中考数学卷精析版湖南益阳卷.docx

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中考数学卷精析版湖南益阳卷

2012年中考数学卷精析版——益阳卷

（本试卷满分120分，考试时间90分钟）

一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，共32分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

3．（2012湖南益阳4分）下列图案中是中心对称图形但不是轴对称图形的是【】

　　A．

　　B．

　　C．

　　D．

【答案】C。

【考点】中心对称和轴对称图形。

【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念，轴对称图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是图形沿对称中心旋转180度后与原图重合。

因此，

A、是轴对称图形，也是中心对称图形，不符合题意，故此选项错误；

B、是轴对称图形，也是中心对称图形，不符合题意，故此选项错误；

C、不是轴对称图形，是中心对称图形，符合题意，故此选项正确；

D、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意，故此选项错误。

故选C。

4．（2012湖南益阳4分）已知一组数据：

12，5，9，5，14，下列说法不正确的是【】

　　A．平均数是9　　B．中位数是9　　C．众数是5　　D．极差是5

【答案】D。

【考点】平均数，中位数，极差，众数。

【分析】分别计算该组数据的平均数、中位数、众数及极差后即可得到正确的答案

平均数为（12+5+9+5+14）÷5=9，故选项A正确；

重新排列为5，5，9，12，14，∴中位数为9，故选项B正确；

5出现了2次，最多，∴众数是5，故选项C正确；

极差为：

14﹣5=9，故选项D错误。

故选D。

5．（2012湖南益阳4分）下列命题是假命题的是【】

A．中心投影下，物高与影长成正比　　B．平移不改变图形的形状和大小　　

C．三角形的中位线平行于第三边　　D．圆的切线垂直于过切点的半径

【答案】A。

【考点】命题与定理，中心投影，平移的性质，三角形中位线定理，切线的性质。

【分析】分别根据中心投影的性质、切线的性质、平移的性质以及三角形中位线定理等进行判断即可得出答案：

A．中心投影下，物高与影长取决于物体距光源的距离，故此选项错误，是假命题；

B．平移不改变图形的形状和大小，根据平移的性质，故此选项正确，不是假命题；

C．三角形的中位线平行于第三边，根据三角形中位线的性质，故此选项正确，不是假命题；

D．圆的切线垂直于过切点的半径，利用切线的判定定理，故此选项正确，不是假命题。

故选A。

6．（2012湖南益阳4分）如图，数轴上表示的是下列哪个不等式组的解集【】

　　A．

　　B．

　　C．

　　D．

【答案】B。

【考点】在数轴上表示不等式的解集。

【分析】不等式组的解集在数轴上表示的方法：

把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个。

在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示。

因此，由数轴上不等式解集的表示方法得出此不等式组的解集为：

x≥﹣3。

A、不等式组

的解集为x＞﹣3，故本选项错误；

B、不等式组

的解集为x≥﹣3，故本选项正确；

C、不等式组

的解集为x＜﹣3，故本选项错误；

D、不等式组

的解集为﹣3＜x＜5，故本选项错误。

故选B。

7．（2012湖南益阳4分）如图，点A是直线l外一点，在l上取两点B、C，分别以A、C为圆心，BC、AB长为半径画弧，两弧交于点D，分别连接AB、AD、CD，则四边形ABCD一定是【】

