知识讲解条件概率事件的相互独立性理基础.docx
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知识讲解条件概率事件的相互独立性理基础
条件概率事件的相互独立性
【学习目标】
1．了解条件概率的概念和概率的乘法公式．
2．能运用条件概率解决一些简单的实际问题．
3．了解两个事件相互独立的概念，会判断两个事件是否为相互独立事件．
4．能运用相互独立事件的概率解决一些简单的实际问题．
【要点梳理】
要点一、条件概率的概念
1.定义
设A、B为两个事件，且P（A）0，在已知事件A发生的条件下，事件B发生的概率叫做条件概率。
用符号P（B|A）表示。
P（B|A）读作：
A发生的条件下B发生的概率。
要点诠释
在条件概率的定义中，事件A在“事件B已发生”这个附加条件下的概率与没有这个附加条件的概率是
不同的，应该说，每一个随机试验都是在一定条件下进行的．而这里所说的条件概率，则是当试验结果的
一部分信息已知，求另一事件在此条件下发生的概率．
2．P（A｜B）、P（AB）、P（B）的区别
P（A｜B）是在事件B发生的条件下，事件A发生的概率。
P（AB）是事件A与事件B同时发生的概率，无附加条件。
P（B）是事件B发生的概率，无附加条件．
它们的联系是：
P（A|B）
P（AB）．
P（B）
要点诠释
一般说来，对于概率P（A|B）与概率P（A），它们都以基本事件空间
Ω为总样本，但它们取概率的前提是
不相同的。
概率P（A）是指在整个基本事件空间
Ω的条件下事件A发生的可能性大小，而条件概率
P（A|B）
是指在事件B发生的条件下，事件A发生的可能性大小。
例如，盒中球的个数如下表。
从中任取一球，记
A=“取得篮球”，B=“取得玻璃球”。
基本事件空间
Ω包
含的样本点总数为16，事件A包含的样本点总数为11，故P（A）
11
。
16
玻璃
木质
总计
红
2
3
5
蓝
4
7
11
总计
6
10
16
如果已知取得玻璃球的条件下取得篮球的概率就是事件
B发生的条件下事件A发生的条件概率，那么
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在事件B发生的条件下可能取得的样本点总数应为“玻璃球的总数”，即把样本空间压缩到玻璃球全体。
而
在事件B发生的条件下事件
A包含的样本点数为蓝玻璃球数，故
4
2
P（A|B）
。
6
3
要点二、条件概率的公式
1．计算事件B发生的条件下事件A发生的条件概率，常有以下两种方式：
①利用定义计算．
先分别计算概率P（AB）及P（B），然后借助于条件概率公式P（A|B）
P（AB）
求解．
P（B）
②利用缩小样本空间的观点计算．
在这里，原来的样本空间缩小为已知的条件事件
B，原来的事件
A缩小为事件
AB，从而
AB包含的基本事件数
，即：
P（B|A）
n（AB）
P（A|B）
，此法常应用于古典概型中的条件概率
B包含的基本事件数
n（A）
求解．
要点诠释
概率P（B|A）与P（AB）的联系与区别：
联系：
事件A，B都发生了。
区别：
①在P（B|A）中，事件A，B发生有时间上的差异，事件A先发生事件B后发生；在P（AB）中，事件A，
B同时发生；
②基本事件空间不同在P（B|A）中，事件A成为基本事件空间；在P（AB）中，基本事件空间仍为原基本
事件空间。
2．条件概率公式的变形．
公式P（A|B）
P（AB）
P（B）、P（A｜B）、P（AB）的关系，常常用于知二求一，即要熟练
揭示了
P（B）
应用它的变形公式如，若P（B）＞0，则P（AB）=P（B）·P（A｜B），该式称为概率的乘法公式．
要点诠释
条件概率也是概率，所以条件概率具有概率的性质．如：
①任何事件的条件概率取值在0到1之间；
②必然事件的条件概率为1，不可能事件的条件概率为
0；
③条件概率也有加法公式：
P（B∪C｜A）=P（B｜A）+P（C｜A），
其中B和C是两个互斥事件．
要点三、相互独立事件
1.定义：
事件A（或B）是否发生对事件B（或A）发生的概率没有影响，即P（B|A）P（B），这样的两个事
件叫做相互独立事件。
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若A与B是相互独立事件，则A与B，A与B，A与B也相互独立。
