全等三角形性质教案.docx

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全等三角形性质教案

教案序号

总第课时（一课一个教案）

教案书写人

田吉成

教学课题

全等三角形

三维目标

知识目标

掌握全等三角形对应边相等、对应角相等的性质，并能进行简单的推理计算。

能力目标

培养学生动手能力、观察能力、归纳知识的能力。

情感目标

通过观察、实验交流等活动增强学生对数学的兴趣。

教学重、

难、疑点

教学重点：

1会看图，会找到三角形的对应边、对应角。

2、掌握全等三角形的对应边相等、对应角相等的性质。

教学难点：

找全等三角形的对应边、对应角。

教学方法

教法

引导探索研究发现法

学

法

主动探索研究发现法

教具学具

准备

纸、剪刀、直尺

教学过程设计

巧设情景

导入新课

见过程

过

程

与

方

法

教学环节与步骤

课

堂

要

素

提

示

充分体现“自主、合作，分层评价”（渗透探究的内涵）的教学特色

（力求课堂活而不乱，实而不闷）

“知识是能力的基础，能力是知识的升华，情感是力量的源泉”

通过各种途径，培养学生的搜索力、发现力、概括力、想象力、记忆力

思维力、操作力、应变力、创造力和自我调控力

教师活动（恰到好处的主导作用）

学生活动（体现充分的主体作用）

知

识

与

技

能

情

感

态

度

与

价

值

观

一、实验活动

找出图画中全等的图形：

（课件展示）

从而引出全等三角形的定义及性质

1．全等三角形的定义及有关概念和性质．

（1）定义：

全等三角形是能够完全重合的两个三角形或形状相同、大小相等的两个三角形．

（2）反例：

举出不全等的三角形的例子，利用教师和学生手中的含30°角的三角板说明只满足形状相同的两个图形不是全等形，强调定义的条件．

教师提问：

请同学们观察周围有没有能完全重合的两个平面图形？

学生在生活中找图形。

（3）对应元素及性质：

教师结合手中的教具说明对应元素（顶点、边、角）的含义，并引导学生观察全等三角形中对应元素的关系，发现对应边相等，对应角相等．教师启发学生根据“重合”来说明道理．

2．学习全等三角形的符号表示及读法和写法．

解释“≌”的含义和读法，并强调对应顶点写在对应位置上．

举例说明：

如图，∵△ABC≌DFE，（已知）

∴AB=DF，AC=DE，BC=FE，（全等三角形的对应边相等）

∠A=∠D，∠B=∠F，∠C=∠E．（全等三角形的对应角相等）

教师小结：

在书写全等三角形时，如果将对应顶点写在对应位置上，那么，将两个三角形的顶点同时按1→2→3→1的顺序轮换，可写出所有对应边和对应角相等的式子，而不会找错，并节省观察图形的时间．

二、总结寻找全等三角形对应元素的方法，渗透全等变换的思想

（1）全等用符号_________表示.读作__________.

（2）三角形ABC全等于三角形DEF,用式子表示为______________

（3）已知△ABC和△A′B′C′中,∠A=∠A′,∠B=∠B′∠C=∠C′;

阅读课文

理解概念

举手回答

理解推理过程

关注“易错点”

口答（抢答）

AB=A′B′,BC=B′C′,AC=A′C′.则△ABC_______△A′B′C′.

（4）如右图△ABC≌△BCD,∠A的对应角是∠D,∠B的对应角∠E,则

∠C与____是对应角;AB与_____是对应边,BC与_____是对应边,

AC与____是对应边.

（5）判断题:

①全等三角形的对应边相等,对应角相等.（）

②全等三角形的周长相等.（）

③面积相等的三角形是全等三角形.（）

④全等三角形的面积相等.（）

三、性质应用举例

1．性质的基本应用．

例1已知：

△ABC≌△DFE，∠A=96°，∠B=25°，DF=10cm．求∠E的度数及AB的长．

例2如图，已知CD⊥AB于D，BE⊥AC于E，△ABE≌△ACD，∠C=20°，AB=10，AD=4，G为AB延长线上一点．求∠EBG的度数和CE的长．

分析：

（1）图中可分解出四组基本图形：

有公共角的Rt△ACD和Rt△ABE；

△ABE≌△ACD，△ABE的外角∠EBG或∠ABE的邻补角∠EBG．

（2）利用全等三角形的对应角相等性质及外角或邻补角的知识，求得∠EBG等于160°．

（3）利用全等三角形对应边相等的性质及等量减等量差相等的关系可得：

CE=CA-AE=BA-AD=6．

小结：

1．学生回忆这节课：

在自己动手实际操作中，得到了全等三角形的哪些知识？

听教师讲解

学生小结

（1）全等三角形的定义、判断方法、性质．

（2）找全等三角形对应元素的方法．注意挖掘图形中隐含的条件，如公共元素、对顶角等，但公共顶点不一定是对应顶点．

2．在运用全等三角形的定义和性质时应注意什么问题？

教师应强调全等三角形及性质的规范书写格式．

3．了解全等变换的思想，更好地识别全等三角形及对应元素．

精选课堂练习

基础题有广度

（投影显示或书面练习）

提高题有梯度

（投影显示或书面练习）

（习题适应全体学生）

见过程

（习题适应不同层次的学生）

巧布课外

作业

巩固基础提升能力拓展思维

（巧字体现在试题能面向生活，面向生产，面向社会，面向“三考”，能紧跟时代步伐，将知识转化为能力，着力培养学生的应用能力、探究精神、创新精神及其能力）

（自编或从各种资料上精选试题，份量适中，不能给学生加重负担）

课本P137习题5.7：

1、2。

课

后

记

（本课或本章节教学反思）

第十二章全等三角形

12.1全等三角形

知识点一全等形

形状、大小相同的图形放在一起能够完全重合。

能够（）的两个图形叫做全等形.两个图形是否全等只与这两个图形的形状、大小有关，与图形的位置无关。

判断两个图形全等的条件：

1、叠合在一起看是否能够完全重合

2、形状相同、大小相等二者缺一不可。

知识点二全等三角形

能够（）两个三角形叫做全等三角形，“全等”用

表示，读作“全等于”

两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上，如

全等时，点A和点D，点B和点E，点C和点F是对应顶点，记作

知识点三全等变换

一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了，但形状、大小都没有改变，即平移、翻折、旋转前后的图形（），这样的只改变图形的位置，不改变图形形状、大小变换就是（）

知识点四对应顶点、对应边、对应角

把两个全等的三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角

寻找对应元素的规律（一般地说）

（1）有公共角的，公共角是对应角；

（2）有对顶角的，对顶角是对应角；

（3）全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角。

（4）一对最大的角是对应角，一对最小的角是对应角。

对应边的方法

（1）有公共边的，公共边是对应边

（2）全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边；

（3）一对最长的边是对应边，一对最短的边是对应边。

例题1、如图1，已知△ABE≌△ACD，∠ADE=∠AED，∠B=∠C，指出其他的对应边和对应角．

图1图2图3

知识点五全等三角形的性质

全等三角形性质：

1、全等三角形的对应边相等；

2、全等三角形的对应角相等。

3、全等三角形对应边上的中线、高、对应角的平分线也重合也相等。

4、全等三角形的周长和面积也相等。

练习1.全等用符号__表示.读作__.

2.△ABC全等于三角形△DEF，用式子表示为__.

3.△ABC≌△DEF，∠A的对应角是∠D，∠B的对应角∠E，则∠C与__是对应角；AB与__是对应边，BC与__是对应边，AC与__是对应边.

4.判断题：

（1）全等三角形的对应边相等，对应角相等.（）

（2）全等三角形的周长相等.（）

（3）面积相等的三角形是全等三角形.（）（4）全等三角形的面积相等.（）

常见题型一运用三角形的性质求角度及线段的长。

1、如图2，

已知：

，BE=4，求

的大小,DC的长。

常见题型二利用全等变换解决几何问题

2、如图3,矩形ABCD沿AM折叠,使D点落在BC上的N点处,如果AD=7cm,DM=5cm,∠DAM=39°,则AN=___cm,NM=___cm,∠NAB=___.

3、如图，原来是重叠的两个直角三角形，将其中一个三角形沿着BC方向平移BE的距离，就得到此图形，其中AB=8，BE=5，DH=3，求阴影部分的面积。

（32.5）

4、如图，两个重叠的直角三角形，将其中一个直角三角形沿

BC方向平移得到△DEF，如果AB=8，BC=4,DH=3求S阴（）

5、如图，长方形ABCD沿AE折叠，使点D恰好落在BC边上，

得点F，若∠FEC=40°，求∠EAF的度数

全等三角形的判定（SSS）

知识点一三角形全等的判定一----边边边

三边对应相等的两个三角形全等（简写成边边边，或SSS）

问题：

△ABC和△DEF全等是不是一定要满足AB=DE,BC=EF,AC=DF,∠A=∠D,∠B=∠E,∠C=∠F这六个条件呢？

若满足这六个条件中的一个、两个或三个条件,这两个三角形全等吗?

