北京市朝阳区高三第二学期二模理科数学试题.docx

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北京市朝阳区高三第二学期二模理科数学试题

20XX年北京市朝阳区高三第二学期二模理科数学试题

  北京市朝阳区高三年级第二次综合练习

  数学学科测试（理工类）

  2013.5

  （考试时间120分钟满分150分）

  本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分

  第一部分（选择题共40分）

  一、选择题：

本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.

（1）已知集合M0,1,3，集合Nxx3a,aM，则MN=

  A.0B.0,3C.1,3,9D.0,1,3,9

（2）若（x012mx）dx0，则实数m的值为

  12B．C．1D．233

  （3）执行如图所示的程序框图．若输出的结果是16，则判断框内的条件是

  A.n6?

B.n7?

C.n8?

D.n9?

A．

  （第3题图）

  1正视图1侧视图1俯视图（第5题图）-1-

  x2y2

  （4）若双曲线221（a0,b0）的渐近线与抛物线yx22有公共点，则此双曲线ab

  的离心率的取值范围是

  A．[3,）B．（3,）C．（1,3]D．（1,3）

  （5）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为

  A．16B．11C．D．132

  （6）某岗位安排3名职工从周一到周五值班，每天只安排一名职工值班，每人至少安排一天，至多

  安排两天，且这两天必须相邻，那么不同的安排方法有

  A．10种B．12种C．18种D．36种

  f（x）,x0,（7）已知函数f（x）a21（a0），定义函数F（x）给出下列命题：

f（x）,x0.x

  ①F（x）f（x）；②函数F（x）是奇函数；③当a0时，若mn0，mn0，总有F（m）F（n）0成立，其中所有正确命题的序号是

  A．②B．①②C．③D．②③

  （8）点P是棱长为1的正方体ABCDAPC1的取1BC11D1的底面A1B1C1D1上一点，则PA

  值范围是

  A．[1,]B．[1

  4111,]C．[1,0]D．[,0]242

  第二部分（非选择题共110分）

  二、填空题：

本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡上.

  （9）i为虚数单位，计算3i．1i

  （10）若直线l与圆C:

x2cos,（为参数）相交于A，B两点，y12sin

  且弦AB的中点坐标是（1,2），则直线l的倾斜角为．

  （11）如图，PC切圆O于点C，割线PAB经过圆心O，PC4,PB8，

  则tanCOP，△OBC的面积是．

  （12）某公司一年购买某种货物600吨，每次都购买x吨，运费为3万元/次，一年的总存储

  费用为2x

  万元，若要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则每次需购买吨．

  -2-

  3x4y19,（13将一个质点随机投放在关于x,y的不等式组x1,所构成的三角形区域内，则

  y1

  该质点到此三角形的三个顶点的距离均不小于1的概率是．

  （14）数列{2n1}的前n项1,3,7,,2n1组成集合An{1,3,7,,2n1}（nN），从集

  合An中任取k（k1,2,3,,n）个数，其所有可能的k个数的乘积的和为Tk（若只取一个数，规定乘积为此数本身），记SnT1T2Tn．例如当n1时，A1}，T11，1{

  S11；当n2时，A2{1,3}，T113，T213，S213137.则当n3时，S3Sn．

  三、解答题：

本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.

  （15）（本小题满分13分）

  在△ABC中，A,B,C所对的边分别为a,b,c，且

  f（A）2cosAAAAsin（）sin2cos2.2222

  （Ⅰ）求函数f（A）的最大值；

  （Ⅱ）若f（A）0,C

  （16）（本小题满分14分）

  如图，四边形ABCD是正方形，EA平面ABCD，EAPD，ADPD2EA2，,ab的值．12F，G，H分别为PB，EB，PC的中点．

  （Ⅰ）求证：

FG平面PED；

  （Ⅱ）求平面FGH与平面PBC所成锐二面角的大小；

  （Ⅲ）在线段PC上是否存在一点M,使直线FM与直线CPA所成的角为60？

若存在，求出线段PM的长；若不存在，请说明理由.

