《数学思考》教学反思.docx
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《数学思考》教学反思
《数学思考》教学反思
《数学思考》教学反思1
20xx级高一学生是我校历史上招生人数最多、层次较为简单的一届学生。
个人的学问水平和能力水平也参差不齐。
如何让学生学有所成，学有所得？
如何因人施教，因材施教？
传统的教学模式显然已不能适应新课程下的新要求。
如何面对全体学生，全面提高教学质量，让学生人人有所获，既要让优秀生出类拔萃，又要让后进生学有进步，也成了我们教学探究过程中所面临的一个重要课题。
一、学生在数学学习上存在的主要问题
我校高一学生在数学学习上存在不少问题，这些问题主要表现在以下方面：
1、进一步学习条件不具备。
高中数学与初中数学相比，学问的深度、广度，能力要求都是一次飞跃。
这就要求必需把握基础学问与技能为进一步学习作好预备。
高中数学许多地方难度大、方法新、分析能力要求高．教材中学生自主探究的内容增多，如二次函数在闭区间上的最值问题，三角公式的变形与敏捷运用等。
客观上这些观点就是分化点，有的内容还是高初中教材都不讲的脱节内容，如不采取补救措施，查缺补漏，分化是不可避开的。
2、被动学习。
许多同学进入高中后，还像初中那样，有很强的依靠心理，跟随老师惯性运转，没有把握学习主动权．表现在不定计划，坐等上课，课前没有预习，对老师要上课的内容不了解，上课忙于记笔记，没听到“门道”，没有真正理解所学内容。
不知道或不明确学习数学应具有哪些学习方法和学习策略；而一部分同学上课没能用心听课，对要点没听到或听不全，笔记记了一大本，问题也有一大堆，课后又不能准时巩固、总结、查找学问间的联系，只是赶做作业，乱套题型，对概念、法则、公式、定理一知半解，机械仿照，死记硬背。
3、对自己学习数学的好差（或成败）不了解，更不会去进行反思总结，甚至根本不关心自己的成败。
4、不能计划学习行动，不会安排学习生活，更不能调节掌握学习行为，不能随时监控每一步骤，对学习结果不会正确地自我评价。
5、不重视基础。
一些“自我感觉良好”的同学，常轻视基本学问、基本技能和基本方法的学习与训练，常常是知道怎么做就算了，而不去专心演算书写，但对难题很感兴趣，以显示自己的“水平”，好高鹜远，重“量”轻“质”，陷入题海，到正规作业或考试中不是演算出错就是中途“卡壳”。
二、教学策略思考与实践
针对我校高一学生的详细情况，我们在高一数学新课程教学实践与探究中，贯彻“因人施教，因材施教”原则。
以学法指导为突破口；着重在“读、讲、练、辅、作业”等方面下功夫，取得肯定效果。
1、读。
俗话说“不读不愤，不愤不悱”。
首先要读好概念。
读概念要“咬文嚼字”，把握概念内涵和外延及辨析概念。
例如，集合是数学中的一个原始概念，是不加定义的。
它从常见的“我校高一班级学生”、“我家的家用电器”、“太平洋、大西洋、印度洋、北冰洋”及“自然数”等事物中抽象出来，但集合的概念又不同于特别详细的实物集合，集合的确定及性质特征是由一组公理来界定的。
“确定性、无序性、互异性”常常是“集合”的代名词。
再如象限角的概念，要向学生解释清楚，角的始边与x轴的非负半轴重合和与x轴的正半轴重合的微小差别；依据定义假如终边不在某一象限则不能称为象限角等等。
这样可以引导学生从多层次，多角度去认识和把握数学概念。
其次读好定理公式和例题。
阅读定理公式时，要分清条件和结论。
如高一必修2直线与平面平行的推断中由三个条件推导出一个结论；对数计算中的一个公式，其中要求读例题时，要注重审题分析，留意题中的隐含条件，把握解题的方法和书写规范。
读书要鼓励学生相互谈论。
俗语说“议一议知是非，争一争明道理”。
新课程教材中每一节内容都辅以相应的探究内容和思考的内容。
例如，让学生谈论分别通过图象与单位圆的三角函数线分别把握正余弦函数的性质等。
2、讲。
外国有一位教育家曾经说过：
