如果6,那么G的阶|g|=（）
A、6；B、24；C、10；D、12。
答案：
B17、设f：
GtG2是一个群同态映射，那么下列错误的命题是（）
A、f的同态核是Gi的不变子群;
B、G2的不变子群的逆象是Gi的不变子群;
C、G的子群的象是G2的子群;
D、Gi的不变子群的象是G2的不变子群。
答案：
D
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18、设f:
RiTR2是环同态满射，f（a）=b，那么下列错误的结论为（）
A、若a是零元，则b是零元；B、若a是单位元，则b是单位元;
C、若a不是零因子，则b不是零因子；D、若R2是不交换的，则Ri不交换。
答案：
C
佃、下列正确的命题是（）
答案：
A
20、若I是域F的有限扩域,
E是I的有限扩域，那么（）
答案：
D
二、填空题
1、集合A的一个等价关系需满足自反性、对称性和（）。
答案：
传递性
2、设A,B都为有限集，且|a卜m，|B=
=n，则1A%B|=0.
答：
mn
3.设R是集合A=｛平面上所有直线｝上的关系:
I
hRI2=I1//I2或ll“2_（Il,l2忘A），则R（）等价关系。
答：
是
4、设群G中的元素a的阶为m则an=e的充要条件是（）。
答：
mn
5、群G的非空子集H作成G的一个子群的充要条件是（）。
答：
Wa’b€H,有ab4迂H
6n次对称群Sn的阶是（）。
答：
n!
答：
a=e
9、最小的数域是（）0
答:
答:
答：
交换群
答:
16、如果环R的乘法满足交换律，即FaRER，有ab-ba，则称r为（）环
答：
交换环
17、数集关于数的加法和乘法作成的环叫做（）环。
答：
数环
18、设有限域F的阶为81,则的特征P=（）o
答：
3
19、已知群G中的元素a的阶等于50,则a4的阶等于（）。
答：
25
20、一个有单位元的无零因子（）称为整环。
答：
交换环
a是一个国际标准书号，那么a=（）。
答:
6
22.剩余类加群乙2有（）个生成元.
6
设群G的元a的阶是n,贝Uak的阶是（）
答:
答:
答:
答:
凯莱定理说：
任一个子群都同一个（）同构。
n/（k,n）（（k,n）表示k和n的最大公约数）
32、
给出一个5-循环置换兀=（31425），那么兀J=（）。
33、
若I是有单位元的环R的由a生成的主理想，那么I中的元素可以表达为（）。
34、若R是一个有单位元的交换环，I是R的一个理想，那么%是一个域当且仅当I是（）。
答：
一个最大理想
35、整环I的一个元P叫做一个素元，如果（）。
答：
P既不是零元，也不是单位，且q只有平凡因子
36、若域F的一个扩域E叫做F的一个代数扩域，如果（）。
答：
E的每一个元都是F上的一个代数元
二、判断题
9、
若环R满足左消去律，那么R必定没有右零因子。
（V）
F（x）中满足条件P（…。
的多项式叫做元爲域F上的极小多项式。
（X）
10、若域E的特征是无限大，那么E含有一个与%p）同构的子域，这里Z是整数环，（P）是由素
数P生成的主理想。
（X）
四、解答题
1、A=｛数学系的全体学生｝，规定关系R:
a，b亡AaRb^a与b同在一个班级，证明r是a的一个等价关系。
答案：
自反性：
自己与自己显然在同一个班级对称性：
若a与b同在一个班级，显然b与a同在一个班级传递性：
若a与b同在一个班级,b与c同在一个班级，显然a与c同在一个班级.
2、在R中的代数运算"是否满足结合率和交换率?
a叱=a+b+ab（等式右边指的是普通数的运算）
答：
因为对于Va,b,^R，有（a叱尸c=（a+b+ab尸c
=（a+b+ab）+c+（a+b+abc=a+b+ab+c+ac+bc+abc，
根据实数的加法与乘法的运算率得
又a°b=a+b+ab=b+a+ba=bGa。
所以，R的代数运算「既满足结合率，又满足交换率。
3、设集合A='abc,d},B={c,d，e}，求aUB,AnB,A-B,（A-B）U（B-A）。
答案：
aUb={c,d},AnB={a,b,c,d,e},
4、设G=S3=0）（12）（13）（23）（123）（132》，
1
二❻“12》，求G关于子群H的左陪集分解。
答：
（1H=（12）H=H，
（13H=（123）H=03）（123》
（23H=（132）H={（23）（132?
