高等数学课后习题与解答.docx
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高等数学课后习题与解答
高等数学课后习题及解答
1.设u=a-b+2c,v=-a+3b-c.试用a,b,c表示2u-3v.
解2u-3v=2(a-b+2c)-3(-a+3b-c)
=5a-11b+7c.
2.如果平面上一个四边形的对角线互相平分,试用向量证明它是平行四边形.
证如图8-1,设四边形ABCD中AC与BD交于M,已知
AM=MC,DM
故
MB.
ABAM
MBMCDM
DC.
即AB//DC且|AB|=|DC|,因此四边形ABCD是平行四边形.
3.把△ABC的BC边五等分,设分点依次为D1,D2,D3,D4,再把各
分点与点A连接.试以AB=c,BC=a表向量
证如图8-2,根据题意知
1
D1A,
1
D2A,
D3A,
DA.
4
1
D3D4
BD1
1
a,
5
a,D1D2a,
55
1
D2D3a,
5
故D1A=-(AB
BD1
)=-
a-c
5
D2A=-(AB
DA=-(AB
BD2
BD
)=-
)=-
2a-c
5
3a-c
3
=-(AB
3
BD4
)=-
5
4a-c.
5
4.已知两点M1(0,1,2)和M2(1,-1,0).试用坐标表示式表示
向量M1M2及-2M1M2.
解M1M2
=(1-0,-1-1,0-2)=(1,-2,-2).
-2M1M2=-2(1,-2,-2)=(-2,4,4).
5.求平行于向量a=(6,7,-6)的单位向量.
a
解向量a的单位向量为
,故平行向量a的单位向量为
a
a1
=(6,7,-6)=
6,7,6,
a11111111
其中a
6272
(6)2
11.
6.在空间直角坐标系中,指出下列各点在哪个卦限?
A(1,-2,3),B(2,3,-4),C(2,-3,-4),D(-2,
-3,1).
解A点在第四卦限,B点在第五卦限,C点在第八卦限,D点在第三卦限.
7.在坐标面上和在坐标轴上的点的坐标各有什么特征?
指出下列各点的位置:
A(3,4,0),B(0,4,3),C(3,0,0),D(0,
-1,0).
解在坐标面上的点的坐标,其特征是表示坐标的三个有序数中
至少有一个为零,比如xOy面上的点的坐标为(x0,y0,0),xOz面上的点的坐标为(x0,0,z0),yOz面上的点的坐标为(0,y0,z0).
在坐标轴上的点的坐标,其特征是表示坐标的三个有序数中至少
有两个为零,比如x轴上的点的坐标为(x0,0,0),y轴上的点的坐标为(0,y0,0),z轴上的点的坐标为(0,0,z0).
A点在xOy面上,B点在yOz面上,C点在x轴上,D点在y轴
上.
8.求点(a,b,c)关于
(1)各坐标面;
(2)各坐标轴;(3)坐标原点的对称点的坐标.
解
(1)点(a,b,c)关于xOy面的对称点(a,b,-c),为关于yOz面的对称点为(-a,b,c),关于zOx面的对称点为(a,-b,
c).
(2)点(a,b,c)关于x轴的对称点为(a,-b,-c),关于y
轴的对称点为(-a,b,-c),关于z轴的对称点为(-a,-b,c).
(3)点(a,b,c)关于坐标原点的对称点是(-a,-b,-c).
9.自点P(0x0,y0,z0)分别作各坐标面和各坐标轴的垂线,写出各
垂足的坐标.
解设空间直角坐标系如图8-3,根据题意,P0F为点P0关于xOz
面的垂线,垂足F坐标为
(x0,0,z0);P0D为点P0关于xOy面的垂
线,垂足D坐标为
(x0,y0,0);P0E为点P0关于yOz面的垂线,垂
足E坐标为
(0,y0,zo).
P0A为点P0关于x轴的垂线,垂足A坐标为
(xo,0,0);P0B为点
P0关于y轴的垂线,垂足B坐标为
(0,
y0,0);P0C为点P0关于z轴的
垂线,垂足C坐标为
(0,0,z0).
11.一边长为a的正方体放置在xOy面上,其底面的中心在坐标原点,底面的顶点在x轴和y轴上,求它各顶点的坐标.
2
解如图8-5,已知AB=a,故OA=OB=a,于是各顶点的坐
2
标分别为A(
2a,0,0),B((0,
2
22
a,0)),C(-a,0,0),D22
(0,-
2a,0),E(
2
2a,0,a),F(0,
2
2a,a),G(-
2
2a,
2
0,a),H(0,-
2a,a).