老师的作用在于将“冰冷”的学问加温后传授给学生。
讲是实践这种传授的最直接和最有效的教学手段。
首先讲要留意循序渐进的原则。
循序渐进，防止急躁。
每堂新授课中，在复习必要学问和展示教学目标的基础上，老师着重揭示学问的产生、形成、发展过程，解决学生怀疑。
比如在学习两角和差公式之前，学生已经把握五套诱导公式，可以将求任意角三角函数值问题转化为求某一个锐角三角函数值的问题。
此时老师应进一步引导学生：
对于一些半特别的教（750度，150度等）能不能不通过查表而求出精确值呢？
这样两角和差的三角函数就呼之欲出了，极大激发了学生的学习兴趣。
讲授中留意从简洁到简单的过程，要让学生从感性认识上升到理性认识。
鼓励学生应乐观、主动参与课堂活动的全过程，教、学同步。
让学生自己真正做学习的主人。
例如，讲解函数的图象应从振幅、周期、相位依次各自进行变化，然后再综合，并尽可能利用多媒体帮助教学，使学生简单接受。
其次讲要注重突出数学思想方法的教学，注重学生数学能力的培养。
3、练。
数学是以问题为中心。
学生怎么应用所学学问和方法去分析问题和解决问题，必需进行练习。
首先练习要重视基础学问和基本技能，切忌过早地进行“高、深、难”练习。
鉴于目前我校高一学生的实际现状，基础
训练是很有必要的。
课本的例题、练习题和习题要求学生要题题过关；补充的练习，应先是课本中练习及习题的简洁改造题，这有利于学生巩固基础学问和基本技能。
让学生通过专心思考可以完成。
即让学生“跳一跳可以摸得着”。
肯定要让学生在练习中强化学问、应用方法，在练习中分步达到教学目标要求并获得再练习的兴趣和信念。
同时老师们在现有习题的基础上基础上简洁地做一些改造，便可以变化出各种不同的题目；其次要讲练结合。
学生要练习，老师要评讲。
多讲解题思路和解题方法，其中包括胜利的与错误的。
特殊 是留意要充分暴露错误的思维发生过程，在课堂造就民主气氛，充分倾听学生意见，哪怕走点“弯路”，吃点“苦头”；另一方面，则引导学生各抒己见，评判各方面之优劣，最终选出大家公认的最佳方法。
还可适当让学生涉及一些一题多解的题目，拓展思维空间，培养学生思维的多面性和深刻性。
要求学生把握通解通法同时，也要讲究特别解法。
最终练习要增加应用性。
例如用函数、、三角、向量等相关学问解实际应用题。
引导学生学会建立数学模型，并应用所学学问，研究此数学模型。
4、作业。
鉴于学生现有的学问、能力水平差异较大，为了使每一位学生都能在自己的“最近发展区”更好地学习数学，得到最好的发展，制定“分层次作业”。
即将作业难度和作业量由易到难分成A、B、C三档，由学生依据自身学习情况自主选择，然后在充分尊重学生意见的基础上再进行协调。
以后的时间里，依据学生实际学习情况，随时进行调整。
以上是我这近一年来的教学体会。
新课程下制约高中数学教学的因素许多，影响学生学习的因素也许多，有智力因素和非智力因素。
但要相信“没有失败的学生，只有有问题的教育。
”我们在教学实践中，要用最优的教学促进学生的发展。
注重学生能力培养。
由此可见，只要我们立足于课堂教学改革，就能活跃课堂气氛，能充分调动学生的学习乐观性。
防止学生消失“高分低能，低分无能”以及一听就懂，一看就会，一做就错的不良现象。
使每个学生得到不同层次的发展，是全面提高教学质量的有效途径。
《数学思考》教学反思2
【题目】
【境头回放一】
生1：
我还有一种方法。
师：
你能介绍一下吗？
生1：
我是比没投中的个数。
李晓明和赵强都是3个没投进，而陈冬冬只有2个没进，所以陈冬冬投得最准！
师：
他说得有道理吗？
生2：
我认为他的说法有道理！
生3：
我也认为是对的。
师：
行！
看来这种方法很受你们欢迎！
现在老师也来参与比赛，假设投了2个，投中了1个。
张老师只有1个没进，该是第一吧！
（停了片刻，“错了！
错了！
”学生不约而同地喊了起来。
）
师：
什么地方错了？
生4：
不能比没进的个数！
虽说张老师只有1个没进，但张老师投中的个数只占总个数，比、、小，所以张老师不能算第一。