。
因而，G关于子群H的左陪集分解为
，证明e=f，而且是S的唯一单位元。
G=HU（13HU（23）H。
5、设半群（S,・）既有左单位元：
e,又有右单位元
答：
证明ef=e（因f是右单位元），ef=f（因e是左单位元），得e=
若S还有单位元e1，则e=ee=0，故e是S的唯一单位元。
6对于下面给出的Z到Z的映射f，g，h
计算fOg,gOf,g（3h,hOg,fSgOh。
答案:
7、设H是G的不变子群，则Fa-G，有aHa""=H。
答：
因H是G的不变子群，故对于V^G，有aH=Ha，于是
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aHa-=（aHa~=（Haa二=H（aa'）=He=H。
8、设0是环R的零元，则对于Va亡R,O・a=a0=O。
答：
因为a-R,有
0£=（0+0）a=0G+0£
由于R关于加法作成群，即R对于加法满足消去律，在上式中两边同时消去0a，得0”a=0。
同理
可得a0=0。
9、如果半群G有一个左单位元e,并且对于Va-G，存在左逆元a」-G，使得a」a=e，则G是
一个群。
iii亠'
答：
Va-G，由条件知，有左逆元a-G,使得aa=e，而对于a在G中也存在左逆元a,使
得aa」=e，贝q有所以，a的左逆元a」也是a的右逆元，即a】在G中有逆元a」又由于ae-afeAakfea」a=ea=a，知e是G的单位元。
故G是一个群。
10、证明R为无零因子环的充分必要条件是在环R中关于乘法左消去律成立。
答：
设环R没有左零因子，如果有ab=ac,，则有
ab-ac=a（b-c）=0，
当aH0时，由于R没有左零因子，得b-c=0，即b二C,R中关于乘法左消去律成立。
反之，若在R中关于乘法左消去律成立，如果a工0，有ab=0，即
ab=0=a、0，左消去a得b=0，即R中非零元均不是左零因子，故R为无零因子。
11、若h，1?
是R的两个理想，则
匚h'X2匚丨2也是R的一个理想。
答：
Fx,y€li+12,Fr忘R，则有
X=xi+x2,y=yi+y2，（Xi,yi丘Ii；X2,y^I2），从而
X-y=（Xi—yi）中（X2-y2）亡li+l2；
rx=「（Xj+X2）二伙^,+rx2€h+12；
xr=（x1+X2）r=xj+X2r壬h+12。
所以，h+l2是R的一个理想。
12、设G=S3M
（1）,（12）,（13）,（23）,（123）,（132）},H={
（1）,（12）},则h是G的一个子群，写出G关于H
的所有左陪集的分解.
13、在Q中的代数运算"是否满足结合率和交换率?