　　A．平行四边形　　B．矩形　　C．菱形　　D．梯形

【答案】A。

【考点】作图（复杂作图），平行四边形的判定。

【分析】∵别以A、C为圆心，BC、AB长为半径画弧，两弧交于点D，∴AD=BC，AB=CD。

∴四边形ABCD是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）。

故选A。

8．（2012湖南益阳4分）在一个标准大气压下，能反映水在均匀加热过程中，水的温度（T）随加热时间（t）变化的函数图象大致是【】

A．

　　B．

C．

　　D．

【答案】B。

【考点】跨学科问题，函数的图象。

【分析】根据在一个标准大气压下水加热到100℃后水温不会继续增加，而是保持100℃不变，据此可以得到函数的图象。

故选B。

10．（2012湖南益阳4分）写出一个在实数范围内能用平方差公式分解因式的多项式：

　▲　．

【答案】

（答案不唯一）。

【考点】实数范围内分解因式，平方差公式。

【分析】答案不唯一，只需符合平方差公式的应用特征即可，如

。

11．（2012湖南益阳4分）如图，点A、B、C在圆O上，∠A=60°，则∠BOC=　▲　度．

【答案】120。

【考点】圆周角定理。

【分析】∵∠BAC和∠BOC是同弧所对的圆周角和圆心角，

∴∠BOC=2∠BAC=2×60°=120°。

12．（2012湖南益阳4分）有长度分别为2cm，3cm，4cm，7cm的四条线段，任取其中三条能组成三角形的概率是　▲　．

【答案】

。

【考点】概率公式，三角形三边关系。

【分析】∵长度为2cm、3cm、4cm、7cm的四条线段，从中任取三条线段共有2、3、4；3、4、7；2、4、7；3、4、7四种情况，而能组成三角形的有2、3、4；共有1种情况，

∴能组成三角形的概率是

。

13．（2012湖南益阳4分）反比例函数

的图象与一次函数y=2x+1的图象的一个交点是（1，k），则反比例函数的解析式是　▲　．

【答案】

。

【考点】反比例函数与一次函数的交点问题，曲线上点的坐标与方程的关系。

【分析】将（1，k）代入一次函数y=2x+1得，k=2+1=3，则反比例函数解析式为

。

三、解答题（本大题共2小题，每小题6分，共12分）

14．（2012湖南益阳6分）计算代数式

的值，其中a=1，b=2，c=3．

【答案】解：

原式=

。

当a=1、b=2、c=3时，原式=3。

【考点】分式的化简求值。

【分析】根据分式的加减法把原式进行化简，再把a=1，b=2，c=3代入进行计算即可。

15．（2012湖南益阳6分）如图，已知AE∥BC，AE平分∠DAC．

求证：

AB=AC．

【答案】证明：

∵AE平分∠DAC，∴∠1=∠2。

∵AE∥BC，∴∠1=∠B，∠2=∠C。

∴∠B=∠C。

∴AB=AC。

【考点】角平分线的定义，平行线的性质，等腰三角形的判定。

【分析】根据角平分线的定义可得∠1=∠2，再根据两直线平行，同位角相等可得∠1=∠B，两直线平行，内错角相等可得∠2=∠C，从而得到∠B=∠C，然后根据等角对等边即可得证。

四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）

16．（2012湖南益阳8分）某市每年都要举办中小学三独比赛（包括独唱、独舞、独奏三个类别），如图是该市2012年参加三独比赛的不完整的参赛人数统计图．

（1）该市参加三独比赛的总人数是　　人，图中独唱所在扇形的圆心角的度数是　　度，并把条形统计图补充完整；

（2）从这次参赛选手中随机抽取20人调查，其中有9人获奖，请你估算今年全市约有多少人获奖？

【答案】解：

（1）400；180。

补全条形统计图如图：

（2）估计今年全市获奖人数约有

（人）。

【考点】条形统计图，扇形统计图，频数、频率和总量的关系，求扇形圆心角的度数，用样本估计总体。

【分析】

（1）用参加独舞的人数除以参见独舞的百分比，即可求出参赛总人数：

120÷30%=400人。

求出参加独唱的人数：

400﹣120﹣80=200人，正好是参赛总人数的一半，所以独唱所在扇形的圆心角度数是180°。

（2）用参赛总人数乘以获奖率，进行计算即可得解。

17．（2012湖南益阳8分）超速行驶是引发交通事故的主要原因之一．上周末，小明和三位同学尝试用自己所学的知识检测车速．如图，观测点设在A处，离益阳大道的距离（AC）为30米．这时，一辆小轿车由西向东匀速行驶，测得此车从B处行驶到C处所用的时间为8秒，∠BAC=75°．