【反思一】道理是悟出来的
“我是比没进的个数……”无疑，学生的想法是错误的，但对此的认识仅局限于我与极少数的优生。
如何让每一位学生都明白这一道理，悟出这一方法的错误？
假如我只是简洁地判定这一想法的错误，学生的思维必定还是被这一假象迷惑，同样走不出思维的逆境。
在此瞬间，我选择了举例——我也参与这次比赛。
面对我的“两投一中”，许多学生才终于恍然大悟，明白了比没进的个数只是一种偶然或是巧合。
就这样，学生一片混沌的思维在瞬间得以清楚，在徘徊与迟疑中得以坚决。
道理是悟出来的，简洁的告之，学生或许会知道，但缺乏必要地体验与理解的成份，这样的知道必定是肤浅的。
【境头回放二】
师：
张老师好不简单得个第一，被你们这样轻而易举地否定了。
但张老师还是很服气的，因为你们说得在理。
同学们，其实施俊杰的想法也是有道理的，只是缺少一个前提？
生5：
我知道了。
假如投的总个数是一样的话，就可以直接比没进的个数。
师：
你的思维真机敏！
其他学生也明白吗？
（师留给学生“消化”的时间）
师：
在总个数一样的情况下，没投中的个数越少，成果越好。
那比投中的个数可以吗？
生6：
也可以！
师：
同学们，依据这样的一种思路，我们也可以知道谁投得准一些。
我们应感谢谁？
生齐说：
施俊杰。
师：
是啊！
虽说他的想法存在问题，但我们只要稍加改进，就成了一种好方法！
因此，学习就要像施俊杰那样乐观思考，并敢于提出自己的观点与想法，这样即使观点不成熟，也会给我们以启发，拓宽了我们的解题思路。
【反思二】错误成就精彩
“我是比没进的个数”其实这一想法是有肯定的道理的，只是缺乏一个前提。
如何“变废为宝”？
以释放这一想法的内涵价值，并呵护学生敢于提问的士气与勤于思考的习惯。
“同学们，其实施俊杰的想法也是有道理的，只是缺少一个前提？
”在这一问题的指引下，学生很轻松的得出了：
在投的总个数一样多时，没进的个数越少，投得越准！
学习难免会有错误，关键是老师能透过错误探寻出它内蕴的价值，并藉此进行合理地处置与有效地引导，以充分激活学生的思维，让他们主动参与对“错误”再认识。
“错误有时前进一步就是真理。
”面对课堂生成的“错误”，我们要学会珍视它，让它成为学生思维的平台与跳板，这样错误就会成就课堂的精彩！
《数学思考》教学反思3
算法多样化是不是就等同于一题多解，是不是算法越多越好呢？
这是值得全部的小学数学老师思考的一个问题。
作为老师，我们不应忽视学生的认知基础和思维水平，一味地强调算法多样化。
我们老师在实施算法多样化的过程中，必需解决好两个问题：
1、要正确理解算法多样化的实质。
算法多样化是数学课程改革倡导的一种新的教学理念，是老师鼓励学生独立思考，用自己的方法解决问题，培养学生的创新思维，促进学生个性发展的体现。
它是针对计算过程中，不同的学生会从各自的生活阅历和思考角度出发，产生不同的思考方法而提出的一种教学策略，也是尊重学生个性化学习、促进学生个性化发展的有效途径，其实质是尊重学生对计算方法的自主选择。
让他们在计算中感受计算方法和解决问题策略的多样性。
为此，教学中老师不能为了算法的多样化，而将算法形式化、教条化。
不少算法是在老师“还有不同的方法吗”的不停追问、暗示下“逼”出来的。
像有的学生为了“协作”老师，把实际计算中自己不用的算法“上报交差”；有的学生则为了“与众不同”，人为地拼凑算法；有的算法实际上是与别人雷同的……可以说，这些算法并不反映学生真实的思维状态，也没有多大的实际价值。
由此可见，老师假如片面地追求算法的数量，以为算法越多越好，而忽视算法的质量，忽视算法背后所代表的学生真实的学习状态，很简单会把学生引入钻牛角尖和乱用算法的误区。
这对学生的发展是特别不利的。
2、处理好算法多样化和算法优化的关系。
每个学生的生活阅历和思维发展水平不同，对相同的教学内容往往表现出个性化的认识和理解，所使用的计算方法必定多样性，因此在解决数学问题的过程中就会形成多种方法。