一个条件可分为：

一组边相等和一组角相等

两个条件可分为：

两个边相等、两个角相等、一组边一组角相等

探究一：

1.只给一个条件（一组对应边相等或一组对应角相等）。

①只给一条边：

②只给一个角：

2.给出两个条件：

①一边一内角：

②两内角：

②两内角：

③两边：

问题3：

两个三角形若满足这六个条件中的三个条件能保证它们全等吗？

满足三个条件有几种情形呢？

3.给出三个条件

三个条件可分为：

三条边相等、三个角相等、两角一边相等、两边一角相等

例：

画△ABC,使AB=2,AC=3,BC=4

画法:

1画线段BC=4

2分别以A、B为圆心，以2和3为半径作弧，交于点C。

则△ABC即为所求的三角形

把你画的三角形与其同桌所画的三角形剪下来，进行比较，它们能否互相重合？

归纳：

有三边对应相等的两个三角形全等.

可以简写成“边边边”，或“SSS”

用数学语言表述：

在△ABC和△DEF中

AB=DE

BC=EF

CA=FD

∴△ABC≌△DEF（SSS）

例题1、如图，AB=CD，AC=BD，△ABC和△DCB是否全等？

试说明理由。

解：

△ABC≌△DCB，理由如下：

在△ABC和△DCB中

∴△ABC≌（）

例２.如下图，△ABC是一个刚架，AB=AC，AD是连接A与BC中点D的支架。

求证：

△ABD≌△ACD

证明的书写步骤：

①准备条件：

证全等时把要用的条件要先证好；

②三角形全等书写步骤：

1写出在哪两个三角形中

2摆出三个条件用大括号括起来

3写出全等结论

注意事项：

有的题目可以直接从题中和图中找到全等的条件，二有些题目的已知条件隐含在题设和图形中，如公共边，公共角，对顶角等等，解题是认真读图，把握题意，找准所需条件。

中考考点说明：

概念和性质在中考中难度不大，试题多以填空选择出现，考察图形的平移，旋转，翻折对全等三角进行变换，主要靠性质。

12.2全等三角形的判定（SSS）

1、如图1，AB=AD，CB=CD，∠B=30°，∠BAD=46°，则∠ACD的度数是（）

°°°°

2、如图2，线段AD与BC交于点O，且AC=BD，AD=BC，则下面的结论中不正确的是（）

A.△ABC≌△BADB.∠CAB=∠DBAC.OB=OCD.∠C=∠D

3、在△ABC和△A1B1C1中，已知AB=A1B1，BC=B1C1，则补充条件____________，可得到△ABC≌△A1B1C1．

4、如图3，AB=CD，BF=DE，E、F是AC上两点，且AE=CF．欲证∠B=∠D，可先运用等式的性质证明AF=________，再用“SSS”证明______≌_______得到结论．

5、如图，AB=AC，BD=CD，求证：

∠1=∠2．

6、如图，已知AB=CD，AC=BD，求证：

∠A=∠D．

7、如图，AC与BD交于点O，AD=CB，E、F是BD上两点，且AE=CF，DE=BF.请推导下列结论：

⑴∠D=∠B；⑵AE∥CF．

8、已知如图，A、E、F、C四点共线，BF=DE，AB=CD.

⑴请你添加一个条件，使△DEC≌△BFA；

⑵在⑴的基础上，求证：

DE∥BF.

9、如下图，△ABC是一个风筝架，AB=AC，AD是连接A与BC中点D的支架。

求证：

AD⊥BC

12.2全等三角形的判定（SAS）

知识点二两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。

（可以简写成边角边或SAS）

知识点三有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形（）全等。

（自己画图）

知识点四1、尺规作图：

用无刻度的直尺和圆规作图的方法称为尺规作图。

2、作一个角∠AOB等于已知∠C。

（保留作图痕迹）

3、作∠AOB的平分线，（保留痕迹）

1、如图1，AB∥CD，AB=CD，BE=DF，则图中有多少对全等三角形（）

A.3B.4C

2、如图2，AB=AC，AD=AE，欲证△ABD≌△ACE，可补充条件（）

A.∠1=∠2B.∠B=∠CC.∠D=∠ED.∠BAE=∠CAD

3、如图3，AD=BC，要得到△ABD和△CDB全等，可以添加的条件是（）

∥∥BCC.∠A=∠CD.∠ABC=∠CDA

4、如图4，AB与CD交于点O，OA=OC，OD=OB，∠AOD=________，根据_________可得到△AOD≌△COB，从而可以得到AD=_________．

5、如图5，已知△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC，请补充完整过程说明△ABD≌△ACD的理由．

∵AD平分∠BAC，∴∠________=∠_________（角平分线的定义）.