2
12.求点M(4,-3,5)到各坐标轴的距离.
解点M到x轴的距离为d1=
(3)252
34,点M到y
轴的距离为d2=4252
41,点M到z轴的距离为
d3=42
(3)2
255.
13.在yOz面上,求与三点A(3,1,2),B(4,-2,-2),C(0,5,
1)等距离的点.
解所求点在yOz面上,不妨设为P(0,y,z),点P与三点A,
B,C等距离,PA
32(y
1)2
(z2)2,
PB42
(y2)2
(z2)2,
PC(y
5)2
(z1)2.
由PAPBPC知,
32(y
1)2
(z2)2
42(y
2)2
(z2)2
(y5)2(z1)2,
即
解上述方程组,得y=1,z=-2.故所求点坐标为(0,1,-2).
14.试证明以三点A(4,1,9),B(10,-1,6),C(2,4,3)为顶点的三角形是等腰直角三角形.
证由
AB(10
4)2
(11)2
(69)27,
AC(2
BC(2
4)2
10)2
(41)2
(41)2
(39)27,
(36)29872
知AB
2
AC及BC
2
ABAC
2
.故△ABC为等腰直角三角
形.
15.设已知两点为M1(4,2,1),M2(3,0,2),计算向量的模、方向余弦和方向角.
M1M2
解向量
M1M2
=(3-4,0-2,2-1)=(-1,-2,-1),
其模M1M2
(-1)2(-
2)212
42.其方向余弦分
别为cos=-
1
,cos=-
2
21
,cos=.
22
方向角分别为
2,3,.
343
16.设向量的方向余弦分别满足
(1)cos=0;
(2)cos=1;(3)cos=cos=0,问这些向量与坐标轴或坐标面的关系如何?
解
(1)由cos=0得知,故向量与x轴垂直,平行于
2
yOz面.
(2)由cos=1得知=0,故向量与y轴同向,垂直于xOz面.
(3)由cos=cos=0知,故向量垂直于x轴和y轴,
2
即与z轴平行,垂直于xOy面.
17.设向量r的模是4,它与u轴的夹角为,求r在u轴上的投影.
3
1
解已知|r|=4,则Prjur=|r|cos=4?
cos
3
=4×
2
=2.
18.一向量的终点在点B(2,-1,7),它在x轴、y轴和z轴上的投影依次为4,-4和7,求这向量的起点A的坐标.
解设A点坐标为(x,y,z),则
AB=(2-x,-1-y,7-z),
由题意知
2-x=4,-1-y=-4,7-z=7,
故x=-2,y=3,z=0,因此A点坐标为(-2,-3,0).
19.设m=3i+4j+8k,n=2i-4j-7k和p=5i+j-4k.求向量a=4m+3n-p在x轴
上的投影及在y轴上的分向量.
解a=4m+3n-p=4(3i+5j+8k)+3(2i-4j-7k)-(5i+j-4k)
=13i+7j+15k,
a在x轴上的投影为13,在y轴上的分向量为7j.
1.
设a3i
j2k,bi2j
k,求
(1)a
余弦.
b及a
b;
(2)(-
2a)3b及a2b;(3)a,b的夹角的
解
(1)a
b(3,-1,-
2)(1,2,-1)
3
ijk
1(-1)
2(-
2)(-1)3,
ab31
12
2=(5,1,7).
1
(2)(
2a)3b
6(ab)
6318
a2b2(ab)2(5,1,7)
ab
(10,2,14)
3
(3cos(a,b)
ab
3
32(
3
1)2
(2)212
22(
1)2
146221
2.设a,b,c为单位向量,满足abc
0,求abbc
ca.
解已知abc1,abc0,
故(a
bc)(a
b
c)0.
22
即ab
c
2ab
2bc
2ca
0.因此
abbcca
122
(ab2
23
c)-2
3.已知M1(1,-1,2),M2(3,3,1)M3(3,1,3).求与同时垂直的单位向量.
M1M2,M2M3
解M1M
2=(3-1,3-(-1),1-2)=(2,4,-1)
M2M3
=(3-3,1-3,3-1)=(0,-2,2)
由于M1M2
取为
M2M3
与M1M
2,M
2M3
同时垂直,故所求向量可
a(M1M2
M2M3)
,
M1M2M2M3
由M1M2
i
M2M3=2
0
jk
41=(6,-4,-4),
22
M1M2
知a
M2M36
1(6,4,4)
(4)2(
(3,
4)2
2,
68
2).