2299
答：
取a=1,b=2,c=3,则（1^2尸3=2"3=3=9，1"（2"^=r^3=9=81
22
又1"2=2=4,2"1=1=1。
所以，Q的代数运算。
既不满足结合率，又不满足交换率。
14、设G2七”12”13"23”123”132》，H七川2^，求g关于子群H的右陪集分解。
I
答：
H
（1）=H（12）-qiHiZy，，III
H（13）=H（132）=03）（132》，
H（23）=H（123）=勺23）（123》。
因而，G关于子群H的右陪集分解为
G=HUh（130H（23）。
15、设S是有单位元e的半群，a-S，若a有左逆元ai，又有右逆元a2，则a是可逆元，且ai=a2
是a的唯一的逆元。
答：
证明由条件知，aia^e,aa2^e,则有a2=ea2=（aiaa2=ai（aa2）=aie=ai,
若b,c都是a的逆元，同理有b=be=b（ac）=（baC=ec=c
故a有唯一的逆元。
16、设R是环，贝UWa,b忘R，有（―a）b=a（—b）=—（ab）。
答.由（-a）b+ab=（-a+a）b=0b=0，得
-（ab）=（-a）b,
同理，由a（4）+ab=a（4+b）=a“0=0，得
—（ab）=a（—b）。
17、设H是G的子群，若对于羽亡G,Vh亡H，有ahafH，贝UH是G的不变子群。
答：
任取定a-G，对于ah忘aH，由于aha‘亡H，则存在h^H，使得
aha‘=h,=ah=ga忘Ha=aH匸Ha；
1111
Vha亡Ha，由于aha=ah（a）H，故存在h2H，使得
aha=h2=ha=ah2忘aH=Ha匸aH。
1
因此，对于如G，有aH=Ha。
故H是G的不变子群。
18、如果G是半群，则G是群的充分必要条件是：
PaZG，方程ax=b和ya=b在G中有解。
答：
必要性。
因G是群，则如G在G中有逆元a」，则a'b，ba'-G，分别代入方程ax=b和ya=b，有
111_1
afeb）=（aab=eb=b（baa=b（aa）=be=b
即ab,ba分别为方程ax=b和ya=b的解。
充分性。
因G是半群，则是非空集合，取定a-G，则方程ya=a在G中有解e,即存在G中的元素e，使得ea=a。
下证e是G的左单位元。
，方程ax=b和在G中有解c，即ac=b，
于是eb=e（ac）=（eajc=ac=b，则e是G的一个左单位元。
又Wa-G，方程ya=e在G中有解a'，即aa=e，得a'是a的一个左逆元。
从而得G中的每一个
元素a都有左逆元。
故G是群。
19、证明R为无零因子环的充分必要条件是在环R中关于乘法右消去律成立。
答：
设环R没有左零因子，则也无右左零因子。
于是由ba=ca，得
ba—ca=（b—c）a
当aHO时，由于R没有右零因子，得b_c=0，即b=c，R中关于乘法右消去律成立。
反之，若在R中关于乘法右消去律成立，如果3工0，有ba=O，即
ba=0=0a，右消去a得b=0，即R中非零元均不是右零因子，故R为无零因子。
20、设R为交换环，a迂R,la=&迂Rax=0｝，证明：
〔a是R的理想。
答：
（1）Fa’bGa，则ax=0,bx=0，从而ax—bx=0，（a-Rx^O
即a—b引a
（2）WaGaNr忘R，有ax=0，由于R为交换环，从而rax=r0=axr=0r=0，即ar，ra忘Ia。
因此Ia是R的理想。
1
21、G=（z，+），对G规定结合法“e”
aOb=a+b-2证明（G』）是一个群。
证明••旳"为G的一个二元运算显然，设a,b,c是G中任意三个元,
=a+（b-2+c）-2fOw+c-2）=a0（b：
；c）。
G中结合法"0"满足结合律。
又2壬G，易知2是（G，°）的单位元。
如G，直接验算得4-a是a在（G,0）中的逆元。
所以（G'O）是一个群。
’
22、设G是非Abel群，证明存在非单位元a,b，b使ab=ba。
证：
利用元素和它的逆可交换，或元素和它的幕可交换。
但要求元素和它的逆（幕）不等。
由于
G是非Abel群，必有阶数大于2的元素a，因而a^a-1，取b=a-1，则ab=ba。
23、设H（1）a-1b€H,
（2）b€aH,（3）aH=bH,（4）aHnbH^?
。
=>
证本题主要熟悉陪集性质。
用循环证法。
:
a-1b€H=>ci1b=h=>b=ah=>b€aH。
（2）
（3）
b€aH=>b=ah=>a=bh=>aH属于bH,综上得aH=bH
=>
含Z的分式域Q,因此F=Q
:
aHnbHM?
=>存在hi,h2€H使ahi=bh2=>a-1b=hih2-1=>a-1b€H。
24、叙述群的定义。
答：
封闭律、结合律、有单位元、每元有逆元。
25、列出2个群的实例，其中一个是有限群，另一个是无限群。
答：
加群Zn与乙
26、整数环的商域（分式域）是什么域？
"
答：
有理数域。
27、证明有理数域不包含真子域。
答案：
有理数域Q的任何子域F—定含单位元1,因此F包含整数环乙而一个域含整数环Z则必
I
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