量子力学与统计力学课件第2章.ppt

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第二章波函数和薛定谔方程,微观粒子的基本属性不能用经典语言确切描述。

量子力学用波函数描述微观粒子的运动状态，波函数所遵从的方程薛定谔方程是量子力学的基本方程。

这一章开始介绍量子力学的基本理论与方法。

主要介绍：

1.二个基本假设：

A.微观粒子行为由波函数描述,波函数具有统计意义。

B.描述微观粒子行为的波函数由薛定谔方程解出。

2.态叠加原理基本定理3.薛定谔方程,3,2.1波函数的统计解释Wavefunctionanditsstatisticalexplanation2.2态叠加原理Superpositionprinciple2.3薛定谔方程Schrdingerequation2.4粒子流密度和粒子数守恒定律Currentdensityofparticlesandconservationlaws2.5定态薛定谔方程Time-independentSchrdingerequation,学习内容,波函数：

概率波的数学表达形式，描述微观客体的运动状态,一般表示为复指数函数形式,2.1波函数及其统计解释,1.量子力学中粒子状态的描述-波函数,波函数与经典物理中状态的区别,例：

一维自由粒子的波函数,经典描述：

沿x轴匀速直线运动,量子描述：

类比：

单色平面波,以坐标原点为参考点，设0，以速率u沿+x方向传播,（取实部）,3个问题？

描写自由粒子的平面波,如果粒子处于随时间和位置变化的力场中运动，他的动量和能量不再是常量（或不同时为常量）粒子的状态就不能用平面波描写，而必须用较复杂的波描写，一般记为：

描写粒子状态的波函数，它通常是一个复函数。

称为deBroglie波。

此式称为自由粒子的波函数。

（1）是怎样描述粒子的状态呢？

（2）如何体现波粒二象性的？

（3）描写的是什么样的波呢？

三维自由粒子波函数,2.波函数的强度模的平方,波函数与其共轭复数的积,例：

一维自由粒子：

各电子起点、终点、路径均不确定,对屏上电子数分布作概率性描述,

（1）两种错误的看法,.波由粒子组成,如水波，声波，由分子密度疏密变化而形成的一种分布。

这种看法是与实验矛盾的，它不能解释长时间单个电子衍射实验。

电子一个一个的通过小孔，但只要时间足够长，底片上增加呈现出衍射花纹。

这说明电子的波动性并不是许多电子在空间聚集在一起时才有的现象，单个电子就具有波动性。

波由粒子组成的看法夸大了粒子性的一面，而抹杀了粒子的波动性的一面，具有片面性。

O,事实上，正是由于单个电子具有波动性，才能理解氢原子（只含一个电子！

）中电子运动的稳定性以及能量量子化这样一些量子现象。

.粒子由波组成,电子是波包。

把电子波看成是电子的某种实际结构，是三维空间中连续分布的某种物质波包。

因此呈现出干涉和衍射等波动现象。

波包的大小即电子的大小，波包的群速度即电子的运动速度。

什么是波包？

波包是各种波数（长）平面波的迭加。

平面波描写自由粒子，其特点是充满整个空间，这是因为平面波振幅与位置无关。

如果粒子由波组成，那么自由粒子将充满整个空间，这是没有意义的，与实验事实相矛盾。

实验上观测到的电子，总是处于一个小区域内。

例如在一个原子内，其广延不会超过原子大小1。

电子究竟是什么东西呢？

是粒子？

还是波？

“电子既不是粒子也不是波”，既不是经典的粒子也不是经典的波，但是我们也可以说，“电子既是粒子也是波，它是粒子和波动二重性矛盾的统一。

”这个波不再是经典概念的波，粒子也不是经典概念中的粒子。

1.入射电子流强度小，开始显示电子的微粒性，长时间亦显示衍射图样;,我们再看一下电子的衍射实验,2.入射电子流强度大，很快显示衍射图样.,结论：

衍射实验所揭示的电子的波动性是：

许多电子在同一个实验中的统计结果，或者是一个电子在许多次相同实验中的统计结果。

波函数正是为了描述粒子的这种行为而引进的，在此基础上，Born提出了波函数意义的统计解释。

r点附近衍射花样的强度正比于该点附近感光点的数目，正比于该点附近出现的电子数目，正比于电子出现在r点附近的几率。

在电子衍射实验中，照相底片上,一般：

t时刻,到达空间r（x,y,z）处某体积dV内的粒子数,4.的物理意义：

t时刻，出现在空间（x,y,z）点附近单位体积内的粒子数与总粒子数之比,t时刻，粒子出现在空间（x,y,z）点附近单位体积内的概率,t时刻，粒子在空间分布的概率密度,物质波的波函数不描述介质中运动状态（相位）传播的过程,7.量子力学与经典力学的比较,坐标与动量不可能同时具有确定值（测不准原理）,粒子处于一量子态时，其力学量（坐标、动量等）有许多可能值，这些可能值以一定的几率出现，几率由波函数得出。