217
217171717
4.设质量为100kg的物体从点M1(3,1,8)沿直线移动到点M2(1,4,2),计算重力所作的功(坐标系长度单位为m,重力方向为z轴负方向).
解M1M
2=(1-3,4-1,2-8)=(-2,3,-6)
F=(0,0,-100×9.8)=(0,0,-980)
W=F?
M1M
2=(0,0,-980)?
(-2,3,-6)=588(0
J).
5.在杠杆上支点O的一侧与点O的距离为x1的点P1处,有一与
OP1
成角1的力F1作用着;在O的另一侧与点O的距离为x2的点P2处,
有一与
OP2
成角2的力F2作用着(图8-6),问1,2,x1,x2,F1,F2
符合怎样的条件才能使杠杆保持平衡?
解如图8-6,已知有固定转轴的物体的平衡条件是力矩的代数和为零,又由对力矩正负符号的规定可得杠杆保持平衡的条件为
F1
即F1
x1sin1
x1sin1
F2x2F2x2
sinsin
20,
2.
6.求向量a
(4,-
3,4)在向量b
(2,2,1)上的投影.
ab(4,
3,4)(2,2,1)6
解Pr
jba
b
2.
2222123
7.设a
(3,5,
2),b
(2,1,4)
,问与有怎样的关系,能使
ab与z轴垂直?
解ab=(3,5,-2)+(2,1,4)
=(3
2,5
24).
要ab与z轴垂直,即要(ab)(0,0,1),即
(
a
b)?
(0,0,1)=0,
亦即
(3
2
5
2
4)?
(0,0,1)=0,
故(2
4)=0,因此2时能使a
b与z轴垂直.
8.试用向量证明直径所对的圆周角是直角.
证如图8-7,设AB是圆O的直径,C点在圆周上,要证∠ACB=,
2
只要证明ACBC0即可.由
ACBC
=(AO
OC)
(BO
OC)
=AOBO
AOOC
2
OCBOOC
2
=AO
AOOC
AOOC
2
OC0.
故ACBC,∠ACB为直角.
9.已知向量a
2i3j
k,bi
j3k和c
i2j
,计算:
(1)(a
b)c
(ac)b
(2)(a
b)(bc)
(3)(a
b)c
解
(1)
(ab)c
(ac)b
8(1,
2,0)
8(1,
1,3)
(0,8,
24)
8i24k.
(2)a
b=(2,-3,1
)+(1,-1,3)=(3,-4,4),
b
c=(1,-1,3
)+(1,-2,0)=(2,-3,3),
i
jk
(a
b)
(b
c)
3
4
4
(0,
1,
1)
j
k.
2
3
3
i
j
k
OA
OB
1
0
3
(
3,
3,1),
0
1
3
而由行列式的性质知
axayaz
bxbybz
cxcycz
bxby
cxcy
axay
bzcxcz=axazbx
cycz
ayaz,故
bybz
(ab)c
(bc)a
(ca)b.
12.试用向量证明不等式:
2222
1231
23a1b1
a2b2
a3b3,
其中a1,a2,a3,b1,b2,b3为任意实数.并指出等号成立的条件.证设向量a(a1,a2,a3),b(b1,b2,b3).
由ab
abcos(a,b)
ab,从而
a1b1
a2b2
a3b3
22
a1a2
a1
222
a3b1b2
a2a3
2
b3,
当a1,a2,a3与b1,b2,b3成比例,即
b1b2
时,上述等式成立.
b3
1.求过点(3,0,-1)且与平面3x7y
程.
解所求平面与已知平面3x7y
5z12
5z12
0平行的平面方
0平行.因此所
求平面的法向量可取为n=(3,-7,5),设所求平面为
3x7y5zD0.
将点(3,0,-1)代入上式得D=-4.故所求平面方程为
3x7y5z40.
2.求过点M0(2,9,-6)且与连接坐标原点及点M0的线段OM0垂直的平面方程.
解OM0
(2,9,
6).所求平面与
OM0
垂直,可取n=OM0,
设所求平面方程为
2x9y
6zD0.
将点M0(2,9,-6)代入上式得D=-121.故所求平面方程为
2x9y6z1210.
3.求过(1,1,-1),(-2,-2,2)和(1,-1,2)三点的平面方程.
x1y1
z1
0,得x3y2z0,
即为所求平面方程.
