人教版初中数学全等三角形证明题经典50题.docx
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人教版初中数学全等三角形证明题经典50题
人教版初中数学全等三角形证明题（经典50题）（含答案）
1.已知：
AB=4，AC=2，D是BC中点，AD是整数，求AD?
解析：
延长
EBD
B中,AB-BE<AE<AB+BE即D即:
10-2<2AD<10+24<AD<6
又AD是整数,则AD=5
2.已知：
D是AB中点，∠ACB=90°，求证：
3.∠E，∠C=∠D，F是CD中点，求证：
∠1=∠2BC=ED,CF=DF,∠BCF=∠EDF。
所以三角形BCF）。
所以BF=EF,∠CBF=∠DEF。
连接BE。
在三所以∠EBF=∠BEF。
又因为∠ABC=∠AED。
所以∠AB=AE。
在三角形ABF和三角形AEF中，∠ABE+∠EBF=∠AEB+∠BEF=∠AEF。
所以三角形所以∠BAF=∠EAF（∠1=∠2）。
4.已知：
∠1=∠2，CD=DE，EF//AB，求证：
EF=AC
证明：
过E点，作EG//AC，交AD延长线于G则
∠DEG=∠DCA，∠DGE=∠2又
∵CD=DE∴⊿ADC≌⊿GDE（AAS）∴EG=AC∵EF//AB∴∠DFE=∠1∵∠1=∠2∴∠D
FE=∠DGE∴EF=EG∴EF=AC
5.已知：
AD平分∠BAC，AC=AB+BD，求证：
∠B=2∠C
AE=AB，连接ED∵AD平分∠BAC∴∠EAD=∠BAD又
⊿AED≌⊿ABD（SAS）∴∠AED=∠B，∴
BDE=DB∵AC=AB+BD
AC=AE+CE∴CE=DE∴∠C=∠EDC∵∠AED=∠C+∠EDC=2∠C∴∠B=2∠C
6.已知：
AC平分∠BAD，CE⊥AB，∠B+∠D=180°，求证：
AE=AD+BE
证明：
在AE上取F，使EF＝EB，连接CF因为CE⊥AB所以∠CEB＝∠CEF＝90°因为EB＝EF，CE＝CE，所以△CEB≌△CEF所以∠B＝∠CFE因为∠B＋∠D＝180°，∠CFE＋∠CFA＝180°所以∠D＝∠CFA因为AC平分∠BAD所以∠DAC＝∠FAC又因为AC＝AC所以△ADC≌△AFC（SAS）所以AD＝AF所以AE＝AF＋FE＝AD＋BE
12.如图，四边形ABCD中，AB∥DC，BE、CE分别平分∠ABC、∠BCD，且点E在AD上。
求证：
BC=AB+DC。
证明:
在BC上截取BF=BA,连接
EF.∠ABE=∠FBE,BE=BE,则
⊿ABE≌ΔFBE（SAS）,∠EFB=∠A
;AB平行于CD,
则:
∠A+∠D=180°;又∠EFB+∠EFC=180°,则∠EFC=∠D;又
∠FCE=∠DCE,CE=CE,故⊿FCE≌ΔDCE（AAS）,FC=CD.所
以,BC=BF+FC=AB+CD.
13.已知：
AB//ED，∠EAB=∠BDE，AF=CD，EF=BC，求证：
∠F=∠C
证明：
AB//ED,AE//BD推出AE=BD,
又有AF=CD,EF=BC
所以三角形AEF全等于三角形DCB，
所以:
∠C=∠F
14.已知：
AB=CD，∠A=∠D，求证：
∠B=∠C
证明：
设线段AB,CD所在的直线交于E，（当AD<BC
时，E点是射线BA,CD的交点，当AD>BC时，E点
是射线AB,DC的交点）。
则：
△AED是等腰三角形。
所以：
AE=DE而
AB=CD所以：
BE=CE（等量加等量，或等量减等量）
所以：
△BEC是等腰三角形所以：
角B=角C.
