三角形三边关系归纳.docx

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三角形三边关系归纳

三角形三边关系归纳（总8页）

三角形三边关系的考点问题

三角形的三条边之间主要有这样的关系：

三角形的两边的和大于第三边，三角形的两边的差小于第三边.利用这两个关系可以解决许多典型的几何题目.现举例说明.

一、确定三角形某一边的取值范围问题

根据三角形三边之间关系定理和推论可得结论：

已知三角形的两边为a、b，则第三边c满足|a－b|＜c＜a＋b.

例1用三条绳子打结成三角形（不考虑结头长），已知其中两条长分别是3m和7m，问第三条绳子的长有什么限制.

简析　设第三条绳子的长为xm，则7－3＜x＜7＋3，即4＜x＜10.故第三条绳子的长应大于4m且小于10m。

二、判定三条线段能否组成三角形问题

根据三角形的三边关系，只需判断最小的两边之和是否大于第三边即可.

例2　

（1）下列长度的三根木棒首尾相接，不能做成三角形框架的是（）

A，5cm、7cm、10cm　　B，7cm、10cm、13cm

C，5cm、7cm、13cm　　D，5cm、10cm、13cm

（2）（2004年哈尔滨市中考试题）以下列各组线段为边，能组成三角形的是（）

A，1cm,2cm,4cmB，8cm,6cm,4cm　　C，　12cm,5cm,6cm　D，2cm,3cm,6cm

简析由三角形的三边关系可知：

（1）5+7＜13，故应选C；

（2）6+4＞8，故应选B.

例3有下列长度的三条线段能否组成三角形？

（1）a－3，a，3（其中a＞3）；

（2）a，a＋4，a＋6（其中a＞0）；

（3）a＋1，a＋1，2a（其中a＞0）.

简析　

（1）因为（a－3）＋3=a，所以以线段a－3，a，3为边的三条线段不能组成三角形.

（2）因为（a＋6）－a=6，而6与a＋4的大小关系不能确定，所以以线段a，a＋4，a＋6为边的三条线段不一定能组成三角形.

（3）因为（a＋1）＋（a＋1）=2a＋2＞2，（a＋1）＋2a=3a＋1＞（a＋1），所以以线段a＋1，a＋1，2a为边的三条线段一定能组成三角形.

三、求三角形某一边的长度问题

此类问题往往有陷阱，即在根据题设条件求得结论时，其中可能有一个答案是错误的，需要我们去鉴别，而鉴别的依据就是这里的定理及推论.

例4已知等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分成12cm和21cm两部分，求这个三角形的腰长.

简析　如图1，设腰AB=xcm，底BC=ycm，D为AC边的中点.根据题意，得x+

x＝12，且y+

x＝21；或x+

x＝21，且y+

x＝12.解得x＝8，y＝17；或x＝14，y＝5.显然当x=8，y=17时，8＋8＜17不符合定理，应舍去.故此三角形的腰长是14cm.

例5　一个三角形的两边分别是2厘米和9厘米，第三边长是一个奇数，则第三边长为______.

简析设第三边长为x厘米，因为9-2

四、求三角形的周长问题

此类求三角形的周长问题和求三角形某一边的长度问题一样，也会设计陷阱，所以也应避免答案的错误.

例6　已知等腰三角形的一边等于5,另一边等于6,则它的周长等于_______.

简析　已知等腰三角形的一边等于5,另一边等于6，并没有指明是腰还是底，故应由三角形的三边关系进行分类讨论，当5是腰时，则底是6，即周长等于16；当6是腰时，则底是5，即周长等于17.故这个等腰三角形的周长是16或17.

五、判断三角形的形状问题

判断三角形的形状主要是根据条件寻找边之间的关系.

例7　已知a、b、c是三角形的三边，且满足a2+b2+c2－ab－bc－ca=0.试判断三角形的形状.

简析　因为a2+b2+c2－ab－bc－ca=0，则有2a2+2b2+2c2－2ab－2bc－2ca=0.于是有（a－b）2+（ｂ－ｃ）2+（ｃ－a）2＝0.此时有非负数的性质知（a－b）2=0；（ｂ－ｃ）2=0；（ｃ－a）2＝0，即a－b=0；ｂ－ｃ=0；ｃ－a=0.故a=b=c.所以此三角形是等边三角形.

六、化简代数式问题

这里主要是运用两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，从而确定代数式的符号.

例8已知三角形三边长为a、b、c，且|a＋b－c|＋|a－b－c|=10，求b的值.