注设M(x,y,z)为平面上任意一点,Mi
(xi,
yi,zi
)(i
1,2,3)为
平面上已知点.由M1M
(M1M2
M1M3)
0,即
xx1
x2x1
x3x1
y
y1
y2y1
y3y1
zz
z1
z2z10,
z3z1
它就表示过已知三点Mi(i=1,2,3)的平面方程.
4.指出下列各平面的特殊位置,并画出各平面:
(1)x=0;
(2)3y-1=0;
(3)2x-3y-6=0;(4)x-3y=0;
(5)y+z=1;(6)x-2z=0;
(7)6x+5y-z=0.
解
(1)—(7)的平面分别如图8—8(a)—(g).
(1)x=0表示yOz坐标面.
(2)3y-1=0表示过点(
0,1,0)且与y轴垂直的平面.
3
(3)2x-3y-6=0表示与z轴平行的平面.
(4)x-3y=0表示过z轴的平面.
(5)y+z=1表示平行于x轴的平面.
(6)x-2z=0表示过y轴的平面.
(7)6x+5y-z=0表示过原点的平面.
5.求平面2x2yz50与各坐标面的夹角的余弦.
解平面的法向量为n=(2,-2,1),设平面与三个坐标面xOy,
yOz,zOx的夹角分别为
1,2,
3.则根据平面的方向余弦知
cos
cosnk(2,
2,1)(0,0,1)1,
nk22
(2)2
1213
cos2
cos
ni(2,ni
2,1)
3
(1,0,0)2,
13
cos3
cos
nj(2,
nj
2,1)
3
(0,1,0)2
.
13
6.一平面过点(1,0,-1)且平行于向量a
试求这个平面方程.
(2,1,1)和b
(1,
1,0),
解所求平面平行于向量a和b,可取平面的法向量
i
j
k
n
a
b
2
1
1
(1,1,
3).
1
1
0
故所求平面为1(x1)
1(y0)
3(z1)
0,即
xy3z40.
7.求三平面x3y
交点.
z1,2x
y
z0,x
2y2z3的
解联立三平面方程
x3y2xy
x2y
zz1,
z0,
2z3.
解此方程组得x
1,y
1,z
3.故所求交点为(1,-1,3).
8.分别按下列条件求平面方程:
(1)平行于xOz面且经过点(2,-5,3);
(2)通过z轴和点(-3,1,-2);
(3)平行于x轴且经过两点(4,0,-2)和(5,1,7).
解
(1)所求平面平行于xOz面,故设所求平面方程为
ByD
0.将点(2,-5,3)代入,得
5BD
0,即
D5B.
因此所求平面方程为
By5B
0,即y50.
(2)所求平面过z轴,故设所求平面为AxBy0.将点(-3,1,
-2)代入,得
3AB
0,即
B3A.
因此所求平面方程为
Ax3Ay
0,即x3y0.
(3)
所求平面平行于x轴,故设所求平面方程为ByCzD0.
将点(4,0,-2)及(5,1,7)分别代入方程得
2CD0及
CD,B2
B7CD0.
9D.
2
因此,所求平面方程为
9Dy
2
DzD0,2
即9yz20.
9.求点(1,2,1)到平面x
2y2z10
0的距离.
解利用点的距离公式
M0(x0,
yo,zo)
到平面Ax
ByCzD0
dAx0
By0Cz0D
A2B2C2
122
21103
1.
1222223
x3y
1.求过点(4,-1,3)且平行于直线
21
z1的直线方程.
5
解所求直线与已知直线平行,故所求直线的方向向量
s(2,1,5),直线方程即为
x4y1z3
.
215
2.求过两点
M1(3,
2,1)和M2(
1,0,2)的直线方程.
解取所求直线的方向向量
sM1M2
(13,0
(2),21)
(4,2,1),
因此所求直线方程为
x3y2z1
.
421
3.用对称式方程及参数方程表示直线
xy
2xy
z1,
z4.
解根据题意可知已知直线的方向向量
ijk
s111
(2,1,3).
211
取x=0,代入直线方程得
yz1,
yz4.
35
解得y
3,z
2
5.这
2
样就得到直线经过的一点(
0,,
2
).因此直线的对称式方程为
2
参数方程为
35
x0y2z2
213
x2t,
y3t,2
zz53t.
2
注由于所取的直线上的点可以不同,因此所得到的直线对称式方程或参数方程得表达式也可以是不同的.
4.求过点(2,0,-3)且与直线