（1）求B、C两点的距离；

（2）请判断此车是否超过了益阳大道60千米/小时的限制速度？

（计算时距离精确到1米，参考数据：

sin75°≈0.9659，cos75°≈0.2588，tan75°≈3.732，

，60千米/小时≈16.7米/秒）

【答案】解：

（1）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=75°，AC=30，

∴BC=AC•tan∠BAC=30×tan75°≈30×3.732≈112（米）。

（2）∵此车速度=112÷8=14（米/秒）＜16.7（米/秒）=60（千米/小时）

∴此车没有超过限制速度。

【考点】解直角三角形的应用，锐角三角函数定义。

【分析】

（1）由于A到BC的距离为30米，可见∠C=90°，根据75°角的三角函数值求出BC的距离。

（2）根据速度=路程÷时间即可得到汽车的速度，与60千米/小时进行比较即可。

18．（2012湖南益阳8分）为响应市政府“创建国家森林城市”的号召，某小区计划购进A、B两种树苗共17棵，已知A种树苗每棵80元，B种树苗每棵60元．

（1）若购进A、B两种树苗刚好用去1220元，问购进A、B两种树苗各多少棵？

（2）若购买B种树苗的数量少于A种树苗的数量，请你给出一种费用最省的方案，并求出该方案所需费用．

【答案】解：

（1）设购进A种树苗x棵，则购进B种树苗（17﹣x）棵，根据题意得：

80x+60（17﹣x）=1220，解得：

x=10。

∴17﹣x=7。

答：

购进A种树苗10棵，B种树苗7棵。

（2）设购进A种树苗x棵，则购进B种树苗（17﹣x）棵，根据题意得：

17﹣x＜x，解得：

x＞8.5。

∵购进A、B两种树苗所需费用为80x+60（17﹣x）=20x+1020，是x的增函数，

∴费用最省需x取最小整数9，此时17﹣x=8，所需费用为20×9+1020=1200（元）。

答：

费用最省方案为：

购进A种树苗9棵，B种树苗8棵，这时所需费用为1200元。

【考点】一元一次方程、一元一次不等式和一次函数的应用。

【分析】

（1）设购进A种树苗x棵，则购进B种树苗（17﹣x）棵，利用购进A、B两种树苗刚好用去1220元，结合单价，得出等式方程求出即可；

（2）结合

（1）的解和购买B种树苗的数量少于A种树苗的数量，可找出方案。

五、解答题（本大题共2小题，每小题10分，共20分）

19．（2012湖南益阳10分）观察图形，解答问题：

（1）按下表已填写的形式填写表中的空格：

图①

图②

图③

三个角上三个数的积

1×（﹣1）×2=﹣2

（﹣3）×（﹣4）×（﹣5）=﹣60

三个角上三个数的和

1+（﹣1）+2=2

（﹣3）+（﹣4）+（﹣5）=﹣12

积与和的商

﹣2÷2=﹣1，

（2）请用你发现的规律求出图④中的数y和图⑤中的数x．

【答案】解：

（1）填表如下：

图①

图②

图③

三个角上三个数的积

1×（﹣1）×2=﹣2

（﹣3）×（﹣4）×（﹣5）=﹣60

（﹣2）×（﹣5）×17=170

三个角上三个数的和

1+（﹣1）+2=2

（﹣3）+（﹣4）+（﹣5）=﹣12

（﹣2）+（﹣5）+17=17

积与和的商

﹣2÷2=﹣1

（﹣60）÷（﹣12）=5

170÷10=17

（2）图④：

∵5×（﹣8）×（﹣9）=360，5+（﹣8）+（﹣9）=﹣1，

∴y=360÷（﹣12）=﹣30。

图⑤：

由（1·x·3）÷（1＋x＋3）=﹣3，解得x=﹣2。

．

【考点】分类归纳（数字的变化类）。

【分析】

（1）根据图形和表中已填写的形式，即可求出表中的空格；