在△ABD和△ACD中，

∵____________________________，∴△ABD≌△ACD（）

6、如图6，已知AB=AD，AC=AE，∠1=∠2，求证∠ADE=∠B.

7、如图，已知AB=AD，若AC平分∠BAD，问AC是否平分∠BCD？

为什么？

8、如图，在△ABC和△DEF中，B、E、F、C，在同一直线上，下面有4个条件，请你在其中选3个作为题设，余下的一个作为结论，写一个真命题，并加以证明.

①AB=DE；②AC=DF；③∠ABC=∠DEF；④BE=CF.

9、如图⑴，AB⊥BD，DE⊥BD，点C是BD上一点，且BC=DE，CD=AB．

⑴试判断AC与CE的位置关系，并说明理由．

⑵如图⑵，若把△CDE沿直线BD向左平移，使△CDE的顶点C与B重合，此时第⑴问中AC与BE的位置关系还成立吗？

（注意字母的变化）

全等三角形（三）AAS和ASA

【知识要点】

1．角边角定理（ASA）：

有两角及其夹边对应相等的两个三角形全等.

2．角角边定理（AAS）：

有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等.

【典型例题】

例1．如图，AB∥CD，AE=CF，求证：

AB=CD

例2．如图，已知：

AD=AE，

，求证：

BD=CE.

例3．如图，已知：

，

求证：

OC=OD.

例4．如图已知：

AB=CD，AD=BC，O是BD中点，

过O点的直线分别交DA和BC的延长线于E，F.求证：

AE=CF.

例5．如图，已知

，AB=AD.求证：

BC=DE.

例6．如图，已知四边形ABCD中，AB=DC，AD=BC，点F在AD上，

点E在BC上，AF=CE，EF的对角线BD交于O，请问O点有何特征？

【经典练习】

1.△ABC和△

中，

，

则△ABC与△

.

2．如图，点C，F在BE上，

请补充一个条件，使△ABC≌DFE,补充的条件是.

3．在△ABC和△

中，下列条件能判断△ABC和△

全等的个数有（）

①

，

②

，

，

③

，

④

，

，

A．1个B.2个C.3个D.4个

4．如图，已知MB=ND，

，下列条件不能判定是△ABM≌△CDN的是（）

A．

B.AB=CD

C．AM=CN

D.AM∥CN

5．如图2所示，∠E=∠F=90°，∠B=∠C，AE=AF，给出下列结论：

①∠1=∠2②BE=CF③△ACN≌△ABM④CD=DN

其中正确的结论是__________________。

（注：

将你认为正确的结论填上）

图2图3图4图5

6．如图3所示，在△ABC和△DCB中，AB=DC，要使△ABO≌DCO，请你补充条件________________（只填写一个你认为合适的条件）.

7.如图4，已知∠A=∠C，AF=CE，DE∥BF，求证：

△ABF≌△CDE.

8．如图5，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D、E，BE交CD于F，

且AD=DF，求证：

AC=BF。

9.如图6，AB，CD相交于点O，且AO=BO，试添加一个条件，

使△AOC≌△BOD，并说明添加的条件是正确的。

（不少于两种方法）

10．如图，已知：

BE=CD，∠B=∠C，求证：

∠1=∠2。

11.如图，在Rt△ABC中，AB=AC，∠BAC=90º，多点A的任一直线AN，BD⊥AN于D，

CE⊥AN于E，你能说说DE=BD-CE的理由吗？

直角三角形全等HL

【知识点】

斜边直角边公理：

斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。

（HL）（适用于直角三角形）

【典型例题】

例1如图，B、E、F、C在同一直线上，AE⊥BC，DF⊥BC，AB=DC，BE=CF，试判断AB与CD的位置关系.

例2已知如图，AB⊥BD，CD⊥BD，AB=DC，求证：

AD∥BC.

例3公路上A、B两站（视为直线上的两点）相距26km，C、D为两村庄（视为两个点），DA⊥AB于点A，CB⊥AB于点B，已知DA=16km，BC=10km，现要在公路AB上建一个土特产收购站E，使CD两村庄到E站的距离相等，那么E站应建在距A站多远才合理？

例4、如图，AD是△ABC的高，E为AC上一点，BE交AD于F，

具有BF=AC，FD=CD，试探究BE与AC的位置关系.

