笔畅暑期奥数提升十八 容斥问题.docx

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笔畅暑期奥数提升十八容斥问题

暑期奥数提升一容斥问题

容斥问题涉及到一个重要原理一 包含与排除原理，也叫容斥原理。

即当两个计数部分有重复包含时，为了不重复的计数，应从它们的和中排除重复部分。

容斥原理:

对n个事物，如果采用两种不同的分类标准，按性质a分类与性质b分类（如图），那么具有性质a或性质b的事物的个数=Na+Nb-Nab

1.一个班有48人，班主任在班会上问:

"谁做完语文作业?

请举手!

”有37人举手。

又问:

“谁做完数学作业?

请举手！

”有42人举手。

最后问:

“谁语文、数学作业没有做完?

”没有人举手。

求这个班语文、数学作业都完成的人数。

2.五年级有122名学生参加语文、数学考试，每人至少有一门功课取得优秀成绩。

其中语文成绩优秀的有65人，数学优秀的有87人。

语文、数学都优秀的有多少人?

3.四年级一班有54人，订阅《小学生优秀作文》和《数学大世界》两种读物的有13人，订《小学生优秀作文》的有45人，每人至少订一种读物，订《数学大世界》的有多少人?

4.学校文艺组每人至少会演奏一种乐器， 已知会拉手风琴的有24人，会弹电子琴的有17人，其中两种乐器都会演奏的有8人。

这个文艺组一共有多少人?

5.某班有36个同学在一项测试中，答对第一题的有25人，答对第二题的人有23人，两题都答对的有15人。

问多少个同学两题都答得不对?

6.五

（1）班有40个学生，其中有25人参加数学小组，23人参加科技小组，有19人两个小组都参加了。

那么，有多少人两个小组都没有参加?

7.一个班有55名学生，订阅《小学生数学报》的有32人，订阅《中国少年报》的有29人，两种报纸都订阅的有25人。

两种报纸都没有订阅的有多少人?

8.某校选出50名学生参加区作文比赛和数学比赛，结果3人两项比赛都获奖了，有27人两项比赛都没有获奖，已知作文比赛获奖的有14人，问数学比赛获奖的有多少人?

9.某班有56人，参加语文竞赛的有28人，参加数学竞赛的有27人，如果两科都没有参加的有25人，那么同时参加语文、数学两科竞赛的有多少人?

10.-个旅行社有36人,其中会英語的有24人,会法語的有18人,两样都不会的有4人,两样都会的有多少人?

11.-个倶乐部有103人,其中会下中国象棋的有69人,会下国际象棋的52人，这两种棋都不会下的有12人，问两种棋都会下的有多少人？

暑期奥数提升二巧妙求和

  某些问题，可以转化为求若干个数的和，在解决这些问题时，同样要先判断是否求某个等差数列的和。

如果是等差数列求和，才可用等差数列公式求和。

  在解决自然数的数字问题时，应根据题目的具体特点，有时可考虑将题中的数适当分组，并将每组中的数合理配对，使问题得以顺利解决。

1.刘俊读一本长篇小说，他第一天读30页，从第二天起，他每天读的页数都比前一天多3页，第11天读了60页，正好读完，这本书共有多少页?

2.刘师傅做一批零件，第一天做了20个，以后每天都比前一天多做2个，第15天做了48个，正好做完，这批零件共有多少个?

3.胡茜读一本故事书，她第一天读了20页，从第二天起，每天读的页数都比前一天多5页。

最后一天读了50页恰好读完，这本书共有多少页?

4.丽丽学英语单词，第一天学会了6个，以后每天都比前一天多学1个，最后一天学会了16个，丽丽在这些天中学会了多少个单词?

5.30把锁的钥匙搞乱了，为了使每把锁都配上自己的钥匙，至多要试多少次？

6.有80把锁的钥匙搞乱了，为了使每把锁都配上自己的钥匙，至多试多少次?

7.有一些锁的钥匙搞乱了，已知至多要试28次，就能使每把锁都配上自己的钥匙，问一共有几把锁的钥匙搞乱了?

8.有10只盒子，44只羽毛球。

能不能把44只羽毛球放到盒子中去，使各个盒子里的羽毛球不相等？

9.某班有51个同学，毕业时每人都和其他的每个人握一次手，那么共握了多少次手?

10.学校进行乒乓球赛，每个参赛选手都要和其他所有选手各赛一场，如果有21人參加比赛，问一共要进行多少场比赛?

11.-次同学聚会中，参加的有43位同学和4位老师，每一位同学或老师都要和其他同学握一次手。

那么一共握了多少次手?

