第1章工程随机数学基础习题答案.docx

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第1章工程随机数学基础习题答案

第1章随机事件及其概率

习题1

1.写出下列随机试验的样本空间。

（1）记录一个班级一次概率统计考试的平均分数（设以百分制记分）。

解：

以n表示该班的学生数，总成绩的可能取值为0,1,2,3,...,100n,所以试验的样

本空间为^

S{-|i0,1,2,...,10On}.

n

（2）同时掷三颗骰子，记录三颗骰子点数之和。

解：

S{3,4,5,...,18}

（3）生产产品直到有10件正品为止，记录生产产品的总件数。

解：

设在生产第10件正品前共生产了k件不合格品，样本空间为

S{10k|k0,1,2,...}或写成S{10,11,12,...}

（4）对某工厂出厂的产品进行检查，合格的记上“正品”，不合格的记上“次品”，如

连续查出2个次品就停止检查，或检查4个产品就停止检查，记录检查的结果。

解：

米用0表示检查到一件次品，以1表示检查到一件正品，例如0110表示第一次与

第四次检查到次品，而第二次与第三次检查到的是正品，样本空间可以表示为

S{00,100,0100,0101,0110,1100,1010,1011,0111,1101,1110,1111}.

（5）在单位正方形内任意取一点，记录它的坐标。

解：

S{（x,y）|0x1,0y1}

（6）实测某种型号灯泡的寿命。

解：

S{x|x0}

2.设A,B,C为三事件，用A,B,C的运算关系表示下列各事件，。

（1）A发生，B与C不发生。

（2）A与B都发生，而C不发生。

（3）A,B,C中至少有一个发生。

（4）A,B,C都发生。

（5）A,B,C都不发生。

（6）A,B,C中不多于一个发生。

（7）A,B,C至少有一个不发生。

（8）A,B,C中至少有两个发生。

解：

以下分别用D（i1,2,...,8）表示

（1）,

（2）,...,（8）中所给出的事件。

注意到一个事件

不发生即为它的对立事件的发生，例如事件A不发生即为A发生。

（1）A发生，B与C不发生，表示A,B,C同时发生，故D1ABC或写成

DABC。

（2）A与B都发生而C不发生，表示AB,C同时发生，故D2ABC或写

成D2ABC。

（3）由和事件的含义知，事件ABC即表示AB,C中至少有一个发

生，故d3ABC。

也可以这样考虑：

事件“AB,C至少有一个发生”是事件“AB,C都

不发生”的对立事件，因此D3ABC。

也可以这样考虑：

事件“AB,C中至少有一个发生”表示三个事件中

恰有一个发生或恰有两个发生或三个事件都发生，因此，D3又可写成

D3ABCABCABCABCABCABCABC。

（4）D4ABC。

（5）DsABC。

（6）“AB,C中不多于一个发生”表示AB,C都不发生或AB,C中恰有

一个发生，因此D6ABCABCABCABC°

又“A,B,C中不多于一个发生”表示“AB,C中至少有两个不发生”，

亦即A,B,C中至少有一个发生，因此又有D6ABBCAC。

又“AB,C中不多于一个发生”是事件G“A,B,C中至少有两个发生”的对立事件，而事件G可写成GABBCCA,因此又可将

D6写成

D6AB__BC__CAABBCCA<°

（7）“AB,C中不多于两个发生”表示AB,C都不发生或AB,C中恰有一个发生或AB,C中恰有两个发生。

因此，

D7ABCABCABCABCABCABCABC。

又

AB,C中不多与两个发生”表示AB,C中至少有一个不发生，亦即

A,B,C中至少有一个发生，即有D7ABC。

又“AB,C中不多于两个发生”是事件“AB,C三个都发生”的对

立事件，因此又有D7ABC。

（8）D8ABBCCA，也可写成

D8ABCABCABCABC。

3.从1、2、3、4、5这5个数中，任取其三，构成一个三位数。

试求下列事件的概率：

（1）三位数是奇数；

（2）三位数为5的倍数；

（3）三位数为3的倍数；（4）三位数小于350。

解

（1）构成三位数有A3种情况，而三位数是奇数则要求最后一位为1，3,5三个数

之一，有C；,余下的两位数则在剩余的四个数字之间选择一个，有A2。

则三

位数是奇数的概率如下：

^空3

A5

（2）三位数为5的倍数，则最后

-位必然为

5,有:

屋

1

5

（3）三维数为3的倍数，则必有-种组合。

峪2

个3,

另外为：

1,2;

1,5;2,4;4,5。

共4

（4）首位为1,2,最后两位有4,3种选择，首位为3,最后两位有3,3种选择。

c2a2a3a111

A320

4.某油漆公司发出17桶油漆，其中白漆10桶、黑漆4桶、红漆3桶，在搬运中所有标签脱落，交贷人随意将这些油漆发给顾客。

问一个定货4桶白漆、3桶黑漆和2桶红漆的顾

客，能按所定颜色如数得到定货的概率是多少？

解：

E:

在17桶油漆中任取

9桶给顾客。

以

A表示事件“顾客取到

4桶白漆，3桶

黑漆与2桶红漆”，则有N（S）

17

N（A）

10

43,故

9

4

32

P（A）N（A）/N（S）

10

43

17

252

O

4

32

9

2431

5.在1700个产品中有500个次品、1200个正品。

任取200个。

（1）求恰有90个次品的概率；

（2）求至少有2个次品的概率。

11090

解:

1）C1200C500

—200

C1700

（2）以A表示事件“没有取到次品”，以B表示事件“取到一个次品”。

以C表示事件“至少有两个次品”。

2001199

贝用RC）1P（A）RB）1簇C^=…

C1700C1700

6.把10本书任意地放在书架上，求其中指定的三本书放在一起的概率。

解：

十本书任意放有10!

10987654321种排列方法，而将三本书看

作一个整体（此三本书之间有3!

种排布）与其他7本书（共有8个元素）在一起排列共有

（321）（87654321）种情况，设三本放在一起为事件A,

7.从5双不同的鞋子中任取4只，这4只鞋子中至少有两只鞋子配成一双的概率是多少？

解：

E•.从5双不同的鞋子中任取四只。

以A表示事件“所取4只鞋子中至少有两只配成一双鞋子”，则A表示事件“所取4只鞋子无配对”。

先计算P（A）较为简便。

考虑4只鞋子是有次序一只一只取出的。

自5双（10只）鞋子中任取4只共有10987种取

法，N（S）10987。

现在来求N（A）。

第—只可以任意取，共有10种取法，第二

只只能在剩下的9只中且除去与已取的第一只配对的8只鞋子中任取一只，共8种取法。

同理第三只、第四只各有

6种、4种取法，从而

N（A）

10864°

故

RA）1P（A）

1N（A）/N（S）1

108

64军。

109

8721

8.把长度为a的线段在任意二点折断成为三线段，求它们可以构成一个三角形的概率。

解：

设两段长度分别为X、Y,XY满足方程X+Y

足X+Y>a/2X

2a

2a

1

8

2

—o

4

9.甲乙两船驶向一个不能同时停泊两艘船的码头，它们在一昼夜内到达码头的时刻是等可

能的，若甲船停泊时间一小时，乙船停泊时间二小时，求它们中任意一艘不需要等待码头空出的概率。

解：

本题是一道几何概型的题目，设甲、乙两艘船到达码头的时刻分别为x与v,A

为“甲、乙两船都不需要等待码头空出”。

则要想使甲乙两船都不要等待，那么甲船应该

早于乙船1一小时以上或乙船早于甲船2小时以上，即有yx1或xy

24

24.

.

