基于MARC的含圆孔正方形薄板四周受力性能的有限元分析报告.docx
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基于MARC的含圆孔正方形薄板四周受力性能的有限元分析报告
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标题：
针对含圆孔的正方形板四周受力性能的有限元分析
摘要：
采用通用的有限元程序MARC研究含圆孔的正方形板四周受力问题。
在工件工作时，小孔的边缘会产生应力集中的现象，极端情况下甚至会发生破坏，导致失效。
通过对该模型的分析，计算出其最大应力、最大位移及所发生的位置，得出其承载能力和变形特征，使该力学模型更好服务于建造等工程方面。
关键词:
圆孔、正方形板、受均布力、最大应力、最大位移、位置、四分之一
Title:
holeforasquareplatewithfourweeksoftheforceFiniteElementAnalysis
Abstract:
Inviewofdailylife,buildingstructure,mechanicalsteelstructureoftheexistenceofmulti-shapedplatewithacircularholeisthemechanicalmodel,itsbearingcapacityanddesignstudiesandcalculationsofconcern.Inthispaper,generalfiniteelementprogramMARCsquareholeoftheplatefourweekswiththeforcetheissue.Throughanalysisofthemodeltocalculatethemaximumstress,maximumdisplacementandthelocationofoccurrence,reacheditscarryingcapacityanddeformationcharacteristics.Sothatthemechanicalmodeltobetterservetheconstructionandotherprojects.
Keywords:
roundhole,squareplate,force,maximumstress,maximumdisplacement,position,deformationcharacteristics,horizontaldirection,verticaldirection,aquarter
正文
1.引言：
鉴于日常生活中建筑结构，机械钢架等结构中多存在含圆孔的正形板的力学模型，其承载性能和设计方法的研究和计算值得关注。
有限元分析在模具行业应用广泛，初步学习弹性力学及有限元的知识，分析平面应力应变问题，以解决平面薄板在受均不力时的有限元分析。
从而解决了，在薄板上中心椭圆孔，在均布力的作用下产生的应力、位移的问题。
2.理论分析：
如图所示，在厚度为t=1cm的正方形板中有一只r=0.5cm的圆孔，正方形板四周受分布力p的作用。
已知：
E=210GPa，u=0.3，l=10cm，p=1KN/cm。
计算最大应力、最大位移及所发生的位置。
（一）小圆孔的方形板，四边受均布拉力q，如下图模型
因孔口尺寸<<模型尺寸，故孔口引起的应力扰动局限于小围；因孔边距边界较远（>1.5倍孔口尺寸），故孔口与边界不相互干扰。
故本模型属于“小孔口问题”。
弹性体开孔时，在小孔口附近，将发生应力集中现象。
小空口应力集中现象有两个特点：
一是孔附近应力高度集中，即孔附近的应力远远大于远处的应力或大于无孔时的应力；二是应力集中的局限性，即由于孔的存在而引起的应力扰动围主要集中在距孔边1.5倍空口尺寸的围，在此围外可以忽略不计。
取圆孔中心为坐标原点建立如上图坐标系，为方便考察圆孔附近应力，采用极坐标。
将外边界改造成为圆边界，以远大于r的某一长度为半径R作大圆，如图中虚线所示。
由应力的的局部性可见，在大圆处如A点，应力情况与无孔时相同，即δx=q，δy=q，τxy=0坐标变换式（4-6）得该处极坐标应力分量为δp=q，τxy=0。
因此，可以引用圆环的轴对称解答，取q2→-q，于是
因R＞＞r，得双向均布拉力场下圆孔应力解答
δρ=q（1-r2/ρ2）δψ=q（1+r2/ρ2）τρψ=τψρ=0
由上可知，在孔边处，环向正应力是无孔时该处最大应力的两倍。
说明开孔后应力明显增大，且与孔径的相对大小无关。
最大应力发生在孔边，ρ=r，σφ=2q，应力集中系数为2。
（二）单边受均布拉力，模型如下：
作为应力集中的具体说明，以带小圆孔的方形框单向受均布拉力进行分析
则有：
（1）沿着y轴，即θ=π/2或3π/2时，由上式第二式得环向应力：
由此可知，在孔边环向应力是无孔时的3倍，且随着点的位置远离孔边，应力很快趋于无孔时的应力值。
（3）薄板平面问题分析：
