鄂湘陕渝粤地区届高三理科数学二轮复习专题训练7个专题18份.docx

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鄂湘陕渝粤地区届高三理科数学二轮复习专题训练7个专题18份

目录

专题一函数与导数、不等式2

第1讲　函数图象与性质及函数与方程2

第2讲　不等式及线性规划7

第3讲　导数与函数的单调性、极值与最值的基本问题12

第4讲　利用导数求参数的取值范围17

第5讲　导数与不等式的证明及函数零点、方程根的问题23

专题二三角函数与平面向量29

第1讲　三角函数的图象与性质29

第2讲　解三角形问题36

第3讲　平面向量42

专题三数列48

第1讲　数列的通项与求和问题48

第2讲　数列的综合问题53

专题四立体几何58

第1讲　立体几何的基本问题（计算与位置关系）58

第2讲　立体几何中的向量方法66

专题五解析几何75

第1讲　圆与圆锥曲线的基本问题75

第2讲　圆锥曲线中的定点、定值、最值、范围问题81

专题六概率与统计88

第1讲　统计与概率的基本问题88

第2讲　随机变量及其分布列94

专题七数学思想方法100

第1讲　函数与方程思想、数形结合思想100

第2讲　分类讨论思想、转化与化归思想106

专题一函数与导数、不等式

第1讲　函数图象与性质及函数与方程

一、选择题

1．（2014·北京朝阳期末考试）函数f（x）＝＋的定义域为（　　）．

A．[0，＋∞）B．（1，＋∞）

C．[0,1）∪（1，＋∞）D．[0,1）

解析　由题意知

∴f（x）的定义域为[0,1）∪（1，＋∞）．

答案　C

2．（2014·新课标全国卷Ⅱ改编）偶函数y＝f（x）的图象关于直线x＝2对称，f（3）＝3，则f（－1）＝（　　）．

A．1B．－1

C．3D．－3

解析　因为f（x）的图象关于直线x＝2对称，所以f（x）＝f（4－x），f（－x）＝f（4＋x），又f（－x）＝f（x），所以f（x）＝f（4＋x），则f（－1）＝f（4－1）＝f（3）＝3.

答案　C

3．（2014·天津卷）函数f（x）＝log（x2－4）的单调递增区间为（　　）．

A．（0，＋∞）B．（－∞，0）

C．（2，＋∞）D．（－∞，－2）

解析　由x2－4>0，得x<－2或x>2，所以函数f（x）的定义域为（－∞，－2）∪（2，＋∞），又y＝x2－4的减区间为（－∞，0），∴函数f（x）＝log（x2－4）的增区间为（－∞，－2），故选D.

答案　D

4．（2014·济南模拟）函数f（x）＝（x－1）ln|x|的图象可能为（　　）．

解析　函数f（x）的定义域为（－∞，0）∪（0，＋∞），可排除B.当x∈（0,1）时，x－1＜0，lnx＜0，所以（x－1）lnx＞0，可排除D；当x∈（1，＋∞）时，x－1＞0，lnx＞0，所以（x－1）lnx＞0，可排除C.故只有A项满足，选A.

答案　A

5．（2013·新课标全国卷Ⅰ）已知函数f（x）＝若|f（x）|≥ax，则a的取值范围是（　　）．

A．（－∞，0]B．（－∞，1]

C．[－2,1]D．[－2,0]

解析　当x≤0时，f（x）＝－x2＋2x＝－（x－1）2＋1≤0，所以|f（x）|≥ax化简为x2－2x≥ax，即x2≥（a＋2）x，因为x≤0，所以a＋2≥x恒成立，所以a≥－2；当x>0时，f（x）＝ln（x＋1）>0，所以|f（x）|≥ax化简为ln（x＋1）≥ax恒成立，由函数图象可知a≤0，综上，当－2≤a≤0时，不等式|f（x）|≥ax恒成立，故选D.

答案　D

二、填空题

6．已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间[0，＋∞）上单调递增．若实数a满足f（log2a）＋f（loga）≤2f

（1），则a的取值范围是________．

解析　∵f（x）在R上是偶函数，

∴f＝f（－log2a）＝f（log2a），

由题设，得2f（log2a）≤2f

（1），即f（log2a）≤f

（1），

又f（x）在[0，＋∞）上单调递增，

∴|log2a|≤1，解之得≤a≤2.

