二维福利叶变换图像处理技术.docx

二维福利叶变换图像处理技术.docx

《二维福利叶变换图像处理技术.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《二维福利叶变换图像处理技术.docx（25页珍藏版）》请在冰点文库上搜索。

二维福利叶变换图像处理技术

第1章基于二维傅里叶变换的图像处理技术

1.1二维傅里叶变化基础

假如以正方形网格采样得到的数字图像用f（x,y）表示，由一维傅里叶变换的定义可以得到f（x,y）的二维傅里叶变换为：

其反变换为：

1.2傅里叶变换的性质

1．分离性：

2．平移性

3．周期性

4．共轭对称性

5．旋转性

6．分配性和比例性

1.3matlab中二维傅里叶变换的函数以及应用

在MATLAB中，用来实现数字图像傅里叶变换用到的函数主要有fft2函数和fftshift函数。

前者用来实现数字信号的二维离散傅里叶变换，后者用来将傅里叶变换的零频率部分移到频谱的中间。

fft2函数的语法格式如下：

Y=fft2（X）

Y=fft2（X,m,n）

fftshift函数的语法格式如下：

Y=fftshift（X）

Y=fftshift（X,dim）

例：

制作64*64大小的简单黑白二值图像用Matlab的imread函数读

取并做二维DFT变换

代码：

clear

%?

?

256*256?

?

?

?

?

f=zeros（256,256）?

f（124:

130,117:

137）=1?

%?

?

?

?

?

?

figure

（1）?

imshow（f）?

title（'?

?

?

?

'）?

%?

?

?

?

?

F=fft2（f）?

%?

?

?

?

?

F2=fftshift（abs（F））?

%?

?

?

?

figure

（2）?

x=1:

256?

y=1:

256?

mesh（x,y,F2（x,y））?

colormap（jet）?

colorbar

title（'?

?

?

?

?

?

?

'）?

图1-1a）

图1-1b）

结果分析：

从变换结果图1-1b）可以看出，图像的能量主要集中在某一频率段，如果将系数较小的部分舍去，即可实现图像的压缩。

例：

更改DFT系数为整数，做IDFT观察图像的变化；

%将DFT系数的绝对值四舍五入后作为新的dft系数

F1=round（abs（F））。

f2=ifft2（F1）。

figure（3）。

imshow（f2）。

实验结果：

图1-2a）

实验结论：

可见图像无法还原到最初。

例：

更改小幅值的DFT系数为0，做IDFT变化观察图像的变化：

%将绝对值小于a的都改为零，在做IDFT变换：

%取a=1；

F（abs（F）<1）=0。

f2=ifft2（F）。

figure（4）。

imshow（f2）。

实验结果：

图1-3a）

结果分析：

在执行二维离散傅里叶变换过程中，只取离散傅里叶变换系数大于1的系数，所示的反变换结果如图1-3c）和原图像1-1a）比较，通过肉眼观测，很难看出两者的区别，如果将系数小于100的值设为0，反变换得到的结果如图1-3d）所示，图像的清晰度越来越低，图像质量越来越差。

F（abs（F）<100）=0。

f2=ifft2（F）。

figure（4）。

imshow（f2）。

图1-3d）

例：

选取不同类型（自然景观、人物照片、卡通图片）的实际图片重复上述处理并分析结果

用下面这幅图进行分析：

代码：

f=imread（'e:

/26794054.jpg'）。

figure

（1）。

imshow（f）。

F=fft2（f）。

figure

（2）。

f1=ifft2（F）。

imshow（f1）。

图1-4

结果分析：

可见图像已经发生严重失真。

例：

将彩色图像转换为黑白二值图像之后才能进行二维傅里叶变换

这里我们取阈值为0.5

代码：

f=imread（'e:

/26794054.jpg'）?

f1=im2bw（f,0.5）?

figure

（1）?

imshow（f1）?

title（'?

?

?

?

'）?

F=fft2（f1）?

%?

F?

?

?

?

?

?

F1=ceil（real（F））?

f2=ifft2（F1）?

figure

（2）?

imshow（f2）?