在这些方法中，有些算法比较简便，有些算法比较麻烦；有些算法思维水平较低，有些算法层次较高，这就会产生算法优化的问题。
算法优化的过程应是学生不断体验和感悟的过程，而不是老师强制规定和主观臆断的过程，老师要让学生自己逐步找到适合自己的最优算法。
例如，解决“18+7”这样的计算问题时，学生提出各种算法后，老师不要急于评价，也不要用一种算法去统一，更不能算法“自由化”，即想怎样算就怎样算。
可以对学生提出的各种算法进行比较、分析，让学生在与同伴的交流比较中了解各种算法特点，找到适合自己的一种或者几种算法，以此正确地理解算法多样化和算法优化的关系。
至于教材中编排的某些算法，假如在教学时没有学生提出，老师应从学生的认知实际出发，区别对待。
其一，若已经是学生不用的“低思维层次的算法”，老师可以不再出示，以免学生走回头路。
其二，若是算法经老师“千呼万唤”仍不“出来”，说明算法离学生“最近发展区”很远，大可不必呈现。
其三，若是有利于学生今后进一步学习和发展的算法，老师可通过提示等方式引导学生进行探究，也可通过向学生推举等形式进行呈现。
当然，我们也要留意避开把算法刻意“灌输”给学生。
《数学思考》教学反思4
教学片断：
师：
生活中你看到过像这样的射线吗？
生1：
手电筒射出的光是射线。
生2：
汽车车灯射出的光是射线。
生3：
太阳射出的光是射线。
对学生所举例子暂不评价。
师取出事先预备的激光电筒，将激光射向墙面，问：
这是射线吗?
教室顿时清静了，但转瞬，不少小手又举起来了。
生1：
不是。
（师：
为什么？
）因为它有两个端点。
生2：
射到外面就是射线了。
（师将激光射向窗外）
生3：
射到我们学校前面的那幢楼，墙上还有一个点，那不是线段吗？
生1：
（很焦急）我到操场上，往天上照，这就是射线。
生4：
假如激光可以穿透一切，就是射线。
师：
大家说得都有道理。
让我们想象一下，假如手电筒的光可以向一个方向无限延长，就可以把它看作一条射线。
反思：
我认为，生活化师教学理念而不是目标。
生成生活化材料的目的并非是要让学生找到生活中有那些东西可以看作射线。
生活中本没有射线，射线是数学抽象的结果，引导学生举例就是要让他们同样经历现实世界的数学抽象过程。
而正是在这一过程中，学生得以进一步认识射线的特点，感悟到了什么是“无限”，在这一过程中，学生的空间观念也得到了发展。
我想这才是数学生活化的本意。
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《数学思考》教学反思5
数学思考主要是通过三道例题进一步巩固，发展学生找规律的能力，分步枚举组合的能力和列表推理的能力。
这里的规律的一般化表述是：
以平面上几个点为端点，可以连多少条线段。
这种以几何形态显现的问题，便于学生动手操作，通过画图，由简到繁，发觉规律。
解决这类问题的策略是，由最简洁的情况入手，找出规律，以简驭繁。
这也是数学解决问题比较常用的方法之一。
反思课堂教学，我注重了以下几点：
一、注重数学学习方法的指导
现代教学论认为，教学过程不是单纯的传授和学习学问的过程，而是促进学生全面发展（包括思维能力的发展）的过程。
从小学数学教学过程来说，数学学问和技能的把握与思维能力的发展也是密不可分的。
一方面，学生在理解和把握数学学问的过程中，不断地运用着各种思维方法和形式，如比较、分析、综合、抽象、概括、推断、推理；另一方面，在学习数学学问时，为运用思维方法和形式供应了详细的内容和材料。
本节课我注重了数学思想方法的教学，开课时，出示一个点，问：
可以连几条线段？
学生不假思索的说：
一条。
在片刻清静之后，学生突然恍然大悟，立刻反应：
不能连成线段，因为线段有两个端点……接着在黑板上又点一个点，问，两个点之间可以连几条线段？
（一条）。
在学生及其兴奋的时候，我不再一个一个添点，而是一下点了8个点，问：
8个点之间可以连多少条线段？
学生喊着8条、10条……然后是相互的争辩，互不相让。