答案　

7．（2014·广州测试）已知函数f（x）＝2ax2＋2x－3.如果函数y＝f（x）在区间[－1,1]上有零点，则实数a的取值范围为____________．

解析　若a＝0，则f（x）＝2x－3.

f（x）＝0⇒x＝∉[－1,1]，不合题意，故a≠0.

下面就a≠0分两种情况讨论：

（1）当f（－1）·f

（1）≤0时，f（x）在[－1,1]上至少有一个零点，即（2a－5）（2a－1）≤0，解得≤a≤.

（2）当f（－1）·f

（1）＞0时，f（x）在[－1,1]上有零点的条件是

解得a＞.综上，实数a的取值范围为.

答案　

8．已知函数y＝f（x）是R上的偶函数，对∀x∈R都有f（x＋4）＝f（x）＋f

（2）成立．当x1，x2∈[0,2]，且x1≠x2时，都有<0，给出下列命题：

①f

（2）＝0；

②直线x＝－4是函数y＝f（x）图象的一条对称轴；

③函数y＝f（x）在[－4,4]上有四个零点；

④f（2014）＝0.

其中所有正确命题的序号为________．

解析　令x＝－2，得f（－2＋4）＝f（－2）＋f

（2），解得f（－2）＝0，因为函数f（x）为偶函数，所以f

（2）＝0，①正确；因为f（－4＋x）＝f（－4＋x＋4）＝f（x），f（－4－x）＝f（－4－x＋4）＝f（－x）＝f（x），所以f（－4＋x）＝f（－4－x），即x＝－4是函数f（x）的一条对称轴，②正确；当x1，x2∈[0,2]，且x1≠x2时，都有<0，说明函数f（x）在[0,2]上是单调递减函数，又f

（2）＝0，因此函数f（x）在[0,2]上只有一个零点，由偶函数知函数f（x）在[－2,0]上也只有一个零点，由f（x＋4）＝f（x），知函数的周期为4，所以函数f（x）在（2,4]与[－4，－2）上也单调，因此，函数在[－4,4]上只有2个零点，③错；对于④，因为函数的周期为4，即有f

（2）＝f（6）＝f（10）＝…＝f（2014）＝0，④正确．

答案　①②④

三、解答题

9．已知函数f（x）＝2x，g（x）＝＋2.

（1）求函数g（x）的值域；

（2）求满足方程f（x）－g（x）＝0的x的值．

解　

（1）g（x）＝＋2＝|x|＋2，

因为|x|≥0，所以0＜|x|≤1，

即2＜g（x）≤3，故g（x）的值域是（2,3]．

（2）由f（x）－g（x）＝0，得2x－－2＝0，

当x≤0时，显然不满足方程，

当x＞0时，由2x－－2＝0，

整理得（2x）2－2·2x－1＝0，（2x－1）2＝2，

故2x＝1±，因为2x＞0，

所以2x＝1＋，

即x＝log2（1＋）．

10．已知二次函数f（x）＝ax2＋bx＋1（a＞0），F（x）＝若f（－1）＝0，且对任意实数x均有f（x）≥0成立．

（1）求F（x）的表达式；

（2）当x∈[－2,2]时，g（x）＝f（x）－kx是单调函数，求k的取值范围．

解　

（1）∵f（－1）＝0，∴a－b＋1＝0，

∴b＝a＋1，

∴f（x）＝ax2＋（a＋1）x＋1.

∵f（x）≥0恒成立，

∴

即

∴a＝1，从而b＝2，

∴f（x）＝x2＋2x＋1，

∴F（x）＝

（2）由

（1）知，g（x）＝x2＋2x＋1－kx＝x2＋（2－k）x＋1.

∵g（x）在[－2,2]上是单调函数，

∴≤－2或≥2，

解得k≤－2或k≥6.

所以k的取值范围是（－∞，－2]∪[6，＋∞）．

11．（2014·绵阳模拟）已知函数f（x）＝log4（4x＋1）＋kx（k∈R）是偶函数．

（1）求k的值；

（2）设g（x）＝log4，若函数f（x）与g（x）的图象有且只有一个公共点，求实数a的取值范围．

解　

（1）由函数f（x）是偶函数可知，f（x）＝f（－x），

所以log4（4x＋1）＋kx＝log4（4－x＋1）－kx，

所以log4＝－2kx，即x＝－2kx对一切x∈R恒成立，所以k＝－.