12.假期里有一些同学相约每两人互通一次电话，他们一共打了78次电话，问有多少同学相约互通电话?

暑期奥数提升三图形问题

解答有关“图形面积”问题时，应注意以下几点:

1.细心观察，把握图形特点，合理的进行切拼，从而使问题得以顺利地解答。

2.从整体上观察图形特征，掌握图形本质，结合必要的分析推理和计算，使隐蔽的数量关系明朗化。

1.人民路小学操场长90米，宽45米，改造后，长增加10米，宽增加5米。

现在操场面积比原来增加了多少平方米?

2.有一块长方形的木板，长22分米，宽8分米，如果长和宽分别减少10分米、3分米，面积比原来减少多少平方分米?

2.一块长方形铁板，长18分米，宽13分米，如果长和宽各减少2分米，面积比原来减少多少平方分米?

3.一块长方形地，长是80米，宽是45米，如果把宽增加5米，要使面积不变，长应减少多少米?

4.一个长方形，如果宽不变，长增加6米，那么它的面积增加54平方米，如果长不变，宽减少3米，那么它的面积减少36平方米，这个长方形原来的面积是多少平方米？

5.一个长方形，如果宽不变，长减少3米，那么它的面积减少24平方米，如果长不变，宽增加4米，那么它的面积增加60平方米，这个长方形原来的面积是多少平方米？

6.一个长方形，如果宽不变，长增加5米，那么它的面积增加30平方米，如果长不变，宽增加3米，那么它的面积增加48平方米，这个长方形原来的面积是多少平方米？

7.一个长方形，如果它的长减少3米，或它的宽减少2米，那么它的面积都减少36平方米，求这个长方形原来的面积？

8.一个正方形一条边减少6分米，另一条边减少10分米后变为一个长方形，这个长方形的面积比正方形的面积少260平方分米，求原来正方形的边长。

9.一个长方形的木板，如果长减少5分米，宽减少2分米，那么它的面积就减少66平方分米，这时剩下的部分恰好是一个正方形，求原来长方形的面积。

10.一块正方形的玻璃，长、宽都截去8厘米后，剩下的正方形比原来少448平方厘米，这块正方形玻璃原来的面积是多大？

暑期奥数提升四错中求解

在加、减、乘、除式的计算中，如果粗心大意将算式中的一些数或符号抄错，就会导致计算结果发生错误，如:

小华在计算除法时，把被除数630错写成360，结果得到的商是12，正确的商应该是多少?

这一讲，我们就来讨论怎样利用错误的答案求出正确的结论。

1.小李在计算两个数相加时，把一个加数个位上的7错写成1，把另一个加数百位上2错写成3，所得的和是2003，原来两个数相加的正确答案是多少?

2.大刘在计算加法时，把一个加数十位上的5错写成3，把另一个加数个位上的6错写成2，所得的和是374,正确的和应该是多少?

3.小丁在计算加法时，把一个加数百位上的0错写成8，把另一个加数十位上的1错写成7，所得的和是3123，正确的和应该是多少?

4.豆豆在计算加法时，把一个加数个位上的6错写成9,把另一个加数百位上的8错写成3，所得的和是637，正确的和应该是多少?

5.大明做题时，把被减数个位上的3错写成8，把十位上的6错写成0，这样算的差是200，正确的差是多少?

6.小原做题时，把被减数个位上的3错写成5，把十位上的1错写成7，这样算的差是201，正确的差是多少？

7.大华做题时，把被减数个位上的8错写成0，把十位上的6错写成2，这样算的差是513，正确的差是多少？

8.小彬做题时，把减数十位上的9错写成6，把被减数百位上的3错写成8，这样算的差是806，正确的差是多少？

9.大刚在计算除法时，把被除数7140写成1740结果得到商是49，余数是25，正确的商应该是多少?

10.小巍在计算除法时，把除数210错写成21，结果得到的商是150，正确的商应该是多少?

11.某数刚好能被16除尽。

如果改用18去除，商是17还余14。

该数是16的几倍?

12.晓晓计算两位数乘两位数时，把一个因数的个位数6错写成9,结果得936,实际应为864，这两个因数各是多少?