15.P是∠BAC平分线AD上一点，AC>AB，求证：
PC-PB<AC-AB
证明：
作B关于AD的对称点B‘，因为AD是角CBAC的平分线，B’在线段AC上（在AC中间，因
为AB较短）因为PC<PB’+B‘C,PC-PB’<B‘C,而
B’C=AC-AB’=AC-AB,所以PC-PB<AC-ABAPD
16.已知∠ABC=3∠C，∠1=∠2，BE⊥AE，求证：
AC-AB=2BE
证明：
∠BAC=180-（∠ABC+∠C=180-4∠C
∠1=∠BAC/2=90-2∠C
∠ABE=90-∠1=2∠C
延长BE交AC于F
因为，∠1=∠2，BE⊥AE
所以，△ABF是等腰三角形
AB=AF,BF=2BE∠FBC=∠ABC-∠ABE=3∠C-2∠C=∠CBF=CFAC-AB=AC-AF=CF=BF=2BE
17.已知，E是AB中点，AF=BD，BD=5，AC=7，求DC
C
证明：
作AG∥BD交DE延长线于G
AGE全等BDE
AG=BD=5AGF∽CDF
AF=AG=5
所以DC=CF=2
18．（5分）如图，在△ABC中，BD=DC，∠1=∠2，求证：
AD⊥BC．
证明：
延长AD至H交BC于H;BD=DC;
所以:
∠DBC=∠角DCB;∠1=∠2;
∠DBC+∠1=∠角DCB+∠2;∠ABC=∠ACB;
所以:
AB=AC;
三角形ABD全等于三角形ACD;
∠BAD=∠CAD;AD是等腰三角形的顶角平分线所以:
AD垂直BC
19．如图，OM平分∠POQ，MA⊥OP,MB⊥OQ，A、B为垂足，AB交OM于点N．
求证：
∠OAB=∠OBA
证明：
因为AOM与MOB都为直角三角形、共用OM，且∠MOA=∠MOB
所以MA=MB所以∠MAB=∠MBA
因为∠OAM=∠OBM=90度
所以∠OAB=90-∠MAB∠OBA=90-∠MBA所以∠OAB=∠OBA
20．如图，已知AD∥BC，∠PAB的平分线与∠CBA的平分线相交于E，CE的连线交AP
于D．求证：
AD+BC=AB．
证明：
做BE的延长线，与AP相交于F点，
∵PA//BC∴∠PAB+∠CBA=180°，
E又∵，AE，BE均为∠PAB和∠CBA的角平分线P
D
AB
∴∠EAB+∠EBA=90°∴∠AEB=90°，EAB为直角三角形在三角形ABF中，AE⊥BF，且AE为∠FAB的角平分线
∴三角形FAB为等腰三角形，AB=AF,BE=EF在三角形DEF与三角形BEC中，
∠EBC=∠DFE,且BE=EF，∠DEF=∠CEB，∴三角形DEF与三角形BEC为全等三角形，∴DF=BC∴AB=AF=AD+DF=AD+BC
21．如图，△ABC中，AD是∠CAB的平分线，且AB=AC+CD，求证：
∠C=2∠B
A
CDB证明：
在AB上找点E，使AE=AC∵AE=AC，∠EAD=∠CAD，AD=AD∴△ADE≌△ADC。
DE=CD，∠AED=∠C∵AB=AC+CD，∴DE=CD=AB-AC=AB-AE=BE∠B=∠EDB∠C=∠B+∠EDB=2∠B
22．如图①，E、F分别为线段AC上的两个动点，且DE⊥AC于E，BF⊥AC于F，若AB=CD，AF=CE，BD交AC于点M．
（1）求证：
MB=MD，ME=MF
（2）当E、F两点移动到如图②的位置时，其余条件不变，上述结论能否成立？
若成立请给予证明；若不成立请说明理由．
E
B分析：
通过证明两个直角三角形全等，即Rt△DEC≌Rt△BFA以及垂线的性质得出四边形BEDF是平行四边形．再根据平行四边形的性质得出结论．解答：