（2）根据图①②③可知，中间的数是三个角上的数字的乘积与和的商，列出方程，即可求出x、y的值。

20．（2012湖南益阳10分）已知：

如图，抛物线y=a（x﹣1）2+c与x轴交于点A

和点B，将抛物线沿x轴向上翻折，顶点P落在点P'（1，3）处．

（1）求原抛物线的解析式；

（2）学校举行班徽设计比赛，九年级5班的小明在解答此题时顿生灵感：

过点P'作x轴的平行线交抛物线于C、D两点，将翻折后得到的新图象在直线CD以上的部分去掉，设计成一个“W”型的班徽，“5”的拼音开头字母为W，“W”图案似大鹏展翅，寓意深远；而且小明通过计算惊奇的发现这个“W”图案的高与宽（CD）的比非常接近黄金分割比

（约等于0.618）．请你计算这个“W”图案的高与宽的比到底是多少？

（参考数据：

，结果可保留根号）

【答案】解：

（1）∵P与P′（1，3）关于x轴对称，∴P点坐标为（1，﹣3）。

∵抛物线y=a（x﹣1）2+c顶点是P（1，﹣3），

∴抛物线解析式为y=a（x﹣1）2﹣3。

∵抛物线y=a（x﹣1）2﹣3过点A

，

∴a（

﹣1）2﹣3=0，解得a=1。

∴抛物线解析式为y=（x﹣1）2﹣3，即y=x2﹣2x﹣2。

（2）∵CD平行x轴，P′（1，3）在CD上，∴C、D两点纵坐标为3。

由（x﹣1）2﹣3=3，解得：

。

∴C、D两点的坐标分别为

。

∴CD=

。

∴“W”图案的高与宽（CD）的比=

（或约等于0.6124）。

【考点】二次函数的应用，翻折对称的性质，二次函数的性质，曲线上点的坐标与方程的关系。

【分析】

（1）利用P与P′（1，3）关于x轴对称，得出P点坐标，利用待定系数法求出二次函数的解析式即可。

（2）根据已知求出C，D两点坐标，从而得出“W”图案的高与宽（CD）的比。

六、解答题（本题满分12分）

21．（2012湖南益阳12分）已知：

如图1，在面积为3的正方形ABCD中，E、F分别是BC和CD边上的两点，AE⊥BF于点G，且BE=1．

（1）求证：

△ABE≌△BCF；

（2）求出△ABE和△BCF重叠部分（即△BEG）的面积；

（3）现将△ABE绕点A逆时针方向旋转到△AB′E′（如图2），使点E落在CD边上的点E′处，问△ABE在旋转前后与△BCF重叠部分的面积是否发生了变化？

请说明理由．

【答案】

（1）证明：

∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABE=∠BCF=90°，AB=BC。

∴∠ABF+∠CBF=90°。

∵AE⊥BF，∴∠ABF+∠BAE=90°。

∴∠BAE=∠CBF。

在△ABE和△BCF中，∵∠ABE=∠BCF，AB=BC，∠BAE=∠CBF，

∴△ABE≌△BCF（ASA）。

（2）解：

∵正方形面积为3，∴AB=

。

在△BGE与△ABE中，∵∠GBE=∠BAE，∠EGB=∠EBA=90°，

∴△BGE∽△ABE。

∴

。

又∵BE=1，∴AE2=AB2+BE2=3+1=4。

∴

。

（3）解：

没有变化。

理由如下：

∵AB=

，BE=1，∴

。

∴∠BAE=30°。

∵AB′=AD，∠AB′E′=∠ADE'=90°，AE′=AE′，

∴Rt△ABE≌Rt△AB′E′≌Rt△ADE′，

∴∠DAE′=∠B′AE′=∠BAE=30°。

∴AB′与AE在同一直线上，即BF与AB′的交点是G。

设BF与AE′的交点为H，

则∠BAG=∠HAG=30°，而∠AGB=∠AGH=90°，AG=AG，∴△BAG≌△HAG。

∴

。

∴△ABE在旋转前后与△BCF重叠部分的面积没有变化。