例5如图，A、E、F、B四点共线，AC⊥CE、BD⊥DF、

AE=BF、AC=BD，求证：

△ACF≌△BDE.

【经典练习】

1．在Rt△ABC和Rt△DEF中，∠ACB=∠DFE=

，AB=DE，AC=DF，那么Rt△ABC与Rt△DEF（填全等或不全等）

2．如图，点C在∠DAB的内部，CD⊥AD于D，CB⊥AB于B，CD=CB那么Rt△ADC≌Rt△ABC的理由是（）

A．SSSB.ASAC.SASD.HL

3．如图，CE⊥AB，DF⊥AB，垂足分别为E、F，AC∥DB，且AC=BD，那么Rt△AEC≌Rt△BFC的理由是（）.

A．SSSB.AASC.SASD.HL

4．下列说法正确的个数有（）.

①有一角和一边对应相等的的两个直角三角形全等；

②有两边对应相等的两个直角三角形全等；

③有两边和一角对应相等的两个直角三角形全等；

④有两角和一边对应相等的两个直角三角形全等.

A．1个B.2个C.3个D.4个

5．过等腰△ABC的顶点A作底面的垂线，就得到两个全等三角形，其理由是.

6．如图，△ABC中，∠C=

，AM平分∠CAB，CM=20cm，那么M到AB的距离是（）cm.

7．在△ABC和△

中，如果AB=

，∠B=∠

，AC=

，那么这两个三角形（）.

A．全等B.不一定全等C.不全等D.面积相等，但不全等

8．如图，∠B=∠D=

，要证明△ABC与△ADC全等，还需要补充的条件是.

9．如图，在△ABC中，∠ACB=

，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E，

求证：

DE=AD+BE.

10．如图，已知AC⊥BC，AD⊥BD，AD=BC，CE⊥AB，DF⊥AB，

垂足分别为E、F，那么，CE=DF吗？

谈谈你的理由!

11．如图，已知AB=AC，AB⊥BD，AC⊥CD，AD，BC相交于点E，

求证：

（1）CE=BE；

（2）CB⊥AD.

提高题型：

1.如图，△ABC中，D是BC上一点，DE⊥AB，DF⊥AC，E、F分别为垂足，

且AE=AF，试说明：

DE=DF，AD平分∠BAC.

2、如图，在ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，

垂足分别是E、F，且DE=DF，试说明AB=AC.

3.如图，AB=CD，DF⊥AC于F，BE⊥AC于E，DF=BE，求证：

AF=CE.

4、如图，△ABC中，∠C=90°，AB=2AC，M是AB的中点，

点N在BC上，MN⊥AB。

求证:

AN平分∠BAC。

角平分线的性质及判定及典型例题

一、角平分线的作法（尺规作图）

①以点O为圆心，任意长为半径画弧，交OA、OB于C、D两点；

②分别以C、D为圆心，大于CD长为半径画弧，两弧交于点P；

③过点P作射线OP，射线OP即为所求．

2.角平分线的性质及判定

（1）角平分线的性质：

角的平分线上的点到角的两边的距离相等．

①推导

已知：

OC平分∠MON，P是OC上任意一点，PA⊥OM，PB⊥ON，垂足分别为点A、点B．求证：

PA＝PB．

证明：

∵PA⊥OM，PB⊥ON

∴∠PAO＝∠PBO＝90°

∵OC平分∠MON

∴∠1＝∠2

在△PAO和△PBO中，

∴△PAO≌△PBO

∴PA＝PB

②几何表达：

（角的平分线上的点到角的两边的距离相等）

如图所示，∵OP平分∠MON（∠1＝∠2），PA⊥OM，PB⊥ON，

∴PA＝PB．

（2）角平分线的判定：

角的内部，到角的两边的距离相等的点在角的平分线上．

①推导

已知：

点P是∠MON内一点，PA⊥OM于A，PB⊥ON于B，且PA＝PB．

求证：

点P在∠MON的平分线上．

证明：

连结OP

在Rt△PAO和Rt△PBO中，

∴Rt△PAO≌Rt△PBO（HL）

∴∠1＝∠2

∴OP平分∠MON

即点P在∠MON的平分线上．

②几何表达：

（到角的两边的距离相等的点在角的平分线上．）

如图所示，∵PA⊥OM，PB⊥ON，PA＝PB∴∠1＝∠2（OP平分∠MON）

3.角平分线性质及判定的应用

①为推导线段相等、角相等提供依据和思路；

②实际生活中的应用．

例：

一个工厂，在公路西侧，到公路的距离与到河岸的距离相等，并且到河上公路桥