12．已知二次函数的图象经过原点及点
，且图象与x轴的另一交点到原点的距离为1，则该二次函数的解析式为__y＝－
x2＋
x或y＝x2＋x__.
三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分）
13．已知二次函数的解析式为y＝x2－6x＋5，
（1）利用配方法将解析式化成y＝a（x－h）2＋k的形式；
（2）写出该二次函数图象的对称轴和顶点坐标．
解：
（1）y＝x2－6x＋9－9＋5＝（x－3）2－4.
（2）抛物线的对称轴为x＝3，顶点坐标为（3，－4）．
14．已知抛物线y＝x2－2mx＋3m＋4.
（1）抛物线经过原点时，求m的值；
（2）顶点在x轴上时，求m的值．
解：
（1）∵抛物线y＝x2－2mx＋3m＋4经过原点，
∴3m＋4＝0，解得m＝－
.
（2）∵抛物线y＝x2－2mx＋3m＋4顶点在x轴上，
∴b2－4ac＝0.
∴（－2m）2－4×1×（3m＋4）＝0，解得m＝4或m＝－1.
15．已知抛物线y＝ax2－3ax－4a（a≠0）．
（1）直接写出该抛物线的对称轴；
（2）试说明无论a为何值，该抛物线一定经过两个定点，并求出这两个定点的坐标．
解：
（1）抛物线的对称轴为x＝－
＝
.
（2）y＝ax2－3ax－4a＝a（x＋1）（x－4）．
当（x＋1）（x－4）＝0，即x＝－1或4时，y＝0，
∴抛物线一定经过（－1，0），（4，0）．
16．如图所示，已知等腰直角三角形ABC的直角边长与正方形MNPQ的边长均为20cm，AC与MN在同一直线上，开始时点A与点N重合，让△ABC以每秒2cm的速度向左运动，最终点A与点M重合．
（1）求重叠部分面积y（cm2）与时间t（s）之间的函数关系式及自变量t的取值范围；
（2）求重叠部分面积是△ABC面积的
时t的值．
解：
（1）y＝
（20－2t）2（0≤t≤10）．
（2）由题意得
（20－2t）2＝
×20×20，
解得t1＝5，t2＝15.∵0≤t≤10，∴t＝5.
17．某工厂大门是一抛物线形水泥建筑物，如图所示．大门地面宽AB＝4m，顶部C离地面的高度为4.4m，现有一辆满载货物的汽车欲通过大门，货物顶部距地面2.8m，装货宽度为2.3m，请判断这辆汽车能否顺利通过大门．
解：
以大门地面的中点为原点，大门地面为x轴，建立直角坐标系．根据对称性设二次函数的解析式为y＝a（x＋2）（x－2）．将（0，4.4）代入得a＝－1.1.
∴二次函数的解析式为y＝－1.1x2＋4.4.
当y＝2.8时，有－1.1x2＋4.4＝2.8，
解得x1≈1.21，x2≈－1.21（舍去）．
∵2×1.21＝2.42＞2.3，∴汽车可以顺利通过大门．
四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
18．如图，已知二次函数y＝x2＋bx＋c的图象过点A（1，0），C（0，－3）．
（1）求此二次函数的解析式；
（2）若在抛物线上存在点P，使△ABP的面积为10，请直接写出点P的坐标．
解：
（1）∵二次函数y＝x2＋bx＋c的图象过点
A（1，0），C（0，－3），
∴
解得
∴此二次函数的解析式为y＝x2＋2x－3.
（2）P（－4，5）或P（2，5）．
19．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，请仅用无刻度直尺按要求作图：
（1）在图①中，直线l为对称轴，请画出点C关于直线l的对称点；
（2）在图②中，若CD∥x轴，请画出抛物线的对称轴．
解：
（1）如图①，点E即为所求（画法不唯一）．
（2）如图②，直线m即为所求．
20．如图，足球场上守门员在O处开出一高球，球从离地面1米的A处飞出（A在y轴上），运动员乙在距O点6米的B处发现球在自己头的正上方达到最高点M，距地面约4米高，球落地后又一次弹起．据实验测算，足球在草坪上弹起后的抛物线与原来的抛物线形状相同，最大高度减少到原来最大高度的一半．
（1）求足球开始飞出到第一次落地时，该抛物线的解析式；
（2）足球第一次落地点C距守门员多少米？
（取4
≈7）
（3）运动员乙要抢到第二个落点D，他应再向前跑多少米？
（取2
≈5）
解：
（1）设足球开始飞出到第一次落地时，抛物线的解析式为y＝a（x－6）2＋4，由题意得当x＝0时y＝1，即1＝36a＋4，
∴a＝－
，∴解析式为y＝－
（x－6）2＋4.
（2）令y＝0，－
（x－6）2＋4＝0，∴（x－6）2＝48，解得x1＝4
＋6≈13，x2＝－4
＋6<0（舍去），∴足球第一次落地距守门员约13米．
（3）第二次足球弹出后的距离为CD，根据题意：
CD＝EF（即相当于将抛物线AEMFC向下平移了2个单位），
∴2＝－
（x－6）2＋4，解得x1＝6－2
，x2＝6＋2
，
∴CD＝|x1－x2|＝4
≈10，∴BD＝13－6＋10＝17（米）．即运动员乙应再向前跑17米．
五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分）
21．如图，在矩形OABC中，OA＝8，OC＝4，OA，OC分别在x轴与y轴上，点D为OA上一点，且CD＝AD.