暑期奥数提升五最优化问题

在日常生活和生产中，我们经常会遇到下面的问题，完成一件事情怎样合理安排才能做到用时最少，效果最佳。

这类问题在数学中称为统筹问题。

解决此类问题时，必须树立统筹思想能同时做的事，尽量同时做。

有时，我们还会遇到求“费用最省”、“面积最大”、“损耗最小”等问题。

这些问题往往可以从极端情况去规讨它的最大（小）值。

在数学中称为极值问题。

统筹问题和极值问题实际上都属于最优化问题。

1.用一只平底锅煎饼，每次只能放两只，煎一只需要2分钟（规定正反面各需要1分钟），问煎3只至少需要多少分钟？

2.烤面包时，第一面要烤2分钟，第二面只要烤1分钟，即烤一片面包需要3分钟。

小丽用烤面包架子，一次只能放两片面包，她每天早上吃3片面包，需要烤多少分钟?

3.用一只平底锅烙大饼，锅里只能同时放两只，烙熟大饼的一面需要3分钟，现在要烙3只大饼，最少需要几分钟?

4.小华用平底锅烙饼，这只锅同时能放4只大饼，烙一个要4分钟（每面各需要2分钟）可小华烙6个饼只用了6分钟，他是怎样做的?

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5.妈妈让小明给客人烧水沏茶。

洗水壶需要1分钟，烧开水需要15分钟，洗茶壶需要1分钟，洗茶杯需要1分钟，拿茶叶需要2分钟，为了使客人早点喝上茶，你认为最合理的安排，多少分钟后能沏茶了?

6.小虎早晨要完成这样几件事：

烧一壶开水需要10分钟，把开水灌进热水需要2分钟，整理书包需要4分钟，为了尽快做完这些事，怎样安排才能使使用的时间最少？

最少需要几分钟？

7.小强给客人沏茶，烧开水要12分钟，洗茶杯要2分钟，买茶叶要8分钟，放茶叶泡茶要1分钟，为了使客人能早点喝上茶，按你认为最合理的安排，多少分钟就能沏茶了？

8.甲、乙、丙三人分别拿着2个、3个、1个热水瓶同时到达开水供应点打热水，热水龙头只有一个，怎样安排他们打水的次序，可以使他们打热水所花的总时间（包括等候时间）最少?

（假如打满1瓶需要1分钟）

9.甲、乙、丙三人到商场批发部洽谈业务，甲10分钟就能治谈完，乙16分钟能洽谈完，丙8分钟能洽谈完。

怎样安排三人谈话的先后次序，使3人所花的总时间最少?

最少时间是多少?

10.甲、乙、丙、丁四人同时到1水龙头处用水，甲洗拖把需要3分钟，乙洗抹布需要2分钟，丙洗衣服需要10分钟，丁用桶注水需要I分钟。

怎样安排四人用水的次序，使它们所花的总时间最少?

最少时间是多少?

11.用长18厘米的铁丝围成各种长方形，要求长和宽的长度都是整厘米数，围成的长方形的面积最大是多少？

暑期奥数提升六用假设法解题

假设法是一种常用的解题方法。

“假设法”就是根据题目中的已知条件或结论作出某种假设，然后按已知条件进行推算，根据数量上出现的矛盾作适当调整，从而找到正确答案。

运用假设法的思路解应用题，先要根据题意假设未知的两个量是同一种量，或者假设要求的两个未知量相等，其次，要根据所作的假设，注意到数量关系发生了什么变化并作出适当的调整。

1.今有鸡、兔共居一笼，已知鸡头和兔头共35个，鸡脚和兔脚共94只，问鸡、兔各有多少只？

2.鸡与兔共有30只，共有脚70只，鸡与兔各有多少只?

3.鸡与兔共有20只，共有脚50只，鸡与兔各有多少只?

4.鸡与兔共有100只，鸡的脚比兔的脚多80只，鸡与兔各有多少只?

5.面值是2元、5元的人民币共27张，合计99元，面值是2元、5元的人民币各有多少张？

6.孙佳有2分、5分硬币共40枚，一共是1元7角，两种硬币各有多少枚?

7．50名同学去划船，一共乘坐11只船，其中每条大船坐6人，每条小船坐4人，问大船和小船各几只?

8.12张乒乓球台上同时有34人在进行乒乓球赛，正在进行单打的球台有多少张?

9.一批水泥，用小车装卸，要用45辆，用大车装卸，只要36辆，每辆大车比小车多装4吨，这批水泥有多少吨?

10.一批货物用大卡车装要16辆，如果用小卡车装要48辆，已知大卡车比小卡车每辆多装4吨，问这批货物有多少吨?

11.有一堆黄沙，用大汽车运需运50次，如果用小汽车运，要运80次，每辆大汽车比小汽车多运3吨，这堆黄沙有多少吨?