武警院校招生统考+部队士兵考军校数学军考真题详解.docx

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武警院校招生统考+部队士兵考军校数学军考真题详解

二〇一五年武警部队院校招生统一考试

士兵本科数学真题与详解

一、选择题:

本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只

有一项符合题目要求.

1.已知全集为R,集合{|13}{0246}AxxB=-<=≤,,,,,则AB等于（）A.{02},B.{102}-,,C.{|02}xx≤≤D.{|12}xx-≤≤

2.在等比数列{}na中,已知3

1815243⋅⋅=aaa,则3

911

=aa（）A.3B.9C.27D.81

3.设232555

322555

abc===（）,（）,（）,则、、abc的大小关系是（）

A.>>bca

B.>>abc

C.>>cab

D.>>acb

4.不等式1

021

xx-+≤的解集是（）

A.1

1]2（,-

B.1

1]2

[,-

C.112（-,）[,）∞-+∞

D.1

12（-,][,）

∞-+∞5.复数Z满足

12iZi+=（）,则复数Z在复平面内对应的点在（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

6.一排9个座位坐了3个三口之家,若每家人坐在一起,则不同的坐法种数为（）

A.33!

⨯

B.333!

⨯（）

C.4

（）D.9!

7.若l、m、n是互不相同的空间直线,α、β是不重合的平面,则下列命题中为真命题的是（）

A.若α⊥l,∥βl,则β⊥a

B.若β⊥a,α⊂l,则β⊥l

C.若⊥ln,⊥mn,则∥lm

D.若aβ∥,α⊂l,β⊂n,则∥ln

8.将边长为a的正方形ABCD沿对角线AC折起,使=BDa,则三棱锥D-ABC的体积为（）A.3

B.3

9.过坐标原点且与点1）的距离都等于1的两条直线的夹角为（）

A.090

B.045

C.030

D.060

10.已知点23A-（,）在抛物线2:

2=Cypx的准线上,记C的焦点为F,则直线AF的斜率

为（）

-107-

A.43

B.1-

C.34-

D.12

二、填空题:

本大题共5小题,每小题5分,共25分.11.若函数2

（）=

-++kxfxkxkx的定义域为R,则实数k的取值范围是_______.

12.已知向量a

、b

满足0⋅=

ab,||1||2ab==,,则|2|ab-=

_______.13.

若[sin24

θθπ

π∈=

,sinθ=_______.14.在56

11（）（）-+-xx的展开式中,含3x的项的系数是_______.

15.椭圆2244+=xy长轴上一个顶点为A,以A为直角顶点作一个内接于椭圆的等腰直角

三角形,该三角形的面积是_______.

三、解答题:

本大题共7小题,共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16.（本小题满分10分,

（1）和

（2）分别为6分和4分）

已知函数21（）=-xfx的反函数为1

（）-fx,4（）log（31）=+gxx

（1）用定义证明1

（）-fx在定义域上的单调性;

（2）若1

gx-≤（）（）,求x的取值集合D.

17.（本小题满分10分,其中

（1）和

（2）各5分）

在ABC△中,内角ABC,,所对的边分别为abc,,

已知sinacBC-=

=,.

（1）求cosA的值;

（2）求cos26

Aπ

-（的值.18.（本小题满分10分,其中

（1）和

（2）分别为4分和6分）

已知{}na是递增的等差数列,24aa,是方程2560-+=xx的根.

（1）求{}na的通项公式;

（2）求数列{}2nn

的前n项和.

19.（本小题满分10分,

（1）和

（2）分别为4分和6分）

已知向量cossincossin0abααβββα==<<<π

（,）,（,）,.

（1）若||-=

ab⊥ab;

（2）设01c=

（,）,若+=

abc,求α和β的值.

-108-

20.（本小题满分10分,

（1）和

（2）分别为4分和6分）

骰子（六个面上分别标以数1,2,3,4,5,6）每抛掷一次,各个面上的概率均等.

（1）连续抛掷2次,求向上的数之和为6的概率;

（2）连续抛掷5次,求向上的数为奇数恰好出现3次的概率.21.（本小题满分12分,

（1）和

（2）分别为5分和7分）

如图,在四棱锥-PABCD中,底面ABCD是正方形,侧面⊥PDC底面ABCD,

090,,=∠=PDDCPDCE是PC的中点.

（1）求证:

∥PA平面EDB;

（2）若⊥EFPB于点F,求证⊥PB平面EFD.

22.（本小题满分13分,其中

（1）和

（2）分别为5分和8分）

双曲线C的中心在坐标原点,右焦点为

）,渐近线为=y.

（1）求双曲线C的标准方程;

（2）设直线:

1=+lykx与双曲线C交于、AB两点,

则当k为何值时,以AB为直径的圆

过原点?

