山东省高中物理选修11讲义太阳与行星间的引力万有引力定律Word下载.docx
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（1）目的：
验证月球绕地球运动的力与使得苹果下落的力是同一种力，从而将太阳与行星间的引力规律推广到宇宙中的一切物体之间。
（2）原理：
计算月球绕地球运动的向心加速度an，将an与物体在地球附近下落的加速度——自由落体加速度g比较，看是否满足an＝g。
（3）结论：
数据表明，an与g相等，这说明地面物体受地球的引力、月球受地球的引力，以及太阳、行星间的引力，遵从相同的规律。
2．万有引力定律
（1）内容：
自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量m1和m2的乘积成正比、与它们之间距离r的二次方成反比。
（2）公式：
F＝G。
（3）引力常量：
上式中G叫引力常量，大小为6.67×
m2/kg2，它是由英国科学家卡文迪许在实验室里首先测出的，该实验同时也验证了万有引力定律。
1．自主思考——判一判
（1）公式F＝G中G是比例系数，与太阳行星都没关系。
（√）
（2）在推导太阳与行星的引力公式时，用到了牛顿第二定律和牛顿第三定律。
（3）由于天体间距离很远，在研究天体间的引力时可以将它们视为质点。
（4）月球绕地球做匀速圆周运动是因为月球受力平衡。
（×
）
（5）月球做圆周运动的向心力是由地球对它的引力产生的。
（6）地球对月球的引力与地面上的物体所受的地球的引力是两种不同性质的力。
2．合作探究——议一议
（1）由G＝mg知，地面上的物体所受重力与地球的质量无关，对吗？
提示：
不对，重力加速度g与地球的质量有关。
地面上物体受到的重力近似等于地球对它的万有引力，即mg＝G，可得g＝G，其中M和R表示地球的质量和半径。
（2）如图所示，行星所做的匀速圆周运动与我们平常生活中见到的匀速圆周运动是否符合同样的动力学规律？
如果是，分析行星的受力情况。
行星与平常我们见到的做匀速圆周运动的物体一样，遵守牛顿第二定律F＝，行星所需要的向心力由太阳对它的引力提供。
对太阳与行星间的引力的理解
1．两个理想化模型
在公式F＝G的推导过程中，我们用到了两个理想化模型。
（1）由于太阳系中行星绕太阳做椭圆运动的轨迹的两个焦点靠得很近，行星的运动轨迹非常接近圆，所以将行星的运动看成匀速圆周运动。
（2）由于天体间的距离很远，研究天体间的引力时将天体看成质点，即天体的质量集中在球心上。
2．推导过程
3．太阳与行星间的引力的特点
太阳与行星间引力的大小，与太阳的质量、行星的质量成正比，与两者距离的二次方成反比。
太阳与行星间引力的方向沿着二者的连线方向。
4．公式F＝G的适用范围
我们在已有的观测结果（开普勒行星运动定律）和理论引导（牛顿运动定律）下进行推测和分析，所得出的结论不但适用于行星与太阳之间的作用力，而且对其他天体之间的作用力也适用。
1．在牛顿发现太阳与行星间的引力过程中，得出太阳对行星的引力表达式后推出行星对太阳的引力表达式，是一个很关键的论证步骤，这一步骤采用的论证方法是（ ）
A．研究对象的选取 B．理想化过程
C．控制变量法D．等效法
解析：
选D 对于太阳与行星之间的相互作用力，太阳和行星的地位完全相同，既然太阳对行星的引力符合关系式F∝，依据等效法，行星对太阳的引力也符合关系式F∝，故D项正确。
2．绕地球做匀速圆周运动的人造卫星，其向心力来源于（ ）
A．卫星自带的动力 B．卫星的惯性
C．地球对卫星的引力D．卫星对地球的引力
选C 绕地球做匀速圆周运动的人造卫星，是由万有引力提供向心力的，即地球对卫星的引力提供向心力，故C正确。