简析　因a＋b＞c，故a＋b－c＞0`因a－b＜c，故a－b－c＜0.所以|a＋b－c|＋|a－b－c|=a＋b－c－（a－b－c）=2b=10.故b=5.

七、确定组成三角形的个数问题

要确定三角形的个数只需根据题意，运用三角形三边关系逐一验证，做到不漏不重.

例9现有长度分别为2cm、3cm、4cm、5cm的木棒，从中任取三根，能组成三角形的个数为（）

简析由三角形的三边关系知：

若以长度分别为2cm、3cm、4cm，则可以组成三角形；若以长度分别为3cm、4cm、5cm，则可以组成三角形；若以长度分别为2cm、3cm、5cm，则不可以组成三角形；若以长度分别为2cm、4cm、5cm，则也可以组成三角形.即分别为2cm、3cm、4cm、5cm的木棒，从中任取三根，能组成三角形的个数为3，故应选C.

例10求各边长互不相等且都是整数、周长为24的三角形共有多少个？

简析　设较大边长为a，另两边长为b、c.因为a＜b＋c，故2a＜a＋b＋c，a＜

（a＋b＋c）.又a＋a＞b＋c，即2a＞b＋c.所以3a＞a＋b＋c，a＞

（a＋b＋c）.所以，

（a＋b＋c）＜a

＜

（a＋b＋c）.

×24＜a＜

×24.所以8＜a＜12.即a应为9，10，11.由三角形三边关系定理和推论讨论知：

由此知符合条件的三角形一共有7个.

八、说明线段的不等问题

在平面几何问题中，线段之间的不等关系的说明，很多情况下必须借助三角形三边之间的关系定理及推论.有时可直接加以运用，有时则需要添加辅助线，创造条件才能运用.

例11　已知P是△ABC内任意一点，试说明AB＋BC＋CA＞PA＋PB＋PC＞

（AB＋BC＋CA）的理由.

简析如图2，延长BP交AC于D点.在△ABD中，可证明AB＋AD＞BP＋PD.在△PDC中，可证明PD＋DC＞PC.两式相加，可得AB＋AC＞BP＋PC，同理可得AB＋BC＞PA＋PC，BC＋CA＞PA＋PB.把三式相加后除以2，得AB＋BC＋CA＞PA＋PB＋PC.在△PAB中，PA＋PB＞AB；在△PBC中，PB＋PC＞BC；在△PAC中，PA＋PC＞CA.上面三式相加后除以2，得PA＋PB＋PC＞

（AB＋BC＋CA），综上所述：

AB＋BC＋CA＞PA＋PB＋PC＞

（AB＋BC＋CA）.

课堂练习

1.若三角形的两边长分别为6、7，则第三边长a的取值范围是__________。

2.设三角形三边之长分别为3，8，1－2a，则a的取值范围为（）

A.－6

C.－22

3.△ABC的一边为5，另外两边长恰是方程2x2－12x+m=0的两根，那么m的取值范围是__________。

4.已知五条线段长分别为3，5，7，9，11，若每次以其中三条线段为边组成三角形，则最多可构成互不全等的三角形（）

A.10个B.7个C.3个D.2个

5.以7和3为两边长，另一边的长是整数，这样的三角形一共有（）

A.2个B.3个C.4个D.5个

6.已知等腰三角形的周长是8，边长为整数，则腰长是_________。

7.已知等腰三角形的两边长分别为6cm和3cm，则该等腰三角形的周长是（）

A.9cmB.12cmC.12cm或15cmD.15cm

8.在△ABC中，AB＝AC，AC上的中线BD把三角形的周长分为21cm和12cm两部分，求三角形各边长。

9.若a，b，c为△ABC的三边长，试证

。

10.已知：

如图2，在△ABC中，∠B＝2∠C，求证：

AC＜2AB。

11.已知：

如图3，M、N是四边形ABCD的一组对边AD、BC的中点，求证：

，并试问，当四边形ABCD满足什么条件时取等号。

三角形中的有关角的考点归纳

三角形中关于角的考点，主要在于三角形三内角和为180°求角的度数，三角形类型

的判断，内角和外角关系以及关于角度大小的证明。

一．根据三角形三内角和180°解题

1.△ABC中，∠A=55，∠B=25，则∠C=.

解析：

此题考查三角形内角和定理.由三角形三个角的和为180，易得∠C=180-∠A-∠B=180-55-25=100.

2.在

中，

，

，则

_________．

解析：

设∠B=x°,∵

∴∠A=2x°,根据三角形内角和定理得x+2x+60=180,解得x=60,∴∠A=2x°=80°.