  （17）（本小题满分13分）为提高学生学习数学的兴趣，某地区举办了小学生“数

  独比赛”.比赛成绩共有90分，70分，60分，40分，30分

  五种，按本次比赛成绩共分五个等级．从参加比赛的学生中

  随机抽取了30名学生，并把他们的比赛成绩按这五个等级进行了统计，得到如下数据表：

-3-

  （Ⅰ）根据上面的统计数据，试估计从本地区参加“数独比赛”的小学生中任意抽取一人，

  其成绩等级为“A或B”的概率；

  （Ⅱ）根据（Ⅰ）的结论，若从该地区参加“数独比赛”的小学生（参赛人数很多）中任选3

  人，记X表示抽到成绩等级为“A或B”的学生人数，求X的分布列及其数学期望EX；（Ⅲ）从这30名学生中，随机选取2人，求“这两个人的成绩之差大于20分”的概率．

  （18）（本小题满分13分）

  已知函数f（x）mx1（m0），g（）xex2（axa）R.2x1

  （Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；

  （Ⅱ）当m0时，若对任意x1,x2[0,2]，f（x1）g（x2）恒成立，求a的取值范围.

  （19）（本小题满分14分）

  x2y2

  已知椭圆C:

221（ab0）的右焦点为F（1,0），短轴的端点分别为B1,B2,且ab

  FB1FB2a.

  （Ⅰ）求椭圆C的方程；

  （Ⅱ）过点F且斜率为k（k0）的直线l交椭圆于M,N两点，弦MN的垂直平分线与x轴相交于

  点D.设弦MN的中点为P，试求

  （20）（本小题满分13分）

  已知实数DPMN的取值范围．x1,x2,,xn（n2）满足|xi|1i（，记1,2nS（x1,x2,,xn）

  1ijnxixj．

  （Ⅰ）求S（1,1,）及S（1,1,1,1）的值；

  （Ⅱ）当n3时，求S（x1,x2,x3）的最小值；

  （Ⅲ）求S（x1,x2,,xn）的最小值．23

  -4-

  注：

  1ijn

  xixj表示x1,x2,,xn中任意两个数xi,xj（1i

  jn）的乘积之和.

  北京市朝阳区高三年级第二次综合练习

  数学学科测试答案（理工类）

  2013.５

  一、选择题：

  二、填空题：

  （注：

两空的填空，第一空3分，第二空2分）三、解答题：

（15）（本小题满分13分）解：

（Ⅰ）因为f（A）2cos

  AAAA

  sinsin2cos22222

  sinAcosAA）.

  4

  因为A为三角形的内角，所以0A，

  A.444

  3

  所以当A，即A时，f（A）„„„6分

  424

  （Ⅱ）由题意知f（A）A）0，所以sin（A0．

  44

  又因为A，所以A0，所以A．

  44444

  又因为C，所以B．

  123

  sin

  abasinB3．„„„„13分由正弦定理得，b

  sinAsinBsinAsin4

  所以

  （16）（本小题满分14分）

  （Ⅰ）证明：

因为F,G分别为PB，BE的中点，

  所以FGPE.

  又FG平面PED，PE平面PED，

  -5-

  所以FG平面PED.„„„„4分（Ⅱ）因为EA平面ABCD，EAPD，

  所以PD平面ABCD，所以PDAD，PDCD.又因为四边形ABCD是正方形，所以ADCD.

  如图，建立空间直角坐标系，因为ADPD2EA2,

  所以D0,0,0，P0,0,2，A2,0,0，

  „„„„5分

  因为F，G，H分别为PB，EB，PC的中点，

  C0,2,0，B2,2,0，E（2,0,1）．

  111

  所以F1,1,1，G（2,1,），H（0,1,1）.所以GF（1,0,），GH（2,0,）.

  222

  1xz101nGF012

  设n1（x1,y1,z1）为平面FGH的一个法向量，则,即，

  2x1z0n1GH011

  2

  再令y11，得n1（0,1,0）.PB（2,2,2）,PC（0,2,2）.

  n2PB0

  设n2（x2,y2,z2）为平面PBC的一个法向量,则,

  n2PC0

  2x22y22z20

  即，令z21，得n2（0,1,1）.