3．根据开普勒关于行星运动的规律和圆周运动知识知：
太阳对行星的引力F∝，行星对太阳的引力F′∝，其中M、m、r分别为太阳、行星质量和太阳与行星间的距离。
下列说法正确的是（ ）
A．太阳对行星的引力提供行星绕太阳做圆周运动的向心力
B．F和F′大小相等，是一对平衡力
C．F和F′大小相等，是同一个力
D．由F∝和F′∝知F∶F′＝m∶M
选A 行星绕太阳做匀速圆周运动，太阳对行星的万有引力提供行星做圆周运动的向心力，故A正确；
根据牛顿第三定律，太阳对行星的引力与行星对太阳的引力是作用力与反作用力，故两个力的大小相等方向相反，故B、D错误；
太阳对行星的引力受力物体是行星，行星对太阳的引力受力物体是太阳，故两个力不是同一个力，故C错误。
对万有引力定律的理解
1．对万有引力定律表达式F＝G的说明
（1）引力常量G：
G＝6.67×
m2/kg2；
其物理意义为：
引力常量在数值上等于两个质量都是1kg的质点相距1m时的相互吸引力。
（2）距离r：
公式中的r是两个质点间的距离，对于质量均匀分布的球体，就是两球心间的距离。
2．F＝G的适用条件
（1）万有引力定律的公式适用于计算质点间的相互作用，当两个物体间的距离比物体本身大得多时，可用此公式近似计算两物体间的万有引力。
（2）质量分布均匀的球体间的相互作用，可用此公式计算，式中r是两个球体球心间的距离。
（3）一个均匀球体与球外一个质点的万有引力也可用此公式计算，式中的r是球体球心到质点的距离。
3．万有引力的四个特性
普遍性
万有引力不仅存在于太阳与行星、地球与月球之间，宇宙间任何两个有质量的物体之间都存在着这种相互吸引的力。
相互性
两个有质量的物体之间的万有引力是一对作用力和反作用力，总是满足大小相等，方向相反，作用在两个物体上。
宏观性
地面上的一般物体之间的万有引力比较小，与其他力比较可忽略不计，但在质量巨大的天体之间或天体与其附近的物体之间，万有引力起着决定性作用。
特殊性
两个物体之间的万有引力只与它们本身的质量和它们间的距离有关，而与它们所在空间的性质无关，也与周围是否存在其他物体无关。
[典例] （多选）对于万有引力定律的表达式F＝G，下列说法中正确的是（ ）
A．公式中G为引力常量，与两个物体的质量无关
B．当r趋近于零时，万有引力趋近于无穷大
C．m1与m2受到的引力大小总是相等的，方向相反，是一对平衡力
D．m1与m2受到的引力大小总是相等的，而与m1、m2是否相等无关
[思路点拨]
（1）万有引力定律是有适用条件的，即两个物体必须能看成质点。
（2）两个物体之间的万有引力是一对作用力与反作用力。
[解析] 公式中的G为比例系数，称作引力常量，与两个物体的质量无关，A对；
当两物体表面距离r越来越小，直至趋近于零时，物体不能再看作质点，表达式F＝G已不再适用于计算它们之间的万有引力，B错；
m1与m2受到彼此的引力为作用力与反作用力，此二力总是大小相等、方向相反，与m1、m2是否相等无关，C错，D对。
[答案] AD
（1）任何两个物体间都存在着万有引力，只有质点间或能看成质点的物体间的引力才可以应用公式F＝G计算其大小。
（2）万有引力与距离的平方成反比，而引力常量又极小，故一般物体间的万有引力是极小的，受力分析时可忽略。
1．如图所示，两球间的距离为r，两球的质量分布均匀，大小分别为m1、m2，半径分别为r1、r2。
则两球的万有引力大小为（ ）
A．GB．G
C．GD．G
选D 对两质量分布均匀的球体，F＝G中的r为两球心之间的距离。
两球的万有引力F＝G，故D正确。
2．要使两物体间的万有引力减小到原来的，下列办法不可采用的是（ ）
A．使物体的质量各减小一半，距离不变