解：
（1）连接BE，DF．∵DE⊥AC于E，BF⊥AC于F，，∴∠DEC=∠BFA=90°，DE∥BF，在Rt△DEC和Rt△BFA中，∵AF=CE，AB=CD，∴Rt△DEC≌Rt△BFA，∴DE=BF．∴四边形BEDF是平行四边形．∴MB=MD，ME=MF；
（2）连接BE，DF．∵DE⊥AC于E，BF⊥AC于F，，∴∠DEC=∠BFA=90°，DE∥BF，在Rt△DEC和Rt△BFA中，∵AF=CE，AB=CD，∴Rt△DEC≌Rt△BFA，∴DE=BF．∴四边形BEDF是平行四边形．∴MB=MD，ME=MF．23．已知：
如图，DC∥AB，且DC=AE，E为AB的中点，
（1）求证：
△AED≌△EBC．
（2）观看图前，在不添辅助线的情况下，除△EBC外，请再写出两个与△AED的面积相等的三角形．（直接写出结果，不要求证明）：
ADC
证明：
（1）DC∥AE，且DC=AE，所以四边形AECD是平行四边形。
于是知AD=EC，且∠EAD=∠BEC。
由AE=BE，所以△AED≌△EBC。
（2）△AEC、△ACD、△ECD都面积相等。
24．如图，△ABC中，∠BAC=90度，AB=AC，BD是∠ABC的平分线，BD的延长线垂直于过C点的直线于E，直线CE交BA的延长线于F．
F
A
ED
BC
求证：
BD=2CE．
证明：
延长BA、CE，两线相交于点F∵BE⊥CE∴∠BEF=∠BEC=90°在△BEF和△BEC中∠FBE=∠CBE,BE=BE,∠BEF=∠BEC∴△BEF≌△BEC（ASA）∴EF=EC∴CF=2CE∵∠ABD+∠ADB=90°,∠ACF+∠CDE=90°又∵∠ADB=∠CDE∴∠ABD=∠ACF在△ABD和△ACF中∠ABD=∠ACF,AB=AC,∠BAD=∠CAF=90°∴△ABD≌△ACF（ASA）∴BD=CF∴BD=2CE
25、如图：
DF=CE，AD=BC，∠D=∠C。
求证：
△AED≌△BFC。
A
B
A
D
EF
C
26、如图：
AE、BC交于点M，F点在AM上，BE∥CF，BE=CF。
求证：
AM是△ABC的中线。
证明：
∵BE‖CF∴∠E=∠CFM，
B
F
∠EBM=∠FCM∵BE=CF∴△BEM≌△CFM
∴BM=CM∴AM是△ABC的中线.
E
M
C
27、如图：
在△ABC中，BA=BC，D是AC的中点。
求证：
BD⊥AC。
AADB和证明：
三角形ABD和三角形BCD的三条边都相等，它们全等，所以角
角CDB相等，它们的和是180度，所以都是90度，BD垂直
28、AB=AC，DB=DC，F是AD的延长线上的一点。
求证：
BF=CF
证明：
在△ABD与△ACD中AB=ACBD=DCAD=AD
D
B
A
DC
B
C
F
∴△ABD≌△ACD∴∠ADB=∠ADC∴∠BDF=∠FDC在△BDF与△FDC中
BD=DC∠BDF=∠FDCDF=DF∴△FBD≌△FCD∴BF=FC
29、如图：
AB=CD，AE=DF，CE=FB。
求证：
AF=DE。
AB
F
证明：
因为AB=DCAE=DF,CE=FB
CE+EF=EF+FB所以三角形ABE=三角形
CDF因为角DCB=角ABFAB=DCCEBF=CE三角形ABF=三角形CDE所以AF=DE
30.公园里有一条“Z”字形道路ABCD，如图所示，其中AB∥CD，在AB，CD，BC三段路旁各有一只小石凳E，F，M，且BE＝CF，M在BC的中点，试说明三只石凳E，F，M恰好在一条直线上.