在学生兴奋的时候，我说：
毕竟是几条呢？
给你们一个建议：
在纸上画一画、数一数。
由于点比较多，想一下子数清楚并不是一件简单的事。
大约1分钟之后，我又说：
点多了，想比较快的数出可以连多少条线段不简单，怎么办？
有的学生依据以前的学习阅历，想到先研究点比较少的情况，找到规律后，再应用规律研究点比较多的情况。
在这里我给学生建议，利用表格的形式记录是否更清楚呢？
渗透了由难化易的数学思考方法。
学生从2个点开始连线，逐步经历连线过程，随着点数的增多，得出每次增加的线段数和总线段数，初步感知点数、增加的线段数和总线段数之间的联系。
让学生经历丰富的连线过程后，整体观察和对比表格中的数据，从而进一步发觉每次增加条数就是点数－1，接着让学生在发觉中提升规律，从而解决简单的问题。
学生不仅学到了点连线段的方法和学问，还体会到了研究数学问题的方法，真是受益匪浅。
二、注重了学生解决问题能力的培养。
学习数学的目的，不仅仅是应用所发觉的规律来解决简洁的数学问题，更重要的是渗透数学思想，指导学生的研究的方法，使学生能够应用所学的方法，自主的解决在学习和生活中遇到的更多的数学问题，体会胜利的喜悦，从而体会数学学习的重要性。
所以在教学数学思想时，在引导学生研究了“以平面上几个点为端点，可以连多少条线段”之后，出示了练习十八的第3题：
多边形的内角和。
在研究的时候，为学生学生供应了画有“三角形、四边形、五边形……”的表格，学生依据刚才研究的阅历，以小组为单位研究其中蕴含的规律。
在交流的过程中，学生说说自己是怎样的研究的，为什么多边形的内角和是（边数-2）×1800。
在学生发觉规律之后还要学生反过来思考这样的规律所形成的缘由。
这样的教学让学生学会用数学思维方式去解决日常生活中的问题，进而培养学生的应用技能及创新精神。
并且让学生学以致用，敏捷运用之前发觉的连线问题的规律，解决新的数学问题，培养学生迁移能力。
整个过程都在逐步地让学生去体会化难为易的数学思想，更深刻的理解如何将数学问题化繁为简，运用数据学的不完全归纳法总结规律、验证规律并运用规律去解决较简单的数学问题。
三、动手操作仍是数学研究不可抛弃的方法
数学的这种抽象性，使得有些孩子学习数学时，会有困难。
在研究数学规律的过程中，可以为学生供应多种操作的手段。
可以是实物操作、可以是在纸上的写写画画，使学生在动手的过程中，将抽象的数学问题详细化。
在实际的观察、分析、提炼的过程中，才能更深刻的理解问题的本质，发觉有价值的规律，从而也培养了学生的解决问题的能力，渗透了问题研究的方法。
并且常年的实践证明，孩子自己操作并从中有所得，学生从实践操作中找到规律，同时也获得发觉规律后的欢乐。
所以在教学中，依据学生的年龄的特点及数学学问的基础，给学生充足的时间，在图中连线，将多边形分割成若干个三角形，依据三角形的内角和来研究多边形的内角和。
在这个过程中，鼓励学生多角度思考问题，培养学生从不同角度去观察问题、解决问题，让学生思维得到训练。
在教学设计的时候，我关注了这些问题。
但在实际教学的过程中，由于学生的课堂生成是随机的，在研究若干个点之间可以连多少条线段的过程中，注重了学生的规律的总结，但是忽略了存在这种规律的缘由。
比如：
”每增加一个点，所增加的线段的条数就是点数－1”，终于等到学生发觉了规律，我就迫不及待的引导学生总结最终的规律，而没有引导学生反思一下，为什么会有这样的现象，使学生更清楚的理解规律，进而进一步应用规律敏捷的解决后续遇到的各种数学问题。
这个失误也说明，在公开课中，老师还是没有沉住气，仍旧有走教案的迹象，我还要连续不断的修炼自己，以使自己的驾驭课堂的感觉更游刃有余。
《数学思考》教学反思6
近日整理听课笔记，发觉这样一个现象：
课堂上诸如“对不对？
”、“可不可以这样？
”、“好不好”等的封闭型问题少了，取而代之的是“你认为如何？
”、“你是怎样想的？
”、“你能想出几种方法？
”等极具开放性的提问。