B．使其中一个物体的质量减小到原来的，距离不变
C．使两物体间的距离增为原来的2倍，质量不变
D．使两物体间的距离和质量都减为原来的
选D 根据F＝G可知，A、B、C三种情况中万有引力均减为原来的，当距离和质量都减为原来的时，万有引力不变。
选项D错误。
3．有两个大小一样、同种材料制成的均匀球体紧靠在一起，它们之间的万有引力为F，若用上述材料制成两个半径更小的靠在一起的均匀球体，它们间的万有引力将（ ）
A．等于FB．小于F
C．大于FD．无法比较
选B 根据题意令材料的密度为ρ，则两球的质量分别为ρπR3，根据万有引力定律有：
F＝＝；
由题意可知，当球体半径R减小时，两球间的万有引力将减小，故B正确，A、C、D错误。
万有引力与重力的关系
1.万有引力和重力的关系：
如图所示，设地球的质量为M，半径为R，A处物体的质量为m，则物体受到地球的吸引力为F，方向指向地心O，由万有引力公式得F＝G。
引力F可分解为F1、F2两个分力，其中F1为物体随地球自转做圆周运动的向心力Fn，F2就是物体的重力mg。
2．重力与纬度的关系：
地面上物体的重力随纬度的升高而变大。
（1）赤道上：
重力和向心力在一条直线上F＝Fn＋mg，即G＝mrω2＋mg，所以mg＝G－mrω2。
（2）地球两极处：
向心力为零，所以mg＝F＝G。
（3）其他位置：
重力是万有引力的一个分力，重力的大小mg<
G，重力的方向偏离地心。
3．重力与高度的关系：
由于地球的自转角速度很小，故地球自转带来的影响很小，一般情况下认为在地面附近：
mg＝G，若距离地面的高度为h，则mg＝G（R为地球半径，g为离地面h高度处的重力加速度）。
所以距地面越高，物体的重力加速度越小，则物体所受的重力也越小。
[典例] 地球表面重力加速度为g，忽略地球自转的影响，在距地面高度为h的空中重力加速度是地面上重力加速度的几倍？
已知地球半径为R。
[思路点拨] 忽略地球自转的影响时，物体在地面及地球上空某处受到的重力都可以认为等于地球对它的万有引力。
[解析] 不计地球自转的影响，物体受到的重力等于物体受到的万有引力。
设地球质量为M，物体质量为m，则
在地面：
mg＝G在h高处：
mg′＝G
解得：
＝。
[答案]
关于万有引力和重力关系的处理方法
（1）物体随地球自转时，由于地球自转角速度很小，物体转动需要的向心力很小，一般情况下，认为重力约等于万有引力，即mg＝G。
（2）对于地球的卫星，所受重力等于万有引力，即mg＝G。
1．将物体由赤道向两极移动，则（ ）
A．它的重力减小
B．它随地球转动的向心力增大
C．它随地球转动的向心力减小
D．向心力方向、重力的方向都指向地心
选C 地球表面上所有物体所受地球的万有引力，按其作用效果分为重力和向心力，向心力使物体得以随地球一起绕地轴自转，所以说重力是地球对物体的万有引力的一个分力。
万有引力、重力和向心力三个力遵循力的平行四边形定则，只有万有引力的方向指向地心，选项D错误。
物体由赤道向两极移动时，万有引力大小不变，向心力减小，重力增大，当到达两极时，重力等于万有引力，选项A、B错误，C正确。
2．火星半径约为地球半径的一半，火星质量约为地球质量的。
一位宇航员连同宇航服在地球上的质量为50kg。
求：
（1）在火星上宇航员所受的重力为多少？
（2）宇航员在地球上可跳1.5m高，他在火星上可跳多高？
（取地球表面的重力加速度g＝10m/s2）
（1）由mg＝G，得g＝。
在地球上有g＝，
在火星上有g′＝，
所以g′＝m/s2，
那么宇航员在火星上所受的重力
mg′＝50×
N≈222.2N。
（2）在地球上宇航员跳起的高度为1.5＝，
在火星上宇航员跳起的高度h＝，
联立以上两式得h＝3.375m。