%?

DFT?

?

?

?

?

?

?

?

?

F（abs（F）<10）=0?

f3=ifft2（F）?

figure（3）?

imshow（f3）?

实验结果：

图1-5a）

图1-5b）图1-5c）

结果分析：

可见如果要压缩彩图，不可能保留其颜色信息，只有将其先转换为黑白二值图像之后才能进行压缩，这样至少图像基本形状信息不会缺失。

第2章基于离散余弦变换的图像压缩技术

2.1离散余弦变换基础

一维离散余弦变换和其反变换定义如下：

式中

二维离散余弦变换和反变换的公式为：

2.2Matlab实例操作

1、dct2函数

利用该函数可以实现数字图像的二维离散余弦变换，该函数使用了一个基于FFT的算法，提高了较大矩阵时的处理速度。

其语法格式为：

B=dct2（A）

B=dct2（A,m,n）

B=dct2（A,[mn]）

例：

对D:

\matlab\girl.jpg进行离散余弦变换：

代码：

clearall

%读入图像并显示

RGB=imread（'D:

\matlab\girl.jpg'）。

figure

（1）。

imshow（RGB）。

title（'原始图像'）。

%将真彩图像转换为灰度图像

A=rgb2gray（RGB）。

%实现离散余弦变换

B=dct2（A）。

%结果显示

figure

（2）。

imshow（log（abs（B））,[]）,colormap（jet（64））,colorbar

title（'离散余弦变换结果'）。

实验结果：

图2-1a）图2-1b）

图2-1c）

结果分析：

从图2-1b）所示的变化结果及图2-1c）所示的变化系数可以看出，经过离散余弦变换，图像的能量主要集中在图像2-1b）的左上角，其余大部分系数接近于0，这说明离散余弦变换也可用于图像的压缩。

2.、idct2函数

MATLAB中，可以用函数Idct2实现离散余弦反变换，其语法格式为：

B=idct2（A）

B=idct2（A,m,n）

B=idct2（A,[mn]）

例：

对D:

\matlab\girl.jpg进行离散余弦变换，在进行反变换之前，将系数小于10的值设为0,再进行反变换

代码：

clearall

%读入图像并转换为灰度图像

RGB=imread（'D:

\matlab\girl.jpg'）。

A=rgb2gray（RGB）。

%显示图像

figure

（1）。

imshow（A）。

title（'原始图像灰度显示'）。

%离散余弦变换并显示结果

B=dct2（A）。

figure

（2）。

imshow（log（abs（B））,[]）,colormap（jet（64））,colorbar

title（'离散余弦变换结果图像'）。

%将变换系数中小于10的值设为0

B（abs（B）<10）=0。

%离散余弦反变换并显示结果

K=idct2（B）。

figure（3）。

imshow（K,[0255]）。

title（'反变换图像'）。

实验结果：

图2-2a）图2-2b）

图2-2c）

结果分析：

在执行离散余弦变换过程中，只取离散余弦变换系数大于10的系数，所示的反变换结果如图2-2c）和原图像2-2a）比较，通过肉眼观测，很难看出两者的区别，如果将系数小于50和小于100的值设为0，反变换得到的结果如图2-2d）和2-2e）所示，图像的清晰度越来越低，图像质量越来越差。

2-2d）2-2e）

2.3JPEG压缩技术：

原理：

1、dctmtx函数

该函数用于计算二维的离散余弦变换矩阵，语法格式如下：

D=dctmtx（n）；D是返回的n*n的矩阵，D*A是矩阵A的每一列离散余弦变换值，D'*A是矩阵A的每一列的离散余弦变换值，如果A是一个方阵，A的二维离散余弦变换可以用D*A*D'计算。

例：

对D:

\matlab\girl.jpg进行JPEG压缩：

代码：

clearall

%读入图像并显示

REG=imread（'D:

\matlab\girl.jpg'）。

I=rgb2gray（REG）。

figure

（1）。

imshow（I）。

title（'原始图像'）。

%图像数据类型转换为double型

I=im2double（I）。

D=dctmtx（8）。

%系数取舍矩阵

mask=[11111000

11110000

11100000

11000000

10000000

00000000

00000000

00000000]。

%DCT变换D->P1。

[88]->x。

D->P2'

Bdct=blkproc（I,[88],'P1*x*P2',D,D'）。

%系数选择

Bch=blkproc（Bdct,[88],'P1.*x',mask）。

%IDCT变换

Bidct=blkproc（Bch,[88],'P1*x*P2',D',D）。

%结果显示

figure

（2）,imshow（Bidct）。

title（'解压图像'）。

实验结果：

2-3a）2-3b）

2-3c）

结果分析：

如图2-3c）所示，尽管在反变换过程中只保留了15/64=23.4%的系数，单反变换图像依然有较好的视觉效果，仔细观察图像可以看出，解压图像边缘线条边缘比较模糊，这说明在压缩过程中抛弃了图像的高频成分，因而图像经过DCT后，其低频分量主要集中在左上角，而高频分量集中在右下角。

第3章基于小波变换的图像压缩

3.1连续小波变换

所有小波是通过对基本小波进行尺度伸缩和位移得到的。

基本小波（也称母小波）是一具有特殊性质的实值函数，它是震荡衰减的，而且通常衰减得很快，在数学上满足零均值条件：

而且，其频谱满足条件（容许条件）：

即基本小波在频域也具有好的衰减性质。

一族小波基函数可以由基本小波函数通过尺度伸缩参数a和位移参数b来产生：

如果函数f（t）属于空间L2（R），则的连续小波变换（CWT）定义为：

CWT的逆变换为：

3.2离散小波变换

令尺度伸缩参数为整数，平移参数从而得到离散的小波函数令尺度伸缩参数,为整数，平移参数，从而得到离散的小波函数：

由此可得离散小波变换为：

在实际应用中，为了使小波变换的计算更加有效，通常构造的小波函数都具有正交性，即

3.3小波变换函数

dwt2函数用来实现单尺度二维离散小波变换

idwt函数用来实现二维小波单尺度逆变换

wavedec2函数用来实现二维信号的多尺度小波分解

waverec2函数用来实现多尺度二维小波重构

dwtmode函数用于设置离散小波变换的延拓模式，延拓模式表示处理边界问题的不同方法

appcoef2函数用来提取二维信号小波分解的近似系数

detcoef2函数用来提取二维信号小波分解的细节系数

wrcoef2函数用与由二维小波系数重构单支

upcoef2函数用于二维小波系数的直接重构

upwlev2函数用于二维小波分解的单尺度重构

wenergy2函数用于计算二维小波分解的能量

wfilters用于设计小波滤波器

3.4用小波变换实现图像压缩：

小波降噪和压缩函数：

wnoise函数用于产生小波的噪声测试数据

wnoisest函数用于估计一维小波系数的标准差

ddencmp函数用于获取降噪或压缩的默认值

wthresh函数用于进行软阈值或硬阈值处理

wdencmp用于一维或二维小波降噪或压缩

wbmpen函数为一维或二维小波降噪的阈值函数

wdcbm为使用Birgé-Massart策略的一维小波阈值函数

wdcbm2为使用Birgé-Massart策略的二维小波阈值函数

thselect函数用于选择降噪阈值

wthcoef2函数是二维小波降噪和压缩的导向函数

wthrmngr函数用于阈值设置管理

图像压缩（保留低频系数法）

对图像小波分解后，可得到一系列不同分辨率的子图像，表征图像最主要的部分是低频部分，高频部分大部分数据均接近于0。

因此，利用小波分解去掉图像的高频部分而仅保留图像的低频部分，是一种最简单的图像数据压缩方法。

例：

对D:

\matlab\girl.jpg用小波变换进行压缩：

代码：

clearall

REG=imread（'D:

\matlab\girl.jpg'）。

X=rgb2gray（REG）。

subplot（2,2,1）。

image（X）。

colormap（gray（256））。

axissquare。

title（'原始图像'）。

disp（'原始图像大小'）。

whos（'X'）。

%对图像小波分解

[c,l]=wavedec2（X,2,'bior3.7'）。

%提取第一层的低频和高频系数

cA1=appcoef2（c,l,'bior3.7',1）。

cH1=detcoef2（'h',c,l,1）。

cD1=detcoef2（'d',c,l,1）。

cV1=detcoef2（'v',c,l,1）。

%重构第一层系数

A1=wrcoef2（'a',c,l,'bior3.7',1）。

H1=wrcoef2（'h',c,l,'bior3.7',1）。

D1=wrcoef2（'d',c,l,'bior3.7',1）。

V1=wrcoef2（'v',c,l,'bior3.7',1）。

c1=[A1H1。

V1D1]。

%显示第一层频率信息

subplot（2,2,2）。

image（c1）。

colormap（gray（256））。

axissquare。

title（'图像分解信息'）。

%图像压缩，保留第一层低频信息并对其量化编码

ca1=wcodemat（cA1,192,'mat',0）。

subplot（2,2,3）。

image（ca1）。

colormap（gray（256））。

axissquare。

title（'第1次压缩图像'）。

disp（'第1次压缩图像的大小为:

'）。

whos（'ca1'）。

%图像压缩，保留第二层低频信息并对其量化编码

ca2=appcoef2（c,l,'bior3.7',2）。

ca2=wcodemat（ca2,192,'mat',0）。

subplot（2,2,4）。

image（ca2）。

colormap（gray（256））。

colormap（gray（256））。

axissquare。

title（'第2次压缩图像'）。

disp（'第2次压缩图像的大小为:

'）。

whos（'ca2'）。

实验结果：

图3-1a）

图3-1b）

结果分析：

从结果可以看出，第一次压缩式提取原始图像中小波分解第一层的低频信息，此时压缩效果较好，压缩比较小（约0.28）。

第二次压缩式提取第一层分解低频部分的低频信息，即第二层的的低频部分，其压缩比较大（约0.07），压缩效果从视觉上看还可以。

例：

用wdencmp函数对图像D:

\matlab\girl.jpg进行压缩：

代码：

clearall

clc

%装载图像

REG=imread（'D:

\matlab\girl.jpg'）。

X=rgb2gray（REG）。

%对图像小波分解

n=2。

w='sym2'。

[c,l]=wavedec2（X,n,w）。

%全局阈值

[thr,sorh,keepapp]=ddencmp（'cmp','wv',X）。

%压缩处理对所有高频系数进行阈值化处理

[Xcomp,cxc,lxc,perf0,perfl2]=wdencmp（'gbl',c,l,w,n,thr,sorh,keepapp）。

%图像显示

subplot（1,2,1）。

image（X）。

colormap（gray（256））。

title（'原始图像'）。

subplot（1,2,2）。

image（Xcomp）。

colormap（gray（256））。

title（'压缩后的图像'）。

%显示有关参数

disp（'小波分解系数中值为0的系数个数百分比:

'）。

disp（perf0）。

disp（'压缩后剩余能量百分比:

'）。

disp（perfl2）。

实验结果：

图3-2a）

图3-2b）

结果分析：

图像经压缩后，压缩效果较好，压缩也比较小约（0.48），能量保留约100%。

第4章结束语

本文主要描述了各种变换在图像压缩中的处理。

由实验结果可以看出：

二维傅里叶、离散余弦变换、小波变换均可实现对图像的压缩处理。

其中，傅里叶变换对图像压缩表现最直接，但是只能对二进制图像进行压缩，且对于小值系数的过滤的临界值不好判断。

离散余弦变换结果可以看出图像的能量都集中在左上角，所以既可以和傅里叶变换一样对小值系数进行过滤，也可以进行乘矩阵的方式，保留变换结果左上角的系数，所以避免了衡量临界值大小的麻烦。

而小波变换保留低频信息是压缩办法中最简单的一种，他不需要经过其他处理即可获得较好的压缩效果。