  2y2z022

  所以cosn1,n2=

  n1n2n1n

  2

  =

  .2

  .„„„„9分4

  所以平面FGH与平面PBC所成锐二面角的大小为

  （Ⅲ）假设在线段PC上存在一点M,使直线FM与直线PA所成角为60.

  依题意可设PMPC,其中01.

  由PC（0,2,2）,则PM（0,2,2）.

  -6-

  又因为FMFPPM,FP（1,1,1），所以FM（1,21,12）.

  因为直线FM与直线PA所成角为60，PA（2,0,2），

  115所以cosFM,PA=，即，解得.22

  8

  55所以PM（0,,），PM44所以在线段PC上存在一点M,使直线FM与直线PA所成角为60，此时PM

  .4

  „„„„„„„„„„„„„„„14分

  （17）（本小题满分13分）

  解：

（Ⅰ）根据统计数据可知，从这30名学生中任选一人，分数等级为“A或B”的频率为46101．3030303

  从本地区小学生中任意抽取一人，其“数独比赛”分数等级为“A或B”的概率约为

  1．„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„3分3

  （Ⅱ）由已知得，随机变量X的可能取值为0，1，2，3．

  238010所以P（X0）C3（）（）；3327

  2124111P（X1）C3（）（）2；33279

  1262P（X2）C32（）2（）1；33279

  21313P（X3）C3（）（）0．3327

  随机变量X的分布列为

  81231．„„„„„9分所以EX027272727

  （Ⅲ）设事件M：

从这30名学生中，随机选取2人，这两个人的成绩之差大于20分．

  设从这30名学生中，随机选取2人，记其比赛成绩分别为m,n．

  显然基本事件的总数为C30．

  不妨设mn，

  当m90时，n60或40或30，其基本事件数为C4（C10C7C3）；

  当m70时，n40或30，其基本事件数为C6（C7C3）；

  -7-11111112

  11

  当m60时，n30，其基本事件数为C10；C3

  111111111

  C4（C10C7C3）C6（C7C3）C10C334

  所以P（M）．2

  C3087

  所以从这30名学生中，随机选取2人，这两个人的成绩之差大于20分的概率为

  34

  ．„„„„„13分87

  （18）（本小题满分13分）

  m（1x2）m（1x）（1x）解：

（Ⅰ）函数f（x）的定义域为R，f（x）2.„„„„1分222

  （x1）（x1）

  ①当m0时，当x变化时，f（x），f（x）的变化情况如下表：

  所以，函数f（x）的单调递增区间是（1,1），单调递减区间是（,1），（1,）.„„„„3分

  ②当m0时，当x变化时，f（x），f（x）的变化情况如下表：

  所以，函数f（x）的单调递增区间是（,1），（1,），单调递减区间是（1,1）.

  „„„„„5分

  （Ⅱ）依题意，“当m0时，对于任意x1,x2[0,2]，f（x1）g（x2）恒成立”等价于“当m0

  时，对于任意x[0,2]，f（x）ming（x）max成立”.

  当m0时，由（Ⅰ）知，函数f（x）在[0,1]上单调递增，在[1,2]上单调递减，因为f（0）1，f

（2）

  2m

  11，所以函数f（x）的最小值为f（0）1.5

  所以应满足g（x）max1.„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„6分

  因为g（x）x2eax，所以g（x）（ax2+2x）eax.„„„„„7分①当a0时，函数g（x）x2，x[0,2]，g（x）maxg

（2）4，

  显然不满足g（x）max1，故a0不成立.„„„„„8分②当a0时，令g（x）0得，x10，x2（ⅰ）当

  2.a

  2

  2，即1a0时，a

  在[0,2]上g（x）0，所以函数g（x）在[0,2]上单调递增，

  所以函数g（x）maxg

（2）4e2a.由4e

  2a

  1得，aln2，所以1aln2.„„„„„10分

  2

  2，即a1时,a22

  在[0,）上g（x）0，在（,2]上g（x）0，

  aa

  22

  所以函数g（x）在[0,）上单调递增，在（,2]上单调递减，

  aa24

  所以g（x）maxg（）22.

  aae

  42

  由221得，a，所以a1.„„„„„11分aee2

  （ⅲ）当0，即a0时,显然在[0,2]上g（x）0，

  a

  （ⅱ）当0

  函数g（x）在[0,2]上单调递增，且g（x）maxg

（2）4e2a.