答案：
（1）222.2N
（2）3.375m
1．牛顿发现万有引力定律的思维过程是（ ）
A．理想实验—理论推导—实验检验
B．假想—理论推导—规律形成
C．假想—理论推导—实验检验
D．实验事实—假想—理论推导
选C 牛顿的思维过程：
既然是行星与太阳间的引力使得行星不能飞离太阳，那么是什么力使得地面的物体不能离开地球，总要落回地面呢？
这个力延伸到月球，拉住月球使它绕地球运动的力与拉着苹果下落的力，是否是同一种性质的力？
是否遵循相同的规律？
用月—地检验来验证，故C正确。
2．生活中我们常看到苹果落向地球，而不是地球向上运动碰到苹果。
下列论述中正确的是（ ）
A．原因是苹果质量小，对地球的引力较小，而地球质量大，对苹果的引力较大
B．原因是地球对苹果有引力，而苹果对地球没有引力
C．苹果对地球的作用力和地球对苹果的作用力大小是相等的，但由于地球质量极大，不可能产生明显的加速度
D．以上说法都不对
选C 由牛顿第三定律知，苹果与地球间的相互作用力大小相等，而苹果的质量远小于地球的质量，因而产生的加速度远大于地球的加速度。
3．在物理学的发展过程中，许多科学家做出了贡献，以下说法不符合史实的是（ ）
A．牛顿利用开普勒第三定律和牛顿第三定律发现了万有引力定律
B．卡文迪许测出了引力常量G，被称为“称量地球重量的人”
C．伽利略用“月—地检验”证实了万有引力定律的正确性
D．开普勒在天文观测数据的基础上，总结出了行星运动的规律
选C 牛顿利用开普勒第三定律和牛顿第三定律发现了万有引力定律，选项A正确；
卡文迪许测出了引力常量G，被称为“称量地球重量的人”，选项B正确；
牛顿用“月—地检验”证实了万有引力定律的正确性，选项C错误；
开普勒在天文观测数据的基础上，总结出了行星运动的规律，选项D正确；
此题选择错误的选项，故选C。
4.经国际小行星命名委员会批准，紫金山天文台发现的一颗绕太阳运行的小行星被命名为“南大仙林星”。
如图，轨道上a、b、c、d四个位置中，该行星受太阳引力最大的是（ ）
A．a B．b
C．cD．d
选A 由万有引力表达式F＝G可知，距离越近，万有引力越大，则由题图可知a位置距离太阳最近，故该行星受太阳引力最大的是a位置，故A正确。
5．设地球是半径为R的均匀球体，质量为M，若把质量为m的物体放在地球的中心，则物体受到的地球的万有引力大小为（ ）
A．零B．无穷大
C．GD．无法确定
选A 有的同学认为：
由万有引力公式F＝G，由于r→0，故F为无穷大，从而错选B。
设想把物体放到地球的中心，此时F＝G已不适用。
地球的各部分对物体的吸引力是对称的，故物体受到的地球的万有引力是零，故应选A。
6．[多选]关于引力常量G，下列说法中正确的是（ ）
A．G值的测出使万有引力定律有了真正的实用价值
B．引力常量G的大小与两物体质量的乘积成反比，与两物体间距离的平方成正比
C．引力常量G在数值上等于两个质量都是1kg的可视为质点的物体相距1m时的相互吸引力
D．引力常量G是不变的，其数值大小与单位制的选择无关
选AC 利用G值和万有引力定律不但能“称”出地球的质量，而且可测定远离地球的一些天体的质量、平均密度等，故A正确；
引力常量G是一个普遍适用的常量，其数值等于两个质量都是1kg的质点相距1m时的相互吸引力，它的大小与所选的单位有关，故B、D错误，C正确。
7．卫星在高空某处所受的引力为它在地面某处所受引力的一半，则卫星离地面的高度与地球半径之比为（ ）
A．（＋1）∶1B．（－1）∶1
C.∶1D．1∶
选B 设地球的半径为R，卫星离地面高度为h，所以Fh＝，F地＝，其中Fh＝F地，因此＝，选项B正确。