（2）函数f（x）与g（x）的图象有且只有一个公共点，即方程log4（4x＋1）－x＝log4有且只有一个实根，即方程2x＋＝a·2x－a有且只有一个实根．

令t＝2x＞0，则方程（a－1）t2－at－1＝0有且只有一个正根．

①当a＝1时，则t＝－不合题意；

②当a≠1时，Δ＝0，解得a＝或－3.

若a＝，则t＝－2，不合题意；若a＝－3，则t＝；

③若方程有一个正根与一个负根，即＜0，

解得a＞1.

综上所述，实数a的取值范围是{－3}∪（1，＋∞）．

第2讲　不等式及线性规划

一、选择题

1．（2014·广州综合测试）已知x＞－1，则函数y＝x＋的最小值为（　　）．

A．－1B．0

C．1D．2

解析　∵x＞－1，∴x＋1＞0.

∴y＝x＋＝（x＋1）＋－1，

≥2－1＝1，

当且仅当x＋1＝，即x＝0时取等号．

答案　C

2．（2014·安徽“江南十校”联考）已知向量a＝（3，－2），b＝（x，y－1），且a∥b，若x，y均为正数，则＋的最小值是（　　）．

A.B．

C．8D．24

解析　∵a∥b，∴3（y－1）＋2x＝0，

即2x＋3y＝3.

∵x＞0，y＞0，

∴＋＝·（2x＋3y）

＝≥（12＋2×6）＝8.

当且仅当3y＝2x时取等号．

答案　C

3．（2014·天津卷）设变量x，y满足约束条件则目标函数z＝x＋2y的最小值为（　　）．

A．2B．3

C．4D．5

解析　根据约束条件作出可行域，如图阴影部分所示．

由z＝x＋2y，得y＝－x＋.

先画出直线y＝－x，然后将直线y＝－x进行平移．

当直线过点A时，z取得最小值．

由得A（1,1），故z最小值＝1＋2×1＝3.

答案　B

4．已知关于x的不等式2x＋≥7在x∈（a，＋∞）上恒成立，则实数a的最小值为（　　）．

A．1B．

C．2D．

解析　2x＋＝2（x－a）＋＋2a

≥2·＋2a＝4＋2a，

由题意可知4＋2a≥7，得a≥，即实数a的最小值为，故选B.

答案　B

5．在R上定义运算⊗：

x⊗y＝x（1－y）．若对任意x＞2，不等式（x－a）⊗x≤a＋2都成立，则实数a的取值范围是（　　）．

A．[－1,7]B．（－∞，3]

C．（－∞，7]D．（－∞，－1]∪[7，＋∞）

解析　由题意得（x－a）⊗x＝（x－a）（1－x），故不等式（x－a）⊗x≤a＋2可化为（x－a）（1－x）≤a＋2，化简得x2－（a＋1）x＋2a＋2≥0.

故原题等价于x2－（a＋1）x＋2a＋2≥0在（2，＋∞）上恒成立，

由二次函数f（x）＝x2－（a＋1）x＋2a＋2的图象，知其对称轴为x＝，讨论得或解得a≤3或3

答案　C

二、填空题

6．（2014·潍坊一模）已知a＞b＞0，ab＝1，则的最小值为________．

解析　∵a＞b＞0，ab＝1，

∴＝＝＝（a－b）＋≥2.当且仅当：

a－b＝时取等号．

答案　2

7．（2014·吉林省实验中学）若直线2ax－by＋2＝0（a＞0，b＞0）被圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0截得的弦长为4，则＋的最小值是________．