2．相互独立事件同时发生的概率公式：
对于事件A和事件B，用AB表示事件A、B同时发生。
（1）若A与B是相互独立事件，则P（AB）P（A）P（B）；
（2）若事件A1,A2,,An相互独立，那么这n个事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积，
即：
P（A1A2An）P（A1）P（A2）P（An）。
要点诠释
（1）P（AB）=P（A）P（B）使用的前提是A、B为相互独立事件，也就是说，只有相互独立的两个事件同时发生的概率，才等于每个事件发生的概率的积．
（2）两个事件A、B相互独立事件的充要条件是P（AB）P（A）P（B）。
3．相互独立事件与互斥事件的比较
互斥事件与相互独立事件是两个不同的概念，它们之间没有直接关系。
互斥事件是指两个事件不可能同时发生，而相互独立事件是指一个事件是否发生对另一个事件发生的概率没有影响。
一般地，两个事件不可能既互斥又相互独立，因为互斥事件是不可能同时发生的，而相互独立事件是
以它们能够同时发生为前提的。
相互独立事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的积,这一点与互斥事件的概率和也是不同的。
4.几种事件的概率公式的比较
已知两个事件
A，B，它们发生的概率为P（A），P（B），将A，B中至少有一个发生记为事件
A+B，都发
生记为事件
A·B，都不发生记为事件AB，恰有一个发生记为事件
ABAB，至多有一个发生记为事
件ABAB
AB，则它们的概率间的关系如下表所示：
概率
A，B互斥
A，B相互独立
P（A+B）
P（A）+P（B）
1P（A）P（B）
P（A·B）
0
P（A）·P（B）
P（AB）
1－[P（A）+P（B）]
P（A）
P（B）
P（AB
AB）
P（A）+P（B）
P（A）
P（B）P（A）P（B）
P（AB
ABAB）
1
1－P（A）·P（B）
【典型例题】
类型一、条件概率
例1．甲、乙两地都位于长江下游，根据一百多年的气象记录，知道甲、乙两地一年中雨天占的比例分别
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为20％和18％，两地同时下雨的比例为12％，问：
（1）乙地为雨天时，甲地也为雨天的概率为多少？
（2）甲地为雨天时，乙地也为雨天的概率为多少？
【思路点拨】
（1）在乙地为雨天的事情业已发生的情况下，求甲地也下雨的概率，为典型的条件概率问题。
【解析】设A表示“甲地为雨天”，B表示“乙地为雨天”，则根据题意有
P（A）=0.20，P（B）=0.18，
P（AB）=0.12．
P（AB）0.12
（1）P（A|B）
0.67；
P（B）
0.18
P（AB）0.12
（2）P（B|A）
0.60．
P（A）
0.20
【总结升华】这类条件概率的应用问题，首先分清一前一后两事件的发生，前面的事件对后面的事件的发
生有没有影响。
若没有影响，就是无条件概率；若有影响，就是条件概率，然后根据相应的公式计算即可。
举一反三：
【变式1】甲、乙两名推销员推销某种产品，
据以往经验，两人在一天内卖出一份产品的概率分别为
3和
5
7，两人在一天内都卖出一份产品的概率为
1，问：
10
2
（1）在一天内甲先卖出一份产品乙后卖出一份产品的概率是多少？
（2）在一天内乙先卖出一份产品甲后卖出一份产品的概率是多少？
【答案】
事件A=“甲在一天内卖出一份产品”，事件B=“乙在一天内卖出一份产品”，
因为两人在一天内卖出一份产品的概率分别为
3和7
，两人在一天内都卖出一份产品的概率为
1，
5
10
2
所以P（A）
3
7
1
，P（B）
，P（AB）
。
5
10
2
（1）因为“在一天内甲先卖出一份产品乙后卖出一份产品
”这一事件是甲在一天内卖出一份产品后，
乙
P（AB）
1
5
卖出一份产品，所以由条件概率公式，可得
2
P（B|A）
3
；
P（A）
6
5
（2）因为“在一天内乙先卖出一份产品甲后卖出一份产品”这一事件是乙在一天内卖出一份产品后，甲
P（AB）
1
5
卖出一份产品，所以由条件概率公式，可得
2
P（A|B）
7
。
P（B）
7
10
【变式2】若P（A）
