精选浙江专用版高考数学大一轮复习第一章集合与常用逻辑用语11集合及其运算教师用书.docx

精选浙江专用版高考数学大一轮复习第一章集合与常用逻辑用语11集合及其运算教师用书.docx

《精选浙江专用版高考数学大一轮复习第一章集合与常用逻辑用语11集合及其运算教师用书.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《精选浙江专用版高考数学大一轮复习第一章集合与常用逻辑用语11集合及其运算教师用书.docx（16页珍藏版）》请在冰点文库上搜索。

精选浙江专用版高考数学大一轮复习第一章集合与常用逻辑用语11集合及其运算教师用书

（浙江专用）2018版高考数学大一轮复习第一章集合与常用逻辑用语1.1集合及其运算教师用书

1．集合与元素

（1）集合中元素的三个特征：

确定性、互异性、无序性．

（2）元素与集合的关系是属于或不属于两种，用符号∈或∉表示．

（3）集合的表示法：

列举法、描述法、图示法．

（4）常见数集的记法

集合

自然数集

正整数集

整数集

有理数集

实数集

符号

N

N*（或N＋）

Z

Q

R

2.集合间的基本关系

关系

自然语言

符号语言

Venn图

子集

集合A中所有元素都在集合B中（即若x∈A，则x∈B）

A⊆B

（或B⊇A）

真子集

集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一个元素不在集合A中

AB

（或BA）

集合相等

集合A，B中的元素相同或集合A，B互为子集

A＝B

3.集合的基本运算

运算

自然语言

符号语言

Venn图

交集

由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合

A∩B＝{x|x∈A且x∈B}

并集

由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合

A∪B＝{x|x∈A或x∈B}

补集

由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合

∁UA＝{x|x∈U且x∉A}

【知识拓展】

1．若有限集A中有n个元素，则集合A的子集个数为2n，真子集的个数为2n－1.

2．A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B.

3．A∩（∁UA）＝∅；A∪（∁UA）＝U；∁U（∁UA）＝A.

【思考辨析】

判断下列结论是否正确（请在括号中打“√”或“×”）

（1）任何一个集合都至少有两个子集．（　×　）

（2）{x|y＝x2＋1}＝{y|y＝x2＋1}＝{（x，y）|y＝x2＋1}．（　×　）

（3）若{x2,1}＝{0,1}，则x＝0,1.（　×　）

（4）{x|x≤1}＝{t|t≤1}．（　√　）

（5）对于任意两个集合A，B，关系（A∩B）⊆（A∪B）恒成立．（　√　）

（6）若A∩B＝A∩C，则B＝C.（　×　）

1．（教材改编）若集合A＝{x∈N|x≤}，a＝2，则下列结论正确的是（　　）

A．{a}⊆AB．a⊆A

C．{a}∈AD．a∉A

答案　D

解析　由题意知A＝{0,1,2,3}，由a＝2，知a∉A.

2．（2016·杭州质检）设集合A＝{x|x2－2x≥0}，B＝{x|－1

A．{x|－1≤x≤0}B．{x|0

C．{x|－1

答案　B

解析　因为A＝{x|x≥2或x≤0}，所以∁RA＝{x|0

3．（2016·天津）已知集合A＝{1,2,3,4}，B＝{y|y＝3x－2，x∈A}，则A∩B等于（　　）

A．{1}B．{4}

C．{1,3}D．{1,4}

答案　D

解析　因为集合B中，x∈A，所以当x＝1时，y＝3－2＝1；

当x＝2时，y＝3×2－2＝4；

当x＝3时，y＝3×3－2＝7；

当x＝4时，y＝3×4－2＝10；

即B＝{1,4,7,10}．

又因为A＝{1,2,3,4}，所以A∩B＝{1,4}．故选D.

4．（2016·云南名校联考）集合A＝{x|x－2<0}，B＝{x|x

答案　[2，＋∞）

解析　由A∩B＝A，知A⊆B，

从数轴观察得a≥2.