解析　易知圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0的半径为2，圆心为（－1,2），因为直线2ax－by＋2＝0（a＞0，b＞0）被圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0截得的弦长为4，所以直线2ax－by＋2＝0（a＞0，b＞0）过圆心，把圆心坐标代入得：

a＋b＝1，所以＋＝（a＋b）＝2＋＋≥4，当且仅当＝，a＋b＝1，即a＝b＝时等号成立．

答案　4

8．已知x＞0，y＞0，x＋y＋3＝xy，且不等式（x＋y）2－a（x＋y）＋1≥0恒成立，则实数a的取值范围是________．

解析　要使（x＋y）2－a（x＋y）＋1≥0恒成立，则有（x＋y）2＋1≥a（x＋y），

即a≤（x＋y）＋恒成立．

由x＋y＋3＝xy，得x＋y＋3＝xy≤2，

即（x＋y）2－4（x＋y）－12≥0，解得x＋y≥6或x＋y≤－2（舍去）．设t＝x＋y，则t≥6，（x＋y）＋＝t＋.设f（t）＝t＋，则在t≥6时，f（t）单调递增，所以f（t）＝t＋的最小值为6＋＝，所以a≤，即实数a的取值范围是.

答案　

三、解答题

9．已知函数f（x）＝.

（1）若f（x）>k的解集为{x|x<－3，或x>－2}，求k的值；

（2）对任意x>0，f（x）≤t恒成立，求t的取值范围．

解　

（1）f（x）>k⇔kx2－2x＋6k<0.

由已知{x|x<－3，或x>－2}是其解集，得kx2－2x＋6k＝0的两根是－3，－2.

由根与系数的关系可知（－2）＋（－3）＝，即k＝－.

（2）因为x>0，f（x）＝＝≤＝，当且仅当x＝时取等号．由已知f（x）≤t对任意x>0恒成立，故t≥，即t的取值范围是.

10．如图，建立平面直角坐标系xOy，x轴在地平面上，y轴垂直于地平面，单位长度为1千米．某炮位于坐标原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程y＝kx－（1＋k2）x2（k>0）表示的曲线上，其中k与发射方向有关．炮的射程是指炮弹落地点的横坐标．

（1）求炮的最大射程；

（2）设在第一象限有一飞行物（忽略其大小），其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标a不超过多少时，炮弹可以击中它？

请说明理由．

解　

（1）令y＝0，得

kx－（1＋k2）x2＝0，

由实际意义和题设条件知x>0，k>0，

故x＝＝≤＝10，

当且仅当k＝1时取等号．

所以炮的最大射程为10千米．

（2）因为a>0，

所以炮弹可击中目标⇔存在k>0，

使3.2＝ka－（1＋k2）a2成立⇔关于k的方程a2k2－20ak＋a2＋64＝0有正根⇔判别式Δ＝（－20a）2－4a2（a2＋64）≥0⇔a≤6.

所以当a不超过6千米时，可击中目标．

11．已知函数f（x）＝x2＋bx＋c（b，c∈R），对任意的x∈R，恒有f′（x）≤f（x）．

（1）证明：

当x≥0时，f（x）≤（x＋c）2；

（2）若对满足题设条件的任意b，c，不等式f（c）－f（b）≤M（c2－b2）恒成立，求M的最小值．

（1）证明　易知f′（x）＝2x＋b.由题设，对任意的x∈R，2x＋b≤x2＋bx＋c，即x2＋（b－2）x＋c－b≥0恒成立，所以（b－2）2－4（c－b）≤0，从而c≥＋1，于是c≥1，

且c≥2＝|b|，因此2c－b＝c＋（c－b）＞0.

故当x≥0时，有（x＋c）2－f（x）＝（2c－b）x＋c（c－1）≥0.即当x≥0时，f（x）≤（x＋c）2.

（2）解　由

（1）知c≥|b|.当c＞|b|时，有M≥＝＝.

令t＝，则－1＜t＜1，＝2－.

而函数g（t）＝2－（－1＜t＜1）的值域是.

因此，当c＞|b|时，M的取值集合为.

当c＝|b|时，由

（1）知b＝±2，c＝2.此时f（c）－f（b）＝－8或0，c2－b2＝0，从而f（c）－f（b）≤（c2－b2）恒成立．

综上所述，M的最小值为.