-109-

〖答案与详解〗

一、选择题1.【答案】A

【详解】集合{|13}{0246}AxxB=-<=≤,,,,,则=AB{02},.【点评】考查集合的交集运算.（详见《军考突破》中1-1-10）2.【答案】B

【详解】根据等比数列性质,由31815243⋅⋅=aaa,得5583=a,83=a,

则32997119781111

9aaaaaaaaa====（）

.【点评】考查等比数列的性质.（详见《军考突破》中3-3-4）3.【答案】D

【详解】由25xy=（为减函数且3255>,得32

552255

bc=<=（）（,再由250yxx=>（）为增函数且3255>,得22

3255ac=>=（）（,所以、、abc的大小关系是>>acb.

另法:

将232

555

322555

abc===（（（,同时5次方,

得5253523928245255125525abc======（,（,（）,显然有55545208

125125125

b=>=>=,则、、ab

c的大小关系是>>acb.【点评】考查函数的单调性.（详见《军考突破》中2-5-5）4.【答案】A

【详解】不等式1

021

xx-+≤的零点为112

、-

用根轴法（零点分段法）如图:

解集是1

1]2

（,-.

【点评】考查分式不等式解法,涉及序轴标根法.（详见《军考突破》中6-3-1）5.【答案】A

【详解】复数Z满足

12iZi+=（）,即222221222211112

1iiiiiiZiiiii--+=====+++--（）（）（）,则复数Z对应点为

11（,）,是在复平面内的一象限.【点评】考查复数的运算.（详见《军考突破》中9-2-3）

6.【答案】C

【详解】第一步,分别将每一家捆绑,有3

（）种方法;第二步,再将三个全排列,有3!

种

方法.所以每家人坐在一起,则不同的做法为4

（）.

【点评】考查排列问题的基本计算方法—捆绑法.（（详见《军考突破》中

7-1-4）中）

-110-

7.【答案】A

【详解】根据两平面垂直的判定定理,由α⊥l,∥βl,能够推出β⊥a.

【点评】考查平面与平面垂直的判定.（详见《军考突破》中10-2-3）.8.【答案】D

【详解】由题意,如图在三棱锥-DABC中,側棱长===DADC

BDa,

====OAOBOCOD,从而可知高为OD,底面积212∆=ABCSa,则三棱锥D-ABC的

体积为2311

=⨯=Va.

【点评】考查三棱锥的体积的求法.（详见《军考突破》中10-4-2）

9.【答案】D

【详解】如下图,过

坐标原点且与点1的距离都等于1的两条直线的夹角为

00223060∠=∠=⨯=AOBAOP.

【点评】考查从圆外一点出发的圆的两条切线的夹角.（详见《军考突破》中11-2-3）10.【答案】C

【详解】由题意,抛物线2:

2=Cypx的准线方程为:

2=-x,所以C的焦点为20F（,）,

直线AF的斜率为033

224

k-=

=---（）.

【点评】考查抛物线的准线方程与焦点坐标,以及过两点的斜率公式.（详见《军考突破》

中12-3-3）二、填空题

11.【答案】304

k<≤

-111-

【详解】∵函数2143（）=-++kxfxkxkx的定义域为R,∴0=k或204120kkk≠⎧⎨∆=

-<⎩（）,∴304

k<≤.

【点评】考查函数的定义域的求法.（详见《军考突破》中2-5-1）12.【

答案】

【详解】∵向量a、b满足0⋅=ab,||1,||2==a

∴|2|-==ab

【点评】考查向量模的求法.（详见《军考突破》中5-1-6）13.【答案】34

【详解】

由[sin242θθππ∈=

∴sincos1sin2inθθθθ+=-=-

∴1

sin2

224

θ====（（（.【点评】考查三角恒等式的应用变形.（详见《军考突破》中4-2-2）

14.【答案】30-

【详解】展开式中含有3x的项为:

33333335

6102030（-）（-）+=--=-CxCxxxx,∴含3x的项的系数为30-.

【点评】考查二项展开式的通项.（详见《军考突破》中7-2-2）15.【答案】

【详解】如图,设等腰直角三角形∆AMN的底边20MNtt=>（）,则椭圆2244+=xy上点

N的坐标为

2tt-（,）,从而有2

2244tt-+=（）,解得45

=t,所以∆AMN的面积是216

25=t.

【点评】考查椭圆的标准方程及顶点坐标,以及三角形的面积公式.（详见《军考突破》

中12-1-4）三、解答题16.【详解】

-112-

（1）函数21（）=-xfx的值域为1+∞（-,）,由21=-xy,解得2log1

xy=+（）,∴1

2log1

1fxxx-=+>-（）（）（）.任取121-<

111122122221

（）log1log1

log1

xfxfxxxx--+-=+-+=+（）（）（）.∵121-<

∴12011<+<+xx,∴121

011

+<<+xx.∴12

21log01

+<+xx,可得11

12fxfx--<（）（）,故1

（）-fx在定义域1+∞（-,）上为单调增函数.