3.若等腰三角形的一个外角为

，则它的底角为度．

解析:

等腰三角形的一个外角为

，则和这个角相邻的内角为110度，它必为为顶角；所以底角=

.

4.图1，AB∥CD，AC⊥BC，∠BAC=65°，则∠BCD=度.

解析:

本题考查了平行线性质和三角形内角和性质的掌握.由三角形内角和可以知道∠ABC=25°，再根据平行线性质，我们可以知道∠BCD=∠ABC=25°.

二．利用三角形三内角比判断三角形类型

5.一个三角形三个内角的度数之比为

，这个三角形一定是（）

A．直角三角形B．等腰三角形

C．锐角三角形D．钝角三角形

解析：

此题根据三角形内角性质，可以看着把180°分成12分，其中有一个占去7分，则可知次为钝角三角形，是否等腰只看2:

3就可知不等要。

6.已知△ABC中，∠A∶∠B∶∠C=1∶3∶5，这个三角形是三角型，∠A=

∠B=，∠C=。

解析：

同上题可把180°分成9分，有角占5分则可知为钝角三角形，计算角度时可先算出每份为20°，则∠A=20，∠B=60，∠C=100°.

三.内角和外角的运用

7.△ABC中，若∠C-∠B=∠A，则△ABC的外角中最小的角是______（填“锐角”、“直角”或“钝角”）

解析：

由∠C-∠B=∠A可以得到∠C=∠B+∠A，可知此为直角三角形，则其他2内角都为锐角，其外角则最小为直角。

8.如图，△ABC中，点D在BC的延长线上，点F是AB边上一点，延长CA到E，连EF，则∠1，∠2，∠3的大小关系是_________．

解析：

∠2=∠3+∠E，∠1=∠2+∠B，则可知∠1＞∠2＞∠3

四.利用三角形内角和外角进行证明

9.一个零件的形状如图7-2-2-6所示，按规定∠A应等于90°，∠B、∠D应分别是30°和20°，李叔叔量得∠BCD=142°，就断定这个零件不合格，你能说出道理吗？

解析：

解法1：

如答图1，延长BC交AD于点E，

则∠DEB=∠A+∠B=90°+30°=120°，

从而∠DCB=∠DEB+∠D=120°+20°=140°．

若零件合格，∠DCB应等于140°．

李叔叔量得∠BCD=142°，

因此可以断定该零件不合格．

（1）

（2）（3）

点拨：

也可以延长DC与AB交于一点，方法与此相同．

解法2：

如答图2，连接AC并延长至E，则∠3=∠1+∠D，∠4=∠2+∠B，

因此∠DCB=∠1+∠D+∠2+∠B=140°．以下同方法1．

解法3：

如答图3，过点C作EF∥AB，交AD于E，

则∠DEC=90°，∠FCB=∠B=30°，所以∠DCF=∠D+∠DEC=110°，

从而∠DCB=∠DCF+∠FCB=140°．以下同方法1．

说明：

也可以过点C作AD的平行线．

点拨：

上述三种解法应用了三角形外角的性质：

三角形的一个外角等于它不相邻的两个内角的和．

10.如图，在绿茵场上，足球队员带球进攻，总是向球门AB冲近，说明这是为什么？

解析：

如图，设球员接球时位于点C，他尽力向球门冲近到D，

此时不仅距离球门近，射门更有力，而且对球门AB的张角也扩大，球就更容易射中．

理由说明如下：

延长CD到E，则∠ADE>∠ACE，∠BDE>∠BCE，

∴∠ADE+∠BDE>∠ACE+∠BCE，即∠ADB>∠ACB．

点拨：

解此题关键是将生活中的问题抽象为数学问题．

课堂练习

1.如图，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC的中点，

已知BC=10，则DE的长为（）

2.如图，

，那么

（）

A．55°B．65°C．75°D．85°

3.如图，将

沿

折叠，使点

与

边的中点

重合，下列结论中：

①

且

；②

；③

④

，正确的个数是（）

A．1B．2C．3D．4

4.已知等腰三角形的一个内角为

，则这个等腰三角形的顶角为（）

A．

B．

C．

或

D．

或

5.如图，已知△ABC为直角三角形，∠C=90°，若沿图中虚线剪去∠C，则∠1＋∠2等于

A．315°

B．270°

C．180°

D．135

6.如图，在ΔABC中，AC=DC=DB，∠ACD=100°，则∠B等于（）。

A．50°B．40°

C．25°D．20°

7.某机器零件的横截面如图所示，按要求线段

和

的延长线相交成直角才算合格，

一工人测得

，

，

，请你帮他判断该零件是否合格．（填

“合格”或“不合格”）