第3讲　导数与函数的单调性、极值与最值的基本问题

一、选择题

1．函数f（x）＝x2－lnx的单调递减区间为（　　）．

A．（－1,1]B．（0,1]

C．[1，＋∞）D．（0，＋∞）

解析　由题意知，函数的定义域为（0，＋∞），又由f′（x）＝x－≤0，解得0

答案　B

2.已知函数y＝f′（x）的图象如图所示，则函数f（x）的单调递增区间为（　　）．

A．（－∞，1）

B．（－∞，0）和（2，＋∞）

C．R

D．（1,2）

解析　因为函数y＝x是R上的减函数，所以f′（x）＞0的充要条件是0＜f′（x）＜1，f′（x）＜0的充要条件是f′（x）＞1.由图象，可知当x∈（－∞，0）∪（2，＋∞）时，0＜f′（x）＜1，即f′（x）＞0.所以函数f（x）的单调递增区间为（－∞，0）和（2，＋∞）．

答案　B

3．已知e为自然对数的底数，设函数f（x）＝（ex－1）（x－1）k（k＝1,2），则（　　）．

A．当k＝1时，f（x）在x＝1处取到极小值

B．当k＝1时，f（x）在x＝1处取到极大值

C．当k＝2时，f（x）在x＝1处取到极小值

D．当k＝2时，f（x）在x＝1处取到极大值

解析　当k＝1时，f′（x）＝ex·x－1，f′

（1）≠0，

∴f

（1）不是极值，故A，B错；

当k＝2时，f′（x）＝（x－1）（xex＋ex－2），

显然f′

（1）＝0，且x在1的左侧附近f′（x）<0，

x在1的右侧附近f′（x）>0，

∴f（x）在x＝1处取到极小值．故选C.

答案　C

4．设函数f（x）的定义域为R，x0（x0≠0）是f（x）的极大值点，以下结论一定正确的是（　　）．

A．∀x∈R，f（x）≤f（x0）

B．－x0是f（－x）的极小值点

C．－x0是－f（x）的极小值点

D．－x0是－f（－x）的极小值点

解析　A错，因为极大值未必是最大值；B错，因为函数y＝f（x）与函数y＝f（－x）的图象关于y轴对称，－x0应是f（－x）的极大值点；C错，函数y＝f（x）与函数y＝－f（x）的图象关于x轴对称，x0应为－f（x）的极小值点；D正确，函数y＝f（x）与y＝－f（－x）的图象关于原点对称，－x0应为y＝－f（－x）的极小值点．

答案　D

二、填空题

5．（2014·盐城模拟）已知f（x）＝x2＋2xf′（2014）＋2014lnx，则f′（2014）＝_____.

解析　因为f′（x）＝x＋2f′（2014）＋，

所以f′（2014）＝2014＋2f′（2014）＋，

即f′（2014）＝－（2014＋1）＝－2015.

答案　－2015

6．函数f（x）＝2mcos2＋1的导函数的最大值等于1，则实数m的值为________．

解析　显然m≠0，所以f（x）＝2mcos2＋1

＝m＋m＋1＝mcosx＋m＋1，

因此f′（x）＝－msinx，其最大值为1，故有m＝±1.

答案　±1

7．已知函数f（x）＝x2－ax＋3在（0,1）上为减函数，函数g（x）＝x2－alnx在（1,2）上为增函数，则a的值等于________．

解析　∵函数f（x）＝x2－ax＋3在（0,1）上为减函数，

∴≥1，得a≥2.

又∵g′（x）＝2x－，依题意g′（x）≥0在x∈（1,2）上恒成立，得2x2≥a在x∈（1,2）上恒成立，有a≤2，∴a＝2.

答案　2

8．（2014·绍兴模拟）若a>0，b>0，且函数f（x）＝4x3－ax2－2bx＋2在x＝1处有极值，则ab的最大值为________．

解析　依题意知f′（x）＝12x2－2ax－2b，

∴f′

（1）＝0，即12－2a－2b＝0，∴a＋b＝6.

又a>0，b>0，∴ab≤2＝9，当且仅当a＝b＝3时取等号，∴ab的最大值为9.

答案　9

三、解答题

9．设f（x）＝a（x－5）2＋6lnx，其中a∈R，曲线y＝f（x）在点（1，f

（1））处的切线与y轴相交于点（0,6）．

（1）确定a的值；

（2）求函数f（x）的单调区间与极值．

解　

（1）因f（x）＝a（x－5）2＋6lnx，

故f′（x）＝2a（x－5）＋.