不可以不说这样的转变体现了教学的开放，反映了新课程的理念。
笔者对此做了一些思考。
思考一：
“你发觉了什么？
”应是理念的转变
案例一：
揭示比例意义的概念（学生计算各比的比值后，老师板书）
3∶5＝18∶300.4∶0.2＝1.8∶0.9∶＝7.5∶3
师：
这就是今天我们要研究的比例。
观察这三道等式，你发觉了什么？
生：
我发觉3∶5＝18∶30中3到18扩大6倍，5到30也扩大6倍。
生：
我发觉0.4∶0.2＝1.8∶0.9中，0.4是0.2的2倍，1.8是0.9的2倍。
生：
我发觉前项扩大几倍，为保持比值不变，后项也应扩大几倍。
师（面露难色）我们看看表现形式，直观看有什么特点？
（生怀疑）
师：
（无奈，分别指向三个等号）这些等号说明了什么？
终于有个学生说出表示两个比相等。
师：
对了，像这样两个比相等的式子叫比例。
案例中“观察这三道等式，你发觉了什么”这一开放性提问“一石激起千层浪”，学生的思维非常活跃，答案五花八门，课堂气氛很喧闹。
可我们也不难发觉，教学效果不尽抱负，虽然学生的回答可以说非常精彩，但离教学目标相差甚远，最终执教老师不得不“无奈地分别指向三个等号问：
这些等号说明了什么？
”这样生涩地把教学带向下一步。
应当说开放性的提问正符合了新课程提出的“数学学习内容要有利于学生主动地进行观察、试验、猜想、验证、推理与交流等数学活动……数师应激发学生在自主探究和合作交流的过程中真正理解和把握基本数学学问与技能、数学思想和方法，获得广泛的数学活动阅历”等理念。
但本案例中的“你发觉了什么”却阻碍了教学。
可见，开放性的提问应是一种教学理念的转变。
这样转变未尝不是一件好事，课堂开放了，学生灵动起来了，智慧在师生互动中流淌。
但任何一件事都是一把“双刃剑”，“你发觉了什么”的开放性提问假如用在了不适当的内容，不恰当的地方，就起不到乐观的作用，反而会像上述案例那样适得其反。
思考二：
构建“发觉”平台，在过程中建构学问
案例二：
乘法安排率教学片段
老师出示三道题请同学们至少选择一题，用两种方法解答。
（1）上衣每件114元，裤子86元。
假如购买50套需要多少元？
（2）桌子每张56元，椅子每把24元，买三套需要多少元？
（3）学校给鼓号队48人买队服和鞋。
每套队服65元，每双白球运动鞋5元。
一共需要多少元？
同桌互相说说自己是怎样算的？
哪种方法简便，为什么？
（约5分钟后，学生说明思路及计算方法，师板书。
）
（114＋86）×50114×50＋86×50
（56＋24）×356×3＋24×3
（65＋5）×4865×48＋5×48
师：
每道题两种方法都能够得出相同的结果，我们就可以说左右两个算式是什么关系？
生：
左右相等。
师：
请认真观察、分析这三个等式，你能从中发觉什么规律吗？
生：
我们小组的同学发觉这三个等式左右两边都有加法和乘法。
生：
我们发觉左右两个算式都有相同的数。
师：
你们找到了共同点，有相同的数和运算符号。
很细致的比较，那么有不同的地方吗？
生：
我们发觉：
左边算式先求和再求积，有小括号；而右边的算式先求两个积，再求和，没有小括号。
生：
我们发觉每道题的两种方法，在计算时有一种方法简便，另一种不简便。
生：
左边的数50、3、48只用一次，而右边的算式中用了2次。
生：
我补充，我们发觉左边的算式中先求两个的和，再乘一个数，而另边的算式只不过用两个数分别去乘这个数。
师：
特别好。
正因为有了细致的观察，大家才会有如此多精彩的发觉。
刚才这位同学回答时用了一个词特殊 好。
想想是哪个词？
生：
分别。
师：
对了，那么谁来结合例子详细说说“分别”的意思。
……
数学学问的形成是一个漫长的过程，其间蕴涵着人们丰富的制造性发挥。
学生学习数学学问，就是将前人的阅历转化成自己的学问财富的简单过程。
案例二中“认真观察、分析这三个等式
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