加型号2,3,4可用数量时，发现其总的成本分别会下降1.8154%、0.8606%、0.9102%，即在不考虑购买型号2,3,4的购买费用以及相应的安装和维护费用时，是值得购买型号2,3,4，且购买2号机器更划算。
8.2问题二的灵敏性分析
同样将第4时间段作为分析的对象，分别从最大输出功率和可用数量两方面分析。
先从最大输出功率方面分析：
发现只有型号2,3的输出功率的松弛变量为0，故他们对目标函数的变化起主要作用。
表7：
最大输出功率增大单位1时成本变动情况
机器型号
原成本
变动后成本
差值
变动幅度
1
654310
654263
-47
-0.0072%
2
654310
654279
-31
-0.0047%
3
654310
654233
-77
-0.0118%
4
654310
654310
0
0.0000%
从上表可以看出：
当增加型号1、2、3的最大功率时总成本会分别下降0.0072%、0.0047%、0.0118%，即当不考虑增加机器的最大功率对发电机的损坏费用和超额对电网的损耗时，是值得增加型号1、2、3的最大输出功率，且增大3号机器的最大输出功率更有利。
然后可用数量方面分析：
我们发现只有型号1、2、3的机器使用数量的松弛变量为0，即它们对目标函数的变化起主要的作用。
表8：
可用数量增大单位一时成本变动情况
机器型号
原成本
变动后成本
差值
变动幅度
1
654310
654310
0
0.0000%
2
654310
644880
-9430
-1.4412%
3
654310
649940
-4370
-0.6679%
4
654310
646160
-8150
-1.2456%
从上表可以看出：
当增加型号2,3,4可用数量时，发现其总的成本分别会下降1.4412%，0.6679%，1.2456%，即在不考虑购买型号2,3,4的购买费用，以及相应的安装和维护费用时，是值得购买型号2,3,4，且购买2号机器更划算。
8.模型的评价，改进和推广
8.1模型的评价
优点：
1.该模型比较简单，建模过程也不复杂，思路比较明了；
2.该模型将0时作为起点，同时也将0时（即24时）作为终点，更符合题意，更有实际意义。
缺点：
由于各种外界的影响，我们所考虑的因素不是完全的，还有一些比较细节的问题，我们没有考虑进去，使得每天的成本与实际的成本还有一点的偏差。
8.1模型改进
所建模型如果考虑到发电机随着使用时间（以月为单位）的增加，会需要不同的检修费用，再把检修费用平均到某一天，把此检修费用也算到总成本里去，当做总成本的一部分，这样得到的模型更实际，更优化。
8.2模型推广
我们建的模型不仅适用于电力生产，也适用于其他方面的生产，例如：
可用于产销平衡问题，生产量最优化问题和分配最优化问题等不同领域的使用。
参考文献：
[1]数学软件与数学实验（第二版），汪晓银，邹庭荣，周保平等著，科学出版社2010.12
[2]（美）米切斯切特（MarkM.Meerschaert）著；刘来福等译。
数学建模方法与分析（原书第3版）[M]，北京：
机械工业出版社，2009.5
[4]张国立，李庚银，谢宏，周明，日前和实时市场统一电能交易模型[J]，2006.11
[5]刘伟达，电力生产决策支持系统中评估模型的研究与运用[J],2004.12.23
附录：
附录一：
题设所给表格数据如下所示：
表1：
每日用电需求（兆瓦）
时段
0-6
6-9
9-12
12-14
14-18
18-22
22-24
需求
12000
320000
25000
36000
25000
30000
18000
表2：
发电机情况
可用数量
最小功率
最大功率
固定成本
边际成本
启动成本
型号1
10
750
1750
2250
2.7
5000
型号2
4
1000
1500
1800
2.2
1600
型号3
8
1200
2000
3750
1.8
2400
型号4
3
1800
3500
4800
3.8
1200
附录二：
局部最优解程序：
sets:
machine/1..4/:
sc,mc,fc,minpower,maxpower,number,power,amount;
endsets
data:
SC=5000,1600,2400,1200;
MC=2.7,2.2,1.8,3.8;
FC=2250,1800,3750,4800;
minpower=750,1000,1200,1800;
maxpower=1750,1500,2000,3500;
number=10,4,8,3;
demand=?
;
enddata
@for（machine（i）:
power（i）>=minpower（i））;
@for（machine（i）:
power（i）<=maxpower（i））;
!
@for（machine（i）:
power（i）<=maxpower（i）*0.8）;
!
求第二问局部最优解最大输出功率乘以0.8;
@for（machine（i）:
amount（i）<=number（I））;
@for（machine（i）:
@gin（amount（i）））;
@sum（machine（i）:
amount（i）*power（i））=demand;
min=@sum（machine（i）:
（FC（i）*6+（power（i）-minpower（i））*MC（i）*6+sc（i））*amount（i））;
附录三：
求全局最优解程序：
model:
sets:
time/1..7/:
length,demand;
m
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