题型一　集合的含义

例1　

（1）（2016·济南模拟）设P，Q为两个非空实数集合，定义集合P＋Q＝{a＋b|a∈P，b∈Q}，若P＝{0,2,5}，Q＝{1,2,6}，则P＋Q中元素的个数是（　　）

A．9B．8C．7D．6

（2）若集合A＝{x∈R|ax2－3x＋2＝0}中只有一个元素，则a＝________.

答案　

（1）B　

（2）0或

解析　

（1）当a＝0时，a＋b＝1,2,6；

当a＝2时，a＋b＝3,4,8；

当a＝5时，a＋b＝6,7,11.

由集合中元素的互异性知P＋Q中有1,2,3,4,6,7,8,11共8个元素．

（2）若a＝0，则A＝，符合题意；

若a≠0，则由题意得Δ＝9－8a＝0，解得a＝.

综上，a的值为0或.

思维升华　

（1）用描述法表示集合，首先要搞清楚集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明白集合的类型是数集、点集还是其他类型的集合．

（2）集合中元素的互异性常常容易忽略，求解问题时要特别注意．分类讨论的思想方法常用于解决集合问题．

（1）（2016·宁波模拟）已知A＝{x|x＝3k－1，k∈Z}，则下列表示正确的是（　　）

A．－1∉AB．－11∈A

C．3k2－1∈A（k∈Z）D．－34∉A

（2）设a，b∈R，集合{1，a＋b，a}＝，则b－a＝________.

答案　

（1）C　

（2）2

解析　

（1）∵k∈Z，∴k2∈Z，∴3k2－1∈A.

（2）因为{1，a＋b，a}＝，a≠0，

所以a＋b＝0，得＝－1，

所以a＝－1，b＝1，所以b－a＝2.

题型二　集合的基本关系

例2　

（1）（2016·余姚一模）设A，B是全集I＝{1,2,3,4}的子集，A＝{1,2}，则满足A⊆B的B的个数是（　　）

A．5B．4C．3D．2

（2）已知集合A＝{x|x2－2017x＋2016<0}，B＝{x|x

答案　

（1）B　

（2）[2016，＋∞）

解析　

（1）∵{1,2}⊆B，I＝{1,2,3,4}，

∴满足条件的集合B有{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,3,4}，共4个．

（2）由x2－2017x＋2016<0，解得1

故A＝{x|1

又B＝{x|x

可得a≥2016.

引申探究

本例

（2）中，若将集合B改为{x|x≥a}，其他条件不变，则实数a的取值范围是____________．

答案　（－∞，1]

解析　A＝{x|1

可得a≤1.

思维升华　

（1）空集是任何集合的子集，在涉及集合关系时，必须优先考虑空集的情况，否则会造成漏解．

（2）已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系，常用数轴、Venn图等来直观解决这类问题．

（1）（2016·宁波模拟）已知集合A＝{－1,0,1,2}，B＝{1，x，x2－x}，且B⊆A，则x等于（　　）

A．1B．0C．2D．－1

（2）（2016·连云港模拟）已知集合A＝{x|－2≤x≤7}，B＝{x|m＋1

答案　

（1）D　

（2）（－∞，4]

解析　

（1）当x＝0时，x2－x＝0，不满足条件；

当x＝2时，x2－x＝2，不满足条件；

当x＝－1时，x2－x＝2，满足条件，

所以x＝－1，故选D.

（2）当B＝∅时，有m＋1≥2m－1，则m≤2；

当B≠∅时，若B⊆A，如图，

则解得2

综上，m的取值范围为（－∞，4]．

题型三　集合的基本运算

命题点1　集合的运算

例3　

（1）（2016·全国乙卷）设集合A＝{x|x2－4x＋3<0}，B＝{x|2x－3>0}，则A∩B等于（　　）

A.B.

C.D.