3
1
）
，P（B|A）
，则P（AB）等于（
4
2
2
3
C．
1
5
A．
B．
D．
8
3
8
3
【答案】B
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P（AB）P（A）
P（B|A）
3
1
3
。
4
2
8
【变式3】一个盒子中装有
6只好晶体管和
4只坏晶体管，任取两次，每次取
1只，第一次取后不放
回，若第一次取到的是好的，则第二次也取到好的概率为（
）
A．3
B．1
C．5
D．4
5
3
9
9
【答案】C
设A=“第i次取到好的晶体管
”（i
=1，2）。
i
因为P（A1）
6
3，P（A1A2）
65
1，
10
5
10
9
3
所以P（A2|A1）
P（A1A2）5。
P（A1）
9
例2．5道题中有3道理科题和2道文科题，如果不放回地依次抽取2道题，求：
（1）第1次抽到理科题的概率；
（2）第1次和第2次都抽到理科题的概率；
（3）在第1次抽到理科题的条件下，第2次抽到理科题概率
【思路点拨】
本题考查古典概型、条件概率．
（1）和
（2）中利用P
m
解决，（3）利用条件概率公
n
式解决．
【解析】设“第1次抽到理科题”为事件A，“第2次抽到理科题”为事件B，则“第1次和第2次都抽到理科题”为事件AB．
A31A41
12
3
（1）P（A）
A52
20
．
5
（2）P（AB）
A32
6
3
A52
20
．
10
P（AB）
3
1
（3）P（B|A）
10
P（A）
3
．
2
5
【总结升华】
（1）求条件概率
P（B|A）的关键就是要抓住事件
A作为条件和事件
A与B同时发生这两件事，然后
具体问题具体对待。
（2）本题第（3）问可用下面的方法求解：
用n（A）表示事件A中包含的基本事件个数，则n（A）=12，n（AB）=6，
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n（AB）
6
1
故P（B|A）
12
．
n（A）
2
举一反三：
【变式1】某学校一年级共有学生
100名，其中男生
60人，女生
40人；来自北京的有
20人，其中男生
12人，若任选一人是女生，问该女生来自北京的概率是多少？
【答案】用A表示“任选一人是女生”，B表示“任选一人来自北京”，依题意知北京的学生有8
名女生，这
是一个条件概率问题，即计算
P（B｜A）．
40
8
由于P（A）
，P（AB）
，
100
100
P（AB）
8
1
100
∴P（B|A）
P（A）
40
．
5
100
【变式
2】在10支铅笔中，有8支正品，2支次品，若从中任取2支，则在第1次取到的是次品的条件下，
第二次取到正品的概率是（
）
A．
1
8
8
4
B．
C．
D．
5
45
9
5
【答案】C
利用缩小样本空间的方法求解。
因为第一次取到
1支次品，还剩
9支铅笔，其中有
8支正品，
所以第二次取正品的概率是
8。
9
【变式
3】盒中装有
5件产品，其中
3件一等品，2件二等品，从中不放回地抽取产品，每次抽取
1件，
求：
（1）取两次，两次都取得一等品的概率；
（2）取两次，第二次取得一等品的概率；
（3）取两次，已知第二次取得一等品，第一次取得的是二等品的概率。
【答案】事件Ai为“第i次取到一等品”，其中i=1，2，
（1）取两次，两次都取得一等品的概率为
P（A1A2）P（A1）P（A2|A1）
3
2
3
5
4
；
10
（2
）取两次，第二次取得一等品的概率，即第一次有可能取到一等品，也有可能取到二等品，
可得P（A2）
P（A1A2
A1A2）
P（A1A2）P（A1A2）
2
3
3
2
3
5
4
5
4
；
5
（3
）取两次，已知第二次取得一等品，第一次取得的是二等品的概率，
P（A1A2）
2
3
1
即P（A1|A2）
5
4
P（A2）
3
。
2
5
例3.1
号箱中有
2个白球和
4个红球，2号箱中有
5个白球和
3个红球，现随机地从
1号箱中取出一球
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放入2号箱，然后从2号箱随机取出一球，问从
2号箱取出红球的概率是多少？
【思路点拨】
从2
号箱取出红球，有两种互斥的情况：
一是当从