24

-2

y）表示甲船于x时刻，乙船于y时刻到达码头。

记录yx1为直线L1,xy2为直

线L2，则L1上方区域表示甲船先到，乙船在1小时之后的某个时间到；L2下方区域表示

乙船先到，甲船在2小时之后的某个时间至h而L1与L2之间的带状区域是有一船需

要等候码头的情况。

所求的概率即为带状区域之外的两个三角形面积和占正方形面积的比例。

即为：

11

—2323—2222

2

P（A）

20.879

P（AB）

P（A）P（B|A）

12

P（B）

P（AB）1

P（A|B）6,

P（AB）P（A）

1

P（B）P（AB）-

3

2424

11.在做钢筋混凝土构件以前，通过拉伸试验，抽样检查钢筋的强度指标，今有一组A3

钢筋100根，次品率为2%,任取3根做拉伸试验，如果3根都是合格品的概率大于0.95,认为这组钢筋可用于做构件，否则作为废品处理，问这组钢筋能否用于做构件？

P（A）

C3C0

C98C2

C100

0.941

解：

由次品率为2%可知，本组A3钢筋中有2根次品。

设事件本组钢筋能用于构件为事件A,则有：

12.某人忘记了密码锁的最后-个数字，他随意地拨数，求他拨数不超过三次而打开锁的

概率。

若已知最后一个数字是偶数，那么此概率是多少？

解：

以A表示事件“第i次拨数”，i=1,2,3.以A表示事件“拨数不超过3次打开锁”，则

有AAa1a2~AXa因A,Aa2,A瓦A3两两互不相容，

n1

且P（A）-

10

191

P（M）p（A2|A）P（A1）

91010

1891

P（A1A2A3）P（A3AA2）P（A2A）P（A）

891010

P（A）P（&）P（A；A2）

1113

P（A1A2A3）————

10101010o

即有：

当已知最后一位数是偶数时，所求的概率为P11--o

5555

13.袋中有8个球，6个是白球、2个是红球。

8个人依次从袋中各取一球，每人取一球

后不再放回袋中。

问第一人，第二人，……，最后一人取得红球的概率各是多少个。

1

解：

设以Ai（i1,2,...,8）表示事件“第i个人取到的是红球”。

则P（A1）1,又因

4

A2AAAA2,由概率的全概公式得

P（AOP（&AOP（AA）P（A1）P（A2仄）P（A）P（AJA）

62211

87874

类似地，有

1

P（A）-（i3,4...,8）

4

14.设10件产品中有4件不合格品，从中任取两件，已知两件中有一件是不合格品，问另

一件也是不合格品的概率是多少？

解：

设事件A为另一件也是不合格品，又已知两件中有一件是不合格品，则有以下两

种情况：

第二件是合格品，第二件是不合格品。

〔「120

概率分别为:

e4e6e4e6

er,_er

笠

则知：

P（A）

~er

ee

me；

"CT

P（A）

"er

（n

nN（nm）

m）（NM1）

16.盒中放有12只乒乓球，其中有9只是新的。

第一次比赛时从其中任取3只来用，比赛

后仍放回盒中。

第二次比赛时再从盒中任取3只，求第二次取出的球都是新球的概率。

解：

令Hi=（第一次比赛时取出的3个球中有i个新球｝,i=0,1,2,3,A=（第二次比赛取出

的3个球均为新球｝。

于是

3321312333

P（H0）e3/e12）P（H1）e3e9/e12）P（H2）e3e9/e12,P（H3）e9/e12

由全概率公式便可得所求的概率

接收站收到时，A被误收作B的概率为0.02,

17.将两信息分别编码为A和B传递出去，

而B被误收作A的概率为0.01，信息A与信息B传送的频繁程度为2:

l,若接收站收到的信息是A,问原发信息是A的概率是多少？

解：

以D表示事件“将信息A传递出去”，则D表示事件“将信息B传递出去”，以R

P（D|R）.

表示“接收到信息A"，则R表示事件“接收到信息B",按题意需求概率

…2-

得知P（D）一，P（D）

3

由贝叶斯公式得到

甲组是0.01,乙组是0.02,

2

18.甲、乙、丙三组工人加工同样的零件，它们出现废品的概率：

丙组是0.03,它们加工完的零件放在同一个盒子里，其中甲组加工的零件是乙组加工的倍，丙组加工的是乙组加工的一半，从盒中任取一个零件是废品，求它不是乙组加工的概率。

解：

设乙组加工零件数为X，则甲组为2X,丙组为

有X2X

那么必为甲组或丙组加工。

若从盒中任取一个零件是废品，且它不是乙组加工,设此事件为A,

只一等品。

今从两箱中任挑出一箱，然后从该箱中取零件两次，每次任取一只，作不放回

抽样。

试求

（1）第一次取到的零件是一等品的概率。

（2）第一次取到的零件是一等品的条

件下，第二次取到的也是一等品的概率。

解以H表示事件“从第一箱取零件”，则H表示事件“从第二箱中取零件”。

由已知

，…-1

条件P（H）P（H）-°又以A表示事件第i次从箱中（不放回抽样）取得的是一等

品”。

RM）,而P（A）

10

需要求的是P（A2IA）。

因P（A2IA）

HAA）P（AA）RH）RAAIH）P（H）

由条件概率的含义，P（AA2IH）表示在第一箱中取两次，每次取一只零件，做

不放回抽样，且两次都取得一等品的概率。

因第一箱50只零件，其中有10只

一等品，故有

P（AAIH）10g。

同理，P（AAJH）1817,故有

50493029

二[P（AAIH）F（H）P（AAIH）F（H）]