令x＝1，得f

（1）＝16a，f′

（1）＝6－8a，

所以曲线y＝f（x）在点（1，f

（1））处的切线方程为

y－16a＝（6－8a）（x－1），

由点（0,6）在切线上可得6－16a＝8a－6，故a＝.

（2）由

（1）知，f（x）＝（x－5）2＋6lnx（x>0），

f′（x）＝x－5＋＝.

令f′（x）＝0，解得x＝2或3.

当03时，f′（x）>0，

故f（x）在（0,2），（3，＋∞）上为增函数；

当2

故f（x）在（2,3）上为减函数．

由此可知f（x）在x＝2处取得极大值f

（2）＝＋6ln2，在x＝3处取得极小值f（3）＝2＋6ln3.

10．（2014·新课标全国卷Ⅱ节选）已知函数f（x）＝ex－e－x－2x.

（1）讨论f（x）的单调性；

（2）设g（x）＝f（2x）－4bf（x），当x>0时，g（x）>0，求b的最大值．

解　

（1）f′（x）＝ex＋e－x－2≥0，等号仅当x＝0时成立．

所以f（x）在（－∞，＋∞）单调递增．

（2）g（x）＝f（2x）－4bf（x）＝e2x－e－2x－4b（ex－e－x）＋（8b－4）x，

g′（x）＝2[e2x＋e－2x－2b（ex＋e－x）＋（4b－2）]

＝2（ex＋e－x－2）（ex＋e－x－2b＋2）．

①当b≤2时，g′（x）≥0，等号仅当x＝0时成立，所以g（x）在（－∞，＋∞）单调递增．而g（0）＝0，所以对任意x>0，g（x）>0；

②当b>2时，若x满足2

综上，b的最大值为2.

11．（2014·山东卷）设函数f（x）＝－k（k为常数，e＝2.71828…是自然对数的底数）．

（1）当k≤0时，求函数f（x）的单调区间；

（2）若函数f（x）在（0,2）内存在两个极值点，求k的取值范围．

解　

（1）函数y＝f（x）的定义域为（0，＋∞）．

f′（x）＝－k

＝－

＝.

由k≤0可得ex－kx>0，

所以当x∈（0,2）时，f′（x）<0，函数y＝f（x）单调递减，

当x∈（2，＋∞）时，f′（x）>0，函数y＝f（x）单调递增．

所以f（x）的单调递减区间为（0,2），单调递增区间为（2，＋∞）．

（2）由

（1）知，k≤0时，函数f（x）在（0,2）内单调递减，

故f（x）在（0,2）内不存在极值点；

当k>0时，设函数g（x）＝ex－kx，x∈（0，＋∞）．

因为g′（x）＝ex－k＝ex－elnk，

当0

当x∈（0,2）时，g′（x）＝ex－k>0，y＝g（x）单调递增．

故f（x）在（0,2）内不存在两个极值点；

当k>1时，

得x∈（0，lnk）时，g′（x）<0，函数y＝g（x）单调递减；

x∈（lnk，＋∞）时，g′（x）>0，函数y＝g（x）单调递增．

所以函数y＝g（x）的最小值为g（lnk）＝k（1－lnk）．

函数f（x）在（0,2）内存在两个极值点，

当且仅当解得e

综上所述，函数f（x）在（0,2）内存在两个极值点时，k的取值范围为.

第4讲　利用导数求参数的取值范围

一、选择题

1．已知函数f（x）＝mx2＋lnx－2x在定义域内是增函数，则实数m的取值范围是

（　　）．

A．[－1,1]B．[－1，＋∞）

C．[1，＋∞）D．（－∞，1]

解析　f′（x）＝mx＋－2≥0对一切x＞0恒成立，

∴m≥－2＋.

令g（x）＝－2＋，则当＝1，即x＝1时，函数g（x）取最大值1.故m≥1.

答案　C

2．（2014·广州调研）函数f（x）＝x3－3ax－a在（0,1）内有最小值，则a的取值范围是

（　　）．

A．[0,1）B．（－1,1）

C.D．（0,1）

解析　f′（x）＝3x2－3a＝3（x2－a）．

当a≤0时，f′（x）＞0，

∴f（x）在（0,1）