1号箱取出红球时；二是当从
1号箱
取出白球时．
【解析】
记事件A：
从2号箱中取出的是红球；事件
B：
从1号箱中取出的是红球．
则P（B）
4
4
2，P（B）1P（B）
1，
2
3
3
P（A|B）
314，P（A|B）
8
3
1，
8
1
9
1
3
从而P（A）
P（AB）P（AB）
P（A|B）P（B）
P（A|B）P（B）
4
2
1
1
11
9
3
3
3
．
27
【总结升华】求复杂事件的概率，可以把它分解为若干个互不相容的简单事件，然后利用条件概率公式和乘法公式，求出这些简单事件的概率，最后利用概率的加法公式，得到最终结果．
举一反三：
【变式】一个口袋内装有2个白球和2个黑球，那么：
（1）先摸出一个白球不放回，再摸出—个白球的概率是多少？
（2）先摸出一个白球后放回，再摸出一个白球的概率是多少？
【答案】
（1）设“先摸出一个白球不放回”为事件A，“再摸出一个白球”为事件B，则“先后两次摸到白球”为事件AB，
∴P（A）
1
1
1
1
，P（AB）
2
3
．
2
6
P（AB）
1
1
6
∴P（B|A）
1
．
P（A）
3
2
（2）设“先摸出一个白球放回
”为事件A1，“再摸出一个白球”为事件
B1，则“两次都摸到白球”为事件
A1B1，
∴P（A1）
1
1
，P（A1B1）
4
．
2
P（A1B1）
1
1
4
．
∴P（B1|A1）
1
2
P（A1）
2
综合
（1）
（2）所述，先摸出一个白球不放回，再摸出一个白球的概率为
1；先摸出一个白球后放回，
3
再摸出一个白球的概率为1．
2
类型二、相互独立事件
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例4.容器中盛有5个白乒乓球和3个黄乒乓球．
（1）“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”与“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的还是白球”这两个事件是否相互独立？
为什么？
（2）“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”与“把取出的1个白球放回容器，再从容器中任意取出1个，取出的是黄球”这两个事件是否相互独立？
为什么？
【思路点拨】从相互独立事件的定义入手．
【解析】
（1）“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”的概率为5，若这一事件发生了，则“从剩
8
下的7
个球中任意取出1个，取出的仍是白球”的概率为4；若前一事件没有发生，则后一事件发生的概
率为5
7
．可见，前一事件是否发生，对后一事件发生的概率有影响，所以二者不是相互独立事件．
7
（2）由于把取出的白球放回容器，故对“从中任意取出1个，取出的是黄球”的概率没有影响，所以二
者是相互独立事件．
【总结升华】判断两事件是否相互独立的方法有：
（1）通过计算P（B|A）=P（B）可以判断两个事件相互独立：
（2）通过验证P（AB）=P（A）P（B）也可以判断两个事件相互独立．举一反三：
【变式】判断下列各对事件是互斥事件还是相互独立事件．
（1）运动员甲射击1次，“射中9环”与“射中8环”；
（2）甲、乙两运动员各射击1次，“甲射中10环”与“乙射中9环”：
（3）甲、乙两运动员各射击1次，“甲、乙都射中目标”与“甲、乙都没有射中目标”；
（4）甲、乙两运动员各射击1次，“至少有1人射中目标”与“甲射中目标，但乙没有射中目标”．【答案】
（1）甲射击1次，“射中9环”与“射中8环”这两个事件不可能同时发生，二者是互斥事件．
（2）甲、乙各射击1次，“甲射中10环”发生与否对“乙射中9环”的概率没有影响，二者为相互独立
事件．
（3）甲、乙各射击1次，“甲、乙都射中目标”与“甲、乙都没有射中目标”不可能同时发生，二者是互斥事件．
（4）甲、乙各射击1次，“至少有1人射中目标”与“甲射中目标，但乙没有射中目标”可能同时发生，
二者构不成互斥事件，但也不可能是相互独立事件．
例5.甲、乙各
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