因粒子必定要在空间中的某一点出现，则粒子在空间各点出现的几率之和为1，几率只决定于波函数在空间各点的相对强度，与绝对强度无关。

声波、光波：

若振幅同时加大1倍，则强度变成4倍，是另一状态。

若把波函数在空间各点的振幅同时增大一倍，不影响空间各点几率。

波函数乘以一个常数后，描写的粒子状态不变。

2.2态迭加原理量子力学的基本原理,态迭加原理是量子力学中一个很重要的原理，这一节先作一些初步介绍，随着学习量子力学内容的不断深入，会不断加深对态迭加原理的理解。

量子态和波函数用波函数（r,t）来描述微观粒子的量子态。

当（r,t）给定后，如果测量其位置，粒子出现在点的几率密度为|2。

波函数的统计解释也是波粒二象性的一种体现。

经典波：

遵从迭加原理，两个可能的波动过程迭加后也是一个可能的波动过程。

如：

惠更斯原理。

描述微观粒子的波是几率波，是否可迭加？

意义是否与经典相同？

态的迭加原理是量子力学的一个基本假设，它的正确性也依赖于实验的证实。

=C11+C22也是电子的可能状态。

空间找到电子的几率则是：

|2=|C11+C22|2=（C1*1*+C2*2*）（C11+C22）=|C11|2+|C22|2+C1*C21*2+C1C2*12*,电子穿过狭缝出现在点的几率密度,电子穿过狭缝出现在点的几率密度,相干项正是由于相干项的出现，才产生了衍射花纹。

一个电子有1和2两种可能的状态，是这两种状态的叠加。

29,

（2）电子在晶体表面的衍射，动量空间的波函数,电子从晶体表面出射后，既可能处在态，也可能处在、等状态，按态迭加原理，在晶体表面反射后，电子的状态可表示成取各种可能值的平面波的线性叠加，即,电子沿垂直方向射到单晶表面，出射后将以各种不同的动量运动，出射后的电子为自由电子，其状态波函数为平面波。

30,考虑到电子的动量可以连续变化,显然,二式互为Fourer变换式,所以与一一对应,是同一量子态的两种不同描述方式。

说明：

1、在态（r,t）的粒子，它的动量没有确定的值，由上式可知：

粒子可处于任何一个态p（r,t），但是当粒子的状态确定后，粒子动量集于某一确定值的几率是一定的。

2、由于量子力学的态的迭加原理是几率波的迭加，所以1+1=21不是新的态，只不过未归一化。

在态=c11+c22进行测量时，发现粒子要么处在1，要么处在2。

薛定谔猫,32,若归一化，则也是归一化的,Prove:

比较：

33,此显示出把平面波归一化为函数的目的,一维情况下，与的Fourer变换关系：

如果仅考虑某一给定时刻粒子的两表象波函数的关系，可取t=0,数学表示式：

其中，是动量一定的平面波。

这在数学上是成立的，这正好是非周期函数的傅里叶展开。

一个结论：

任何一个波函数都可以看作是各种不同动量的平面波的迭加。

说明：

（1）量子力学使用最多的是把可以实现的态分解为某一个算符本征态的迭加。

（2）如同经典波的分解和迭加，量子力学的态的迭加也是波函数的迭加。

而不是几率（|2）的迭加。

2.3薛定谔方程微观粒子的运动方程,薛定谔方程是波函数所遵从的基本方程，是量子力学的基本假设之一，只能建立，不能推导，其正确性由实验检验。

建立（简单复杂，特殊一般）,因为，时刻，已知的初态是且只知道这样一个初条件，所以，描写粒子状态的波函数所满足的方程只能含对时间的一阶导数。

另一方面，要满足态叠加原理，即，若1（r,t）和2（r,t）是方程的解，那末。

（r,t）=C11（r,t）+C22（r,t）也应是该方程的解。

这就要求方程应是线性的，也就是说方程中只能包含,对时间的一阶导数和对坐标各阶导数的一次项，不能含它们的平方或开方项。

二自由粒子的运动方程,43,又,将

（1）和

（2）式代入（3）式，得,（4）,44,满足运动方程应具有的三个特点，此即为自由粒子的基本运动方程自由粒子的Schrdinger方程。

讨论,通过引出自由粒子波动方程的过程可以看出，如果将能量关系式E=p2/2写成如下方程形式：

即得自由粒子的Schrdinger方程（4）。

45,2力场中运动粒子的Schrdinger方程,设势场中运动粒子的状态波函数为,（6）,用能量关系式乘以波函数,按（5）式，将能量和动量分别用能量算符和动量算符替代，即得Schrdinger方程,粒子的哈密顿函数,作动量算符替代,则,利用哈密顿算符，可将Schrdinger方程（6）写成另一形式,（7）,47,

（1）Schrdinger作为一个基本假设提出来，它的正确性已为非相对论量子力学在各方面的应用而得到证实。

注意,

（2）Schrdinger方程在非相对论量子力学中的地位与牛顿方程在经典力学中的地位相仿,只要给出粒子在初始时刻的波函数，由方程即可求得粒子在以后任一时刻的波函数。

Schrdinger方程,（9）,哈密顿函数,3多粒子体系的Schrdinger方程,2.用分离变量法求解,2.4粒子流密度和粒子数守恒定律,本节要引入几率流密度概念，有了它就可以把几率与电流联系起来。

由薛定谔方程出发，讨论粒子在一定空间区域内出现的几率将怎样随时间变化。

所以可以看作对薛定谔方程的讨论。

设已归一化，q为单粒子的电荷，则|2=几率密度（w）；|2dV=dV的几率；|2q=电荷密度（）；|2qdV=dV的电荷。

几率流密度（J）含义=单位时间垂直流过单位面积几率。

J公式=？

先介绍几率的连续方程。

若从数学上能推出如下公式：

通过类比，就可定义为几率流密度J，这个方程也就是几率的连续方程。

一、几率的连续方程与几率流密度1.类比：

已知电荷有连续方程：

其中，电荷密度,电流密度。

几率连续性方程与经典电动力学中的电荷守恒方程具有相同的形式。

（7）式表明:

粒子单位时间在内出现的几率的增量等于单位时间内流入内的几率（负号表示流入）。

（7）式是几率守恒守律的积分形式。

概括之，波函数在全空间每一点应满足单值、有限、连续三个条件，该条件称为波函数的标准条件。

说明：

几率守恒具有定域性质。

当粒子在某地的概率减小了，必然在另外一些地方的概率增加了，使总概率不变，并且伴随着有什么东西在流动来实现这种变化。

连续性就意味着某种流的存在。

2.5定态薛定谔方程,由空间部分与时间部分相乘；时间部分确定,判别定态的方法：

（1）能量是否为确定值

（2）几率与时间无关（3）几率流密度与时间无关,1.下列波函数所描述的状态是否为定态？

为什么？

（1）,

（2）,（3）,思考题,2.如果一个粒子只有两个可能位置,在量子力学中其波函数怎样?

意义又如何?

算符本征方程：

本征值，有多个，甚至无穷多个。

：

本征值为的本征函数。

也有多个，甚至无穷多个，有时一个本征值对应多个不同的本征函数，这称为简并。

若一个本征值对应的不同本征函数数目为N，则称N重简并。

3.本征方程、本征函数与本征值,72,四.求解定态问题的步骤重点掌握,

（1）列出定态Schrodinger方程,

（2）根据波函数三个标准条件求解能量的本征值问题，得：

（4）通过归一化和标准条件确定,（3）写出定态波函数即得到对应第个本征值的定态波函数,说明：

1、定态薛定谔方程或不含时的薛定谔方程是能量本征方程，E就称为体系的能量本征值（energyeigenvalue），而相应的解称为能量的本征函数（energyeigenfunction）。

2、是体系的哈密顿量算符，当不显含t时，体系的能量是守恒量，可用分离变量。

3、解定态薛定谔方程，关键是写出哈密顿量算符。

扫描出的纳米级图像,用扫描隧道显微镜拍摄到的图像,用STM移动氙原子排出的“IBM”图案,“扫描隧道显微镜”下拍摄的“血细胞”,