8．[多选]如图所示，三颗质量均为m的地球同步卫星等间隔分布在半径为r的圆轨道上，设地球质量为M，半径为R。
A．地球对一颗卫星的引力大小为G
B．一颗卫星对地球的引力大小为G
C．两颗卫星之间的引力大小为G
D．三颗卫星对地球引力的合力大小为G
选BC 根据万有引力定律F＝G可知，质量分布均匀的球体间的引力距离r等于两球心间的距离，而r－R为同步卫星距地面的高度，故A错误；
计算卫星与地球间的引力，r应为卫星到地球球心间的距离也就是卫星运行轨道半径r，故B选项正确；
根据几何关系可知，两同步卫星间的距离d＝r，故两卫星间的引力大小为G＝，故C正确；
卫星对地球的引力均沿卫星与地球间的连线向外，由于三颗卫星质量大小相等，对地球的引力大小相等，又因为三颗卫星等间隔分布，根据几何关系可知，地球受到三个卫星的引力大小相等方向成120°
角，所以合力为0，故D错误。
9.[多选]某同学学习了天体运动的知识后，假想宇宙中存在着由四颗星组成的孤立星系。
一颗母星处在正三角形的中心，三角形的顶点各有一颗质量相等的小星围绕母星做圆周运动。
如果两颗小星间的万有引力为F，母星与任意一颗小星间的万有引力为9F。
则（ ）
A．每颗小星受到的万有引力为F
B．每颗小星受到的万有引力为F
C．母星的质量是每颗小星质量的3倍
D．母星的质量是每颗小星质量的3倍
选AC 每颗小星受到的万有引力为2Fcos30°
＋9F＝F，选项A正确，B错误；
设正三角形边长为a，由万有引力定律可得：
＝9G，解得M＝3m，选项C正确，D错误。
10.某地区的地下发现了天然气资源，如图所示，在水平地面P点的正下方有一球形空腔区域内储藏有天然气。
假设该地区岩石均匀分布且密度为ρ，天然气的密度远小于ρ，可忽略不计。
如果没有该空腔，地球表面正常的重力加速度大小为g；
由于空腔的存在，现测得P点处的重力加速度大小为kg（k<
1）。
已知引力常量为G，球形空腔的球心深度为d，则此球形空腔的体积是（ ）
A.B.
C.D.
选D 如果将近地表的球形空腔填满密度为ρ的岩石，则该地区重力加速度便回到正常值，因此，如果将空腔填满，地面质量为m的物体的重力为mg，没有填满时是kmg，故空腔填满后引起的引力为（1－k）mg；
根据万有引力定律，有：
（1－k）mg＝G，解得：
V＝，故D正确。
11．已知太阳的质量为M，地球的质量为m1，月球的质量为m2，当发生日食时，太阳、月球、地球几乎在同一直线上，且月球位于太阳与地球中间，如图所示。
设月球到太阳的距离为a，到地球的距离为b，则太阳对地球的引力F1和太阳对月球的引力F2的大小之比为多少？
由太阳对地球和月球的吸引力满足F＝G，知：
太阳对地球的引力F1＝G，
太阳对月球的引力F2＝G，
故＝。
12．宇航员在地球表面以一定初速度竖直上抛一小球，经过时间t小球落回原处；
若他在某星球表面以相同的初速度竖直上抛同一小球，需经过时间5t小球落回原处。
（取地球表面重力加速度g＝10m/s2，空气阻力不计）
（1）求该星球表面附近的重力加速度g′；
（2）已知该星球的半径与地球半径之比为R星∶R地＝1∶4，求该星球的质量与地球质量之比M星∶M地。
（1）根据匀变速直线运动规律t＝得：
从竖直上抛到最高点，上升的时间是＝，上升和下降的时间相等，
所以从上抛到落回原处t＝①
由于在某星球表面以相同的初速度竖直上抛同一小球，需经过时间5t小球落回原处。
根据匀变速直线运动规律得：
5t＝②
由①②得该星球表面附近的重力加速度g′＝g＝2m/s2。
（2）根据万有引力等于重力得：
＝mg
M＝
所以＝＝。
（1）2m/s2
（2）1∶80
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