（2）（2016·浙江）已知集合P＝{x∈R|1≤x≤3}，Q＝{x∈R|x2≥4}，则P∪（∁RQ）等于（　　）

A．[2,3]B．（－2,3]

C．[1,2）D．（－∞，－2]∪[1，＋∞）

答案　

（1）D　

（2）B

解析　

（1）由A＝{x|x2－4x＋3<0}＝{x|1

B＝{x|2x－3>0}＝{x|x>}，

得A∩B＝{x|

（2）由已知得Q＝{x|x≥2或x≤－2}．

∴∁RQ＝（－2,2）．又P＝[1,3]，

∴P∪（∁RQ）＝[1,3]∪（－2,2）＝（－2,3]．

命题点2　利用集合的运算求参数

例4　

（1）已知集合P＝[1,3]，集合Q＝（－∞，a）∪（b，＋∞），其中a

A．a＝2，b＝3B．a＝2，b≤3

C．a＝2，b≥3D．a≤2，b≥3

（2）设集合A＝{x|－1≤x<2}，B＝{x|x

A．－12

C．a≥－1D．a>－1

答案　

（1）C　

（2）D

解析　

（1）因为∁RQ＝[a，b]，P∩（∁RQ）＝[a，b]∩[1,3]＝[2,3]，所以a＝2，b≥3，故选C.

（2）因为A∩B≠∅，所以集合A，B有公共元素，作出数轴，如图所示，易知a>－1.

思维升华　

（1）一般来讲，集合中的元素若是离散的，则用Venn图表示；集合中的元素若是连续的实数，则用数轴表示，此时要注意端点的情况．

（2）运算过程中要注意集合间的特殊关系的使用，灵活使用这些关系，会使运算简化．

（1）（2016·山东）设集合A＝{y|y＝2x，x∈R}，B＝{x|x2－1<0}，则A∪B等于（　　）

A．（－1,1）B．（0,1）

C．（－1，＋∞）D．（0，＋∞）

（2）已知集合A＝{x|x2－x－12≤0}，B＝{x|2m－1

A．[－1,2）B．[－1,3]

C．[2，＋∞）D．[－1，＋∞）

答案　

（1）C　

（2）D

解析　

（1）∵A＝{y|y>0}，B＝{x|－1

∴A∪B＝（－1，＋∞），故选C.

（2）由x2－x－12≤0，得（x＋3）（x－4）≤0，即－3≤x≤4，所以A＝{x|－3≤x≤4}．又A∩B＝B，所以B⊆A.

①当B＝∅时，有m＋1≤2m－1，解得m≥2.

②当B≠∅时，有解得－1≤m<2.

综上，m的取值范围为[－1，＋∞）．

题型四　集合的新定义问题

例5　若对任意的x∈A，∈A，则称A是“伙伴关系集合”，则集合M＝{－1,0，，1,2}的所有非空子集中，具有伙伴关系集合的个数为________．

答案　7

解析　具有伙伴关系的元素组有－1；1；2和共三组，它们中任一组、两组、三组均可组成非空伙伴关系集合，所以非空伙伴关系集合分别为{1}，{－1}，{，2}，{－1,1}，{－1，，2}，{1，，2}，{－1,1，，2}，共7个．

思维升华　解决以集合为背景的新定义问题，要抓住两点

（1）紧扣新定义．首先分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够应用到具体的解题过程之中，这是破解新定义型集合问题难点的关键所在；

（2）用好集合的性质．解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素，在关键之处用好集合的运算与性质．

　定义一种新的集合运算△：

A△B＝{x|x∈A且x∉B}．若集合A＝{x|x2－4x＋3<0}，B＝{x|2≤x≤4}，则按运算△，B△A等于（　　）

A．{x|3

C．{x|3

答案　B

解析　A＝{x|1

1．集合关系及运算

典例　

（1）已知集合A＝{1,3，}，B＝{1，m}，A∪B＝A，则m等于（　　）

A．0或B．0或3

C．1或D．1或3或0

（2）设集合A＝{0，－4}，B＝{x|x2＋2（a＋1）x＋a2－1＝0，x∈R}．若B⊆A，则实数a的取值范围是________．

错解展示

解析　

（1）由A∪B＝A得B⊆A，∴m＝3或m＝，

故m＝3或m＝0或m＝1.