（1）求点D的坐标；
（2）若经过B，C，D三点的抛物线与x轴的另一个交点为E，请直接写出点E的坐标；
（3）在
（2）中的抛物线上位于x轴上方的部分，是否存在一点P，使△PBC的面积等于梯形DCBE的面积？
若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．
解：
（1）设OD＝x，则AD＝CD＝8－x.
在Rt△OCD中，（8－x）2＝x2＋42，解得x＝3，
∴OD＝3，∴D（3，0）．
（2）由题意知，抛物线的对称轴为直线x＝4.
∵D（3，0），∴另一交点E（5，0）．
（3）若存在这样的P，则由S梯形＝20得
S△PBC＝
·BC·h＝20.∴h＝5.
∵B（8，－4），C（0，－4），D（3，0），
∴该抛物线函数关系式为y＝－
x2＋
x－4，顶点坐标为
，
∴顶点到BC的距离为4＋
＝
<5.
∴不存在这样的点P，使得△PBC的面积等于梯形DCBE的面积．
22．某公司研发了一款成本为50元的新型玩具，投放市场进行试销售．其销售单价不低于成本，按照物价部门规定，销售利润率不高于成本的90%，市场调研发现，在一段时间内，每天销售数量（个）与销售单价（元）符合一次函数关系，如图所示：
（1）根据图象信息，求出y与x的函数关系式；
（2）该公司要想每天获得3000元的销售利润，销售单价应定为多少元？
（3）销售单价为多少元时，每天获得的利润最大，最大利润是多少元？
解：
（1）设y＝kx＋b（k≠0，b为常数），
将点（50，160），（80，100）代入得
解得
∴y与x的函数关系式为y＝－2x＋260.
（2）由题意得（x－50）（－2x＋260）＝3000，
化简得x2－180x＋8000＝0，
解得x1＝80，x2＝100，
∵50×（1＋90%）＝95，
∴x2＝100>95（不符合题意，舍去），
∴销售单价为80元．
（3）设每天获得的利润为w元，由题意得
w＝（x－50）（－2x＋260）
＝－2x2＋360x－13000＝－2（x－90）2＋3200，
∵a＝－2<0，抛物线开口向下，
∴w有最大值，当x＝90时，w最大值＝3200.
∴销售单价为90元时，每天获得的利润最大，最大利润是3200元．
六、（本大题共12分）
23．如图①，抛物线C：
y＝x2经过变化可得到抛物线C1：
y1＝a1x（x－b1），C1与x轴的正半轴交于点A1，且其对称轴分别交抛物线C，C1于点B1，D1，此时四边形OB1A1D1恰为正方形；按上述类似方法，如图②，抛物线C1：
y1＝a1x（x－b1）经过变换可得到抛物线C2：
y2＝a2x（x－b2），C2与x轴的正半轴交于点A2，且其对称轴分别交抛物线C1，C2于点B2，D2，此时四边形OB2A2D2也恰为正方形；按上述类似方法，如图③，可得到抛物线C3：
y3＝a3x（x－b3）与正方形OB3A3D3.请探究以下问题：
（1）填空：
a1＝1，b1＝2；
（2）求出C2与C3的解析式；
（3）按上述类似方法，可得到抛物线Cn：
yn＝anx（x－bn）与正方形OBnAnDn（n≥1）．
①请用含n的代数式直接表示出Cn的解析式；
②当x取任意不为0的实数时，试比较y2019与y2020的函数值的大小并说明理由．
解：
（1）令y1＝0，a1x（x－b1）＝0，x1＝0，x2＝b1，
∴A1（b1，0），
由正方形OB1A1D1得OA1＝B1D1＝b1，
∴B1
，D1
，
∵B1在抛物线C上，则
＝
，
解得b1＝0（不符合题意，舍去）或b1＝2，
∴D1（1，－1），把D1（1，－1）代入y1＝a1x（x－b1）得－1＝－a1，
∴a1＝1，故答案为1，2.
（2）令y2＝0，a2x（x－b2）＝0，x1＝0，x2＝b2，∴A2（b2，0），
由正方形OB2A2D2得OA2＝B2D2＝b2，∴B2
，
∵B2在抛物线C1上，则
＝
－2×
，
解得b2＝0（不符合题意，舍去）或b2＝6，
∴D2（3，－3），把D2（3，－3）代入C2的解析式，得－3＝3a2（3－6），a2＝
，
∴C2的解析式为y2＝
x（x－6）＝
x2－2x，
令y3＝0，a3x（x－b3）＝0，x1＝0，x2＝b3，∴A3（b3，0），
由正方形OB3A3D3得OA3＝B3D3＝b3，∴B3
，
∵B3在抛物线C2上，则
＝
×
－2×
，
解得b3＝0（不符合题意，舍去）或b3＝18，
∴D3（9，－9），把D3（9，－9）代入C3的解析式，得－9＝9a3（9－18），
解得a3＝
，∴C3的解析式为y3＝
x（x－18）＝
x2－2x.
（3）①Cn的解析式为yn＝
x2－2x（n≥1）．
②由上题可得，
抛物线C2019的解析式为y2019＝
x2－2x，
抛物线C2020的解析式为y2020＝
x2－2x，
∴两抛物线的交点为（0，0）；
如图，由图象得当x≠0时，y2019＞y2020.
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