（2）∵1

gx-≤（）（）,即2log1x+（）4log31x+≤（）,即2log1x+（）4log31

x+≤（）∴210310131xxxx+>⎧

⎪

+>⎨⎪++⎩

≤（）,解之得01x≤≤,

∴x的取值集合为[01],

=D.【点评】考查反函数和函数的单调性及对数不等的解法.（详见《军考突破》中2-5-5,

2-5-7,6-3-4）17.【详解】

（1）在ABC△中,由正弦定理sinsin=

及已知条件sin=

BC可得=

b又∵,-=a

c∴2=a

由余弦定理222222cos2+-===bcaAbc.

（2）在ABC△

中,由

（1）知cos

=Asin=A

又221

cos22cos114=-=-=-

AA.

sin22sincos2===

AAA

-113-

∴cos2cos2cossin2sin666

AAAπππ

-=⋅+⋅（）

1142=-=【点评】考查正弦定理与余弦定理.（详见《军考突破》中4-5-1、4-5-2）

18.【详解】

（1）方程2560-+=xx的两根为1223xx==,由题意得2423aa==,

设等差数列{}na的公差为d,则421

=aad∴211

222122

naandnn=+-=+-⨯=+（）（）.

（2）设数列{}2nna的前n项和为n

S,由

（1）知12

++=nnnan.23134122222①+++=++++nnnnnS

34121341222222

②++++=++++nnnnnS

①-②得3412131112

242222

（）+++=++++-nnnnS34123111242222

（+++=++++-nnn34123111242222（+++=

++++-nnn34123111242222

（+++=++++-nnn∴1

22++=-

nnnS.【点评】考查由nS求na和裂项相消法求数列的前n项的和.（详见《军考突破》中3-4-1、

3-4-7）19.【详解】

（1）由题意2||2-=

ab,即22（）-=ab

∴22

-22⋅+=aabb

∵向量cossinaαα=

（,）,cossinbββ=（,）0βα<<<π,.∴2222

=||||11=2++=+abab∴0⋅=ab,∴⊥ab.

-114-

（2）∵cossinabαα+=+

（,）cossinββ=

（,）coscossinsinαβαβ++=（,）01）（,∴coscos0

sinsin1αβαβ+=⎧⎨

+=⎩

∴coscossinsin1αβ

αβ=-⎧⎨

+=⎩

∵0βα<<<π∴1sinsin2

αβαβ=π-⎧⎪⎨==⎪⎩

∴566

αβππ

=,.【点评】考查向量平行及向量的数量积的运算.（详见《军考突破》中5-1-6、5-1-8）

20.【详解】

（1）设A表示事件“抛掷2次,求向上的数之和为6”

向上的数之和为6的结果有（1,5）、（2,4）、（3,3）、（4,2）、（5,1）5种连续抛掷2次总的结果共有6×6=36种,

∴5

A36

（）=

（2）设B表示事件“抛掷5次,求向上的数为奇数恰好出现3次”.每次抛掷向上的数为奇数和偶数的概率都是12

可看作5次独立重复试验中,事件“向上的数为奇数”恰好出现3次.

则3325511105

C1223216

PP==⨯

⨯-==（）（）（.∴连续抛掷5次,向上的数为奇数恰好出现3次的概率为

.【点评】考查独立重复试验的概率.（详见《军考突破》中8-1-6）21.【详解】

（1）在正方形ABCD中,连接AC交BD于O,连接EO.因为ABCD是正方形,所以O为AC的中点.又因为E为PC的中点,所以EO//PA.

∵⊄PA平面EDB,⊂EO平面EDB,∴∥PA平面EDB.

-115-

（2）∵平面⊥PDC平面ABCD,且平面PDC平面=ABCDCD,在平面ABCD中,⊥BCDC∴⊥BC平面PDC,又∵⊂DE平面PDC,∴⊥BCDE

又∵=PDDC,E是PC的中点,∴⊥PCDE

在平面PBC中,,=BCPCC

∴⊥DE平面PBC,∴⊥PBDE

又∵⊥EFPB,且在平面EFD中,,=DEEFE

∴⊥PB平面EFD.

【点评】考查平面与平面平行和直线与平面垂直的判定.（详见《军考突破》中10-2-2、10-2-3）22.【详解】（

）由题意可知b

==,∵222+=abc∴221

ab==,,

∴双曲线的标准方程为2231-=xy.

（2）由22

131=+⎧⎨

-=⎩

ykxxy得

223220kxkx---=（）由230-≠k且0∆

得<

k≠k,设1122AxyBxy（,）,（,）∵以AB为直径的圆过原点,

∴⊥

OAOB,

-116-

∴0⋅=

OAOB,即12120+=xxyy又∵12122

kxxxxkk+=-

=--,∴2121212121111yykxkxkxxkxx=++=+++=（）（）（）∴

103

+=-k,解得1=±k.故当1=±k时,以AB为直径的圆过原点.【点评】考查双曲线的标准方程和直线与双曲线相交的问题.（详见《军考突破》中12-2-4、12-4-5）

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