  显然g（x）max4e2a1不成立，故a0不成立.„„„„„12分综上所述，a的取值范围是（,ln2].„„„„„13分（19）（本小题满分14分）

  解：

（Ⅰ）依题意不妨设B1（0,b），B2（0,b），则FB1（1,b），FB2（1,b）.

  222

  由FB1FB2a，得1ba.又因为ab1，

  解得a2,b.

  x2y2

  1.„„„„„4分所以椭圆C的方程为

  43

  （Ⅱ）依题直线l的方程为yk（x1）.

  yk（x1）,

  由x2y2得（34k2）x28k2x4k2120.

  1

  43

  8k24k212

  设M（x1,y1），N（x2,y2），则x1x2，x1x2.„„„„6分

  34k234k2

  4k23k,）.„„„„„7分

  所以弦MN的中点为P（22

  34k34k

  所以MN

  12（k21）

  .„„„„„9分

  4k23

  3k14k2

  （x2），直线PD的方程为y2

  4k3k4k3

  k2k2

  ,0），

  由y0，得x，则D（2

  2

  4k34k3

  所以DP„„„„11分

  DP所以.„„„„„12分212（k1）MN

  4k23

  又因为k11，所以0

  2

  1

  1.

  2

  k1

  所以0

  1.4

  的取值范围是（0,）.„„„„„„„„„„„„„„„14分

  所以

  DPMN

  1

  4

  （20）（本小题满分13分）

  解：

（Ⅰ）由已知得S（1,1,）1

  2

  322

  1．33

  S（1,1,1,1）1111112．„„„„„3分

  （Ⅱ）设SS（x1,x2,x3）．

  当n3时，SS（x1,x2,x3）

  1ij3

  xixjx1x2x1x3x2x3．

  若固定x2,x3，仅让x1变动，此时Sx1x2x1x3x2x3（x2x3）x1x2x3，因此Smin{S（1,x2,x3）,S（1,x2,x3）}．同理S（1,x2,x3）min{S（1,1,x3）,S（1,1,x3）}．

  S（1,x2,x3）min{S（1,1,x3）,S（1,1,x3）}．

  以此类推，我们可以看出，S的最小值必定可在某一组取值1的x1,x2,x3所达到，于是Smin{S（x1,x2,x3）}．

  xk1k1,2,3

  122[（x1x2x3）2（x12x2x3）]213（x1x2x3）2．2213

  因为|x1x2x3|1，所以S1，且当x1x21，x31时，S1．

  22

  当xk1（k1,2,3）时，S

  因此Smin1．„„„„„8分（Ⅲ）设SS（x1,x2,,xn）

  1ijn

  xixj

  x1x2x1x3x1xnx2x3x2xnxn1xn.

  固定x2,x3,,xn，仅让x1变动，此时

  S（x2x3xn）x1（x2x3x2xnxn1xn），

  因此Smin{S（1,x2,x3,,xn）,S（1,x2,x3,,xn）}．

  同理S（1,x2,x3,,xn）min{S（1,1,x3,,xn）,S（1,1,x3,,xn）}．

  S（1,x2,x3,,xn）min{S（1,1,x3,,xn）,S（1,1,x3,,xn）}．

  以此类推，我们可以看出，S的最小值必定可在某一组取值1的x1,x2,,xn所达

  到，于是Smin{S（x1,x2,,xn）}．

  xk1k1,2,,n

  当xk1（k1,2,,n）时，S

  122[（x1x2xn）2（x12x2xn）]21n（x1x2xn）2．22

  ①当n为偶数时，S

  n

  ，2

  1

  若取x1x2xn1，xn

  2

  2

  xn

  2

  2

  nn

  xn1，则S，所以Smin．

  22

  ②当n为奇数时，因为|x1x2xn|1，所以S若取x1x2xn11，xn1

  2

  2

  1

  （n1），2

  1

  xn1xn1，则S（n1），1222

  所以Smin

  1

  （n1）．„„„„„„„„„„13分2