（1）在平面应力问题中需考虑的应力分量有三个，应变分量有三个，位移分量有两个。
应力向量、应变向量、位移向量分别为
（2）物理方程：
（3）
应力分量
位移分量
3.模型建立：
解：
根据已知条件，本例属平面应变问题，应取横截面建立有限元模型。
由于对称性，只需取四分之一离散化即可。
采用三角形单元计算，并将计算结果与理论值比较。
建模时，在对称面上加相应的边界条件。
第一步：
生成有限元网格
采用由几何实体转化为网格的方法生成有限元网格，所有数据采用国际单位。
本模型的试题单元按已知的条件，可将正方形板均分为四等分，其受力结果完全相同，故以板的四分之一为受力分析单元，如下图
将四分之一正方形右、上两条直边界25等分，左、下两条直边界22等分，圆弧边界划分为10等分，并设定合适的偏置系数，如下图
采用DELAUNAY网格划分方法自动划分三角形单元，使用该法生成的三角形单元趋向于等边三角形，如下图
第二步：
边界条件的处理（载荷集度为-100KN/m，弹性模量2.1e11，泊松比0.3）
边界条件一般有三种：
简支端，自由端，固支端。
依题意，给该模型各边施加约束，由材料特性定义，本模型的线弹性静力分析问题，只要定义弹性模量及泊松比即可
在图形区用不同的颜色显示所加的边界条件，施加边界条件后，图形区中显示如下所示
将定义的材料特性指定到所有单元上，在图形区用颜色显示材料特性
第三步：
选取作业参数并提交MARC运行分析
第四步：
后处理
（1）选择DisplacementX，指定显示容为X方向位移Sx
指定显示方式为云图显示
指定显示方式为数值显示
局部放大，如下图
显示最大X方向位移为1.28193e-8m（位置为模型边界右下角所在点处）
（2）选择DisplacementY，指定显示容为Y方向位移Sy，分别指定显示方式为云图显示、数值显示，局部放大
显示最大Y方向位移为1.28165e-8m（位置为模型边界左上角所在点处）
（3）选择Displacement，指定显示容为位移S，分别指定显示方式为云图
显示、数值显示，局部放大
显示最大位移为1.78826e-8m（位置为模型边界右上角所在点处）
（4）选择Camp11ofstress（X方向应力δx）
显示最大X方向应力为195538Pa（位置为模型圆弧边界左上角所在点处）
（5）选择Camp22ofstress（Y方向应力δy）
显示最大Y方向应力为194323Pa（位置为模型圆弧边界右下角所在点处）
（6）选择Camp33ofstress（Z方向应力δz）
显示最大Z方向应力为66481.1Pa（位置为模型圆弧边界左上角所在点处）
66243.6Pa（位置为模型圆弧边界右下角所在点处）
（7）选择Camp12ofstress（XY方向应力δxy）
显示绝对值最大XY方向应力为-98286.3Pa（位置为模型圆弧边界中点所在点处）
（8）选择Camp23ofstress（YZ方向应力δyz）
显示应力都为零
（9）选择Camp31ofstress（ZX方向应力δzx）
显示应力都为零
4.数据对比:
通过理论分析，并计算出相应理论解与MARK计算结果比较
项目（坐标位置）
理论值
MARK计算结果
X方向最大位移Sxmax（0.05，0，0）
1.29e-8m
1.28193e-8m
Y方向最大位移Symax（0，0.05，0）
1.28e-8m
1.28165e-8m
最大位移Smax（0.05，0.05，0）
1.76e-8m
1.78826e-8m
X方向最大应力δ11max（0，0.005,0）
195637Pa
195538Pa
Y方向最大应力δ22max（0.005,0,0）
188456Pa
194323Pa
Z方向最大应力δ33max（圆弧边界上）
674566Pa
66481.1Pa
XY方向最大应力δ12max（0.005,0.005,0）
-105667Pa
-98286.3Pa
YZ方向最大应力δ23max
0
0
ZX方向最大应力δ31max
0
0
5.结论：
（1）通过理论计算值与MARC运行计算值的比较，控制误差在允许围可以发现两者数据能基本上吻合
（2）小孔口的应力集中现象有以下特征：
集中性—孔口附近应力>>远处的应力，孔口附近应力>>无孔时的应力。
局部性—应力集中区域很小，约在距孔边1.5倍孔径（D）围。
曲率半径愈小，应力愈大。
（3）以数据分析可知，模型四周受均布力时最大位移发生在有尺寸剧变的位置——方形板四个直角边界，在此处强度受削弱严重，变形最大。
同时由模型单边受力位移分析与计算可知，小圆孔的存在也会引起较无孔时强度的削弱，受力时变形位移也增大。
6.参考文献：
（1）王润富、国荣主编《弹性力学及有限单元法》高等教育
（2）梁清香等编著《有限元与MARC实现》第2版机械工业
（3）徐芝纶主编《弹性力学简明教程》第2版高等教育
（4）晓东、波主编《平板中心圆孔边应力集中的有限元分析》
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