证明：
∵AB平行CD（已知）∴∠B=∠C（两直线平行，BE=CF（已知）∠B=∠C（已证）EM=FM（已证）∴△BME全等与△CMF（SAS）∴∠EMB=∠FMC（全等三角形的对应角相等）
∴∠EMF=∠EMB+∠BMF=∠FMC+∠BMF=∠BMC=180°（等式的性质）∴E，M，F在同一直线上
31．已知：
点A、F、E、C在同一条直线上，AF＝CE，
BE∥DF，BE＝DF．求证：
△ABE≌△CDF．
证明：
∵AF=CE∴AF+EF=CE+EF∴AE=CF∵BE//DF∴
∠BEA=∠DFC又∵BE=DF∴⊿ABE≌⊿CDF
（SAS）
32.已知：
如图所示，AB＝AD，BC＝DC，E、F分别是DC、BC的中点，求证：
AE＝AF。
证明：
连结BD，得到等腰三角形ABD和等腰三角
形BDC，由等腰△两底角相等得：
角ABC=角ADC在结合已知条件证得：
△ADE≌△ABF得AE=AF
33．如图，在四边形ABCD中，E是AC上的一点，∠1=∠2，∠3=∠4，求证:
∠5=∠6．
证明：
因为角1=角2∠3=∠4所以角ADC=角
ABC.又因为AC是公共边，所以AAS==>三角形
ADC全等于三角形ABC.所以BC等于DC，角3
等于角4,EC=EC三角形DEC全等于三角形BEC
所以∠5=∠6
AC
34．已知AB∥DE，BC∥EF，D，C在AF上，且AD＝CF，求证：
△ABC≌△DEF．
证明：
因为D,C在AF上且AD=CF所以
AC=DF又因为AB平行DE，BC平行EF所以
角A+角EDF，角BCA=角F（两直线平行，所以∠EBC=∠DCB
因为BD⊥AC，CE⊥AB所以∠BEC=∠CDB
BC=CB（公共边）则有三角形EBC全等于三角形
DCB所以BE＝CDBEA
36、如图，在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，DF⊥
AC于F。
求证：
DE=DF．
解析：
（AAS）证△ＡＤＥ≌△ADF
37.已知：
如图,ACBC于C,DEAC于E,ADAB于A,BC=AE．若AB=5,求AD的长？
证明：
角C=角E=90度角B=角EAD=90度-角BACBC=AE△ABC≌△DAEAD=AB=5
A
38．如图：
AB=AC，ME⊥AB，MF⊥AC，垂足分别为E、F，ME=MF。
求证：
MB=MC证明：
∵AB=AC
∴△ABC是等腰三角形∴∠B=∠C
又∵ME=MF，△BEM和△CEM是直角三角形∴△BEM全等于△CEM∴MB=MC
C
39.如图，给出五个等量关系：
①②③④⑤．请你以其中两个为条件，另三个中的一个为结论，推出一个正确的结论（只需写出一种情况），并加以证明．已知：
求证：
B
证明：
已知1,2求证4因为AD=BCAC=BD，在四边形ADBC中，连AB所以△ADB全等于△BCA所以角D=角C
以4,5为条件，1为结论。
即：
在四边形ABCD中，∠D=∠C，∠A=∠B，求
证明：
AD=BC因为∠A+∠B+∠C+∠D=360∠D=∠C，∠A=∠B，所以2（∠A+∠D）=360°，∠A+∠D=180°，所以AB//DC
40．在△ABC中，，，直线经过点，且于，于.
（1）当直线绕点旋转到图1的位置时，求证：
①≌；②；
（2）当直线绕点旋转到图2的位置时，
（1）中的结论还成立吗？
若成立，请给出证明；若不成立，说明理由.