5109118171

2（5049230292）

1951一一一

1（—51）0.4856

44949

20.设有四张卡片分别标以数字1,2,3,4,今任取一张，设事件A为取到4或2,事件

B为取到4或3,事件C为取到4或1,试验证

P（AB）P（A）P（B）,P（BC）P（B）P（C）,

P（CA）P（C）P（A）,P（ABC）P（A）P（B）P（C）。

证：

以Ai（i=1,2,3,4）表示取到第i张卡片，则

1

aaPg）a、

又AA2A4，BA3A4CAA4,,

1且Ai,A2,A3,A4两两互不相谷，故.P（A）P（B）P（C）—

2

另外，

ABA4,ACA4,BCA4,ABCA

P（AB）P（AC）

P（BC）

P（ABC）

1P（AJ4

从而有：

P（AB）

1

4

1

2

1

2

P（A）P（B）,

P（BC）

1

4

1

2

1

2

P（B）P（C）,

P（CA）

1

4

1

2

1

2

P（C）P（A）,

但P（ABC）

1

4

P（A）P（B）P（C）

1

.

8

21.如果一危险情况C发生时，一电路闭合并发出警报，我们可以借用两个或多个开关并联以改善可靠性，在C发生时这些开关每一个都应闭合，且若至少一个开关闭合了，警报就发出，如果两个这样的开关并联联接，它们每个具有0.96的可靠性（即在情况C发生时

闭合的概率），问这时系统的可靠性（即电路闭合的概率）是多少？

如果需要有一个可靠性至少为0.9999的系统，则至少需要用多少只开关并联？

这里设各开关闭合与否都是相互独立的。

解以A表示事件“第i只开关闭合”，i=1,2,•…，n.已知

P（Ai）0.96，由此可得两只这样的开关并联而电路闭合的概率为（注意各开关闭合

与否是相互独立的）

2

P（A1A2）P（A1）P（A2）P（A1A2）P（A1）P（A2）P（A）P（A2）20.960.960.9984

n

设需要n只这样的开美并联，此时系统可靠性RP（UA）,

i1

n

注意到uaAA2..A冗兀...An，

i1

且由A,A2,...,An的独立性推得A,A2,...,A也相互独立.

nn

P（UAi）1P（UAi）1

i1i

解：

设甲击中飞机概率为R,乙击中飞机概率为P2,丙击中飞机概率为P3。

飞机被击落

设为事件A,飞机被击落分为以下三种情况，概率分别为：

被一人击中而被击落，概率为

P（A1A2...A.）1P（A）P（A2）...P（AJ1（10.96）n.

则:

P（A）

P（A）[Pi

（1

PJ

（1P3）（1

P）（1P2）F3

（1

Pi）P2（1P3）]

P（A2）[PP2

（1

P3）

P（1P2）

F3（1Pi）P2

P3]

PW（PP2P3）

0.2

（0.40.5

0.3

0.6

0.50.70.6

0.50.3）0.6

（0.4

0.50.30.40.50.7

0.6

0.50.7）

0.4

0.5

0.70.458

在装有

6个白球，8个红球和

3个黑球的口袋中，有放回地从中任取

5次，每次取出

3次取到非白球的概率。

23.

一个。

试求恰有

解：

P

3

11

17

2

6

17

0.337

24.电灯泡使用时数在有一只坏了的概率。

1000小时以上的概率为0.2,求三个灯泡在使用

1000小时后最多只

解：

在某一时刻观察三个灯泡的损坏情况为

3重贝努利试验，令事件A为灯泡是坏的,

若令Bi（有i个灯泡损坏｝,i0,1,2,3

有：

P（B0B1）P（B0）P（B1）0.23C；0.80.220.104

25.在打桩施工中，断桩是常见的，经统计，甲组断桩的概率为3%,乙组断桩的概率为

1.2%。

某工地准备打15根桩，甲组打5根，乙组打10根，问：

（1）产生断桩的概率是多少？

（2）甲组断两根的概率是多少？

解：

（1）设事件A为产生断桩，每次断桩互相独立。

用1减去不断桩的概率（13%5（11.2%5

则有：

55

P（A）1（13%）5（11.2%）50.19

（2）设甲组产生

两根断桩为事件B,有：

II

P（B）（3%）2（13%）3C20.0082