（2）∵B⊆A，讨论如下：

①当B＝A＝{0，－4}时，

解得a＝1.

②当BA时，由Δ＝0得a＝－1，

此时B＝{0}满足题意，

综上，实数a的取值范围是{1，－1}．

答案　

（1）D　

（2）{1，－1}

现场纠错

解析　

（1）A＝{1,3，}，B＝{1，m}，A∪B＝A，故B⊆A，所以m＝3或m＝，即m＝3或m＝0或m＝1，其中m＝1不符合题意，所以m＝0或m＝3，故选B.

（2）因为A＝{0，－4}，所以B⊆A分以下三种情况：

①当B＝A时，B＝{0，－4}，由此知0和－4是方程x2＋2（a＋1）x＋a2－1＝0的两个根，由根与系数的关系，得

解得a＝1；

②当B≠∅且BA时，B＝{0}或B＝{－4}，

并且Δ＝4（a＋1）2－4（a2－1）＝0，

解得a＝－1，此时B＝{0}满足题意；

③当B＝∅时，Δ＝4（a＋1）2－4（a2－1）<0，

解得a<－1.

综上所述，所求实数a的取值范围是（－∞，－1]∪{1}．

答案　

（1）B　

（2）（－∞，－1]∪{1}

纠错心得　

（1）集合的元素具有互异性，参数的取值要代入检验．

（2）当两个集合之间具有包含关系时，不要忽略空集的情况.

1．（2016·台州模拟）若A＝{x|x＝4k＋1，k∈Z}，B＝{x|x＝2k－1，k∈Z}，则（　　）

A．A⊆BB．B⊆A

C．A＝BD．A∩B＝∅

答案　A

解析　∵k∈Z，∴4k＋1∈B，∴A⊆B.

2．（2016·四川）设集合A＝{x|－2≤x≤2}，Z为整数集，则集合A∩Z中元素的个数是（　　）

A．3B．4C．5D．6

答案　C

解析　由题意可知，A∩Z＝{－2，－1,0,1,2}，则A∩Z中元素的个数为5.故选C.

3．已知集合M＝{1,2,3,4}，则集合P＝{x|x∈M且2x∉M}的子集的个数为（　　）

A．8B．4C．3D．2

答案　B

解析　由题意得P＝{3,4}，∴集合P有4个子集．

4．（2016·绍兴期末调研）设集合S＝{x|x>2}，T＝{x|x2－x－12≤0}，则S∩T等于（　　）

A．[3，＋∞）B．[4，＋∞）

C．（2,3]D．（2,4]

答案　D

解析　由x2－x－12≤0，得－3≤x≤4，

所以T＝{x|－3≤x≤4}，所以S∩T＝（2,4]，故选D.

5．（2017·杭州二中月考）已知全集为U，集合M＝{x|－2≤x<2}，N＝{x|y＝log2（x－1）}，则图中阴影部分表示的集合是（　　）

A．{x|－2≤x≤1}B．{x|1

C．{x|1≤x<2}D．{x|－2≤x<0}

答案　A

解析　由x－1>0，解得x>1，所以N＝{x|x>1}．

图中阴影部分表示的集合为M∩（∁UN），

又∁UN＝{x|x≤1}，

所以M∩（∁UN）＝{x|－2≤x≤1}，故选A.

6．已知集合A＝{x|－1

A．（－∞，0]B．[0，＋∞）

C．（－∞，0）D．（0，＋∞）

答案　B

解析　用数轴表示集合A，B（如图），

由A⊆B，得a≥0.

7．（2015·浙江）已知集合P＝{x|x2－2x≥0}，Q＝{x|1＜x≤2}，则（∁RP）∩Q等于（　　）

A．[0,1）B．（0,2]C．（1,2）D．[1,2]

答案　C

解析　∵P＝{x|x≥2或x≤0}，∁RP＝{x|0＜x＜2}，

∴（∁RP）∩Q＝{x|1＜x＜2}，故选C.