（1）证明：
∵∠ACB=90°，∴∠ACD+∠BCE=90°，而AD⊥MN于D，BE⊥MN于E，∴∠ADC=∠CEB=90°，∠BCE+∠CBE=90°，∴∠ACD=∠CBE．在Rt△ADC和Rt△CEB中，{∠ADC=∠CEB∠ACD=∠CBEAC=CB，
∴Rt△ADC≌Rt△CEB（AAS），∴AD=CE，DC=BE，∴DE=DC+CE=BE+AD；
（2）不成立，证明：
在△ADC和△CEB中，{∠ADC=∠CEB=90°∠ACD=∠CBEAC=CB，∴△ADC≌△CEB（AAS），∴AD=CE，DC=BE，
∴DE=CE-CD=AD-BE；
41．如图所示，已知AE⊥AB，AF⊥AC，AE=AB，AF=AC。
求证：
（1）EC=BF；
（2）EC⊥BF
（1）证明;因为AE垂直AB所以角EAB=角EAC+
角CAB=90度因为AF垂直AC所以角CAF=角EC
CAB+角BAF=90度所以角EAC=角BAF因为AE=ABAF=AC所以三角形EAC和三角形FAB全等所以EC=BF角ECA=角F
（2）延长FB与EC的延长线交于点G因为角ECA=角F（已证）所以角G=角CAF因为角CAF=90度所以EC垂直BF
42．如图：
BE⊥AC，CF⊥AB，BM=AC，CN=AB。
求证：
（1）AM=AN；
（2）AM⊥AN。
证明：
（1）∵BE⊥AC，CF⊥AB∴∠ABM+∠BAC=90°，∠ACN+∠BAC=90°∴∠ABM=∠ACN∵BM=AC，CN=AB∴△ABM≌△NAC∴AM=AN
（2）∵△ABM≌△NAC∴∠BAM=∠N∵∠N+∠BAN=90°∴∠BAM+∠BAN=90°即∠MAN=90°∴AM⊥AN
43．如图,已知∠A=∠D,AB=DE,AF=CD,BC=EF.求证:
BC∥EF
连接BF、CE，
证明：
△ABF全等于△DEC（SAS），
然后通过四边形BCEF对边相等的证得平行四边形
BCEF
从而求得BC平行于EF
44．如图,已知AC∥BD，EA、EB分别平分∠CAB和∠DBA，CD过点E，则AB与AC+BD相等吗？
请说明理由
证明：
在AB上取点N,使得AN=AC
∠CAE=∠EAN,AE为公共边,所以三角形CAE全等
三角形EAN
所以∠ANE=∠ACE又AC平行BD
所以∠ACE+∠BDE=180而∠ANE+∠ENB=180
所以∠ENB=∠BDE∠NBE=∠EBNBE为公共边,
所以三角形EBN全等三角形EBD
所以BD=BN所以AB=AN+BN=AC+BD
45、如图,已知:
AD是BC上的中线,且DF=DE．求证:
BE∥CF．
证明：
∵AD是中线∴BD=CD∵DF=DE，
∠BDE=∠CDF∴△BDE≌△CDF∴∠BED=∠CFD∴BE‖CF
46、已知：
如图，AB＝CD，DE⊥AC，BF⊥AC，E，F是垂足，．求证：
．证明：
∵DE⊥AC，BF⊥AC，∴∠DEC=∠AFB=90°，D
在Rt△DEC和Rt△BFA中，DE=BF，AB=CD，
∴Rt△DEC≌Rt△BFA，∴∠C=∠A，∴AB∥CD．
D
C
B
47、如图，已知∠1=∠2，∠3=∠4，求证：
AB=CD
A
4
C
B
48、如图，已知AC⊥AB，DB⊥AB，AC＝BE，AE＝BD，试猜想线段CE与DE的大小与位置关系，并证明你的结论.结论：
CE>DE。
当∠AEB越小，则DE越小。
证明：
过D作AE平行线与AC交于F，连接FB由已知条件知AFDE为平行四边形，ABEC为矩形，且△DFB为等腰三角形。
RT△BAE
E中，∠AEB为锐角，即∠AEB<90°∵DF//AE∴∠FDB=∠AEB<90°△DFB中∠DFB=∠DBF=（180°-∠FDB）/2>45°RT△AFB中，∠FBA=90°-∠DBF<45°∠AFB=90°-∠FBA>45°∴AB>AF∵AB=CEAF=DE∴CE>DE
49、如图，已知AB＝DC，AC＝DB，BE＝CE，求证：
AE＝DE.解析：
先证明△ABC≌△BDC的出角ABC=角DCB在证明△ABE≌△DCE得出AE=DE
50．如图9所示，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，AD是BC边上的中线，过C作AD的垂线，交AB于点E，交AD于点F，求证：
∠ADC＝∠BDE．证明：
作CG平分∠ACB交AD于
G∵∠ACB=90°∴∠ACG=∠DCG=45°∵∠ACB=90°
BAC=BC∴∠B=∠BAC=45°∴∠B=∠DCG=∠ACGE∵CF⊥AD∴∠ACF+∠DCF=90°图9
∵∠ACF+∠CAF=90°∴∠CAF=∠DCF∵AC=CB
∠ACG=∠B∴△ACG≌△CBE∴CG=BE∵∠DCG=∠B
CD=BD∴△CDG≌△BDE∴∠ADC=∠BDE
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