8．（2016·杭州第二中学考试）已知集合A＝{x|y＝lg（x－x2）}，B＝{x|x2－cx<0，c>0}，若A⊆B，则实数c的取值范围是（　　）

A．（0,1]B．[1，＋∞）

C．（0,1）D．（1，＋∞）

答案　B

解析　由题意知，A＝{x|y＝lg（x－x2）}＝{x|x－x2>0}＝（0,1），B＝{x|x2－cx<0，c>0}＝（0，c）．由A⊆B，画出数轴，如图所示，得c≥1.

9．已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}，B＝{x|0

A．1B．2C．3D．4

答案　D

解析　由x2－3x＋2＝0，得x＝1或x＝2，∴A＝{1,2}．

由题意知B＝{1,2,3,4}．

∴满足条件的C可为{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,3,4}，共4个．

*10.设集合M＝，N＝，且M，N都是集合{x|0≤x≤1}的子集，如果把b－a叫作集合{x|a≤x≤b}的“长度”，那么集合M∩N的“长度”的最小值是（　　）

A.B.C.D.

答案　C

解析　由已知，可得即0≤m≤；

即≤n≤1，取m的最小值0，n的最大值1，可得M＝，N＝，所以M∩N＝∩＝，此时集合M∩N的“长度”的最小值为－＝，故选C.

11．（2016·浙江五校高三联考）定义集合A＝{x|2x≥1}，B＝{x|log

x<0}，则A∩（∁UB）＝________.

答案　[0,1]

解析　∵A＝{x|x≥0}，B＝{x|x>1}，∴∁UB＝{x|x≤1}，∴A∩（∁UB）＝[0,1]．

12．（2016·诸暨高三5月质检）已知集合P＝{1，m}，Q＝{m2}，若P∪Q＝P，则实数m的值是________．

答案　0或－1

解析　由P∪Q＝P，得Q⊆P，∴m2∈{1，m}，

当m2＝1时，m＝1（舍）或m＝－1；

当m2＝m时，m＝1（舍）或m＝0.

综上，m＝－1或m＝0.

13．（2016·临安模拟）设全集U＝R，集合A＝{x|y＝}，B＝{y|y＝ex＋1}，则A∪B＝__________.

答案　（－∞，－1]∪（1，＋∞）

解析　因为A＝{x|x≥3或x≤－1}，B＝{y|y>1}，

所以A∪B＝{x|x>1或x≤－1}．

14．已知集合A＝{x|x2－2x＋a>0}，且1∉A，则实数a的取值范围是__________．

答案　（－∞，1]

解析　∵1∉{x|x2－2x＋a>0}，∴1∈{x|x2－2x＋a≤0}，即1－2＋a≤0，∴a≤1.

15．已知集合A＝{0,1,2}，则集合B＝{x－y|x∈A，y∈A}中元素的个数是________．

答案　5

解析　当x＝0，y＝0时，x－y＝0；

当x＝0，y＝1时，x－y＝－1；

当x＝0，y＝2时，x－y＝－2；

当x＝1，y＝0时，x－y＝1；

当x＝1，y＝1时，x－y＝0；

当x＝1，y＝2时，x－y＝－1；

当x＝2，y＝0时，x－y＝2；

当x＝2，y＝1时，x－y＝1；

当x＝2，y＝2时，x－y＝0.

根据集合中元素的互异性知，B中元素有0，－1，－2,1,2，共5个．

*16.已知集合A＝{x∈R||x＋2|<3}，集合B＝{x∈R|（x－m）（x－2）<0}，且A∩B＝（－1，n），则m＝________，n＝________.

答案　－1　1

解析　A＝{x∈R||x＋2|<3}＝{x∈R|－5

由A∩B＝（－1，n），可知m<1，

则B＝{x|m