最小二乘法拟合.docx
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最小二乘法拟合
4.最小二乘法线性拟合
我们知道，用作图法求出直线的斜率a和截据b，可以确定这条直线所对应的经验
公式，但用作图法拟合直线时，由于作图连线有较大的随意性，尤其在测量数据比较分
散时，对同一组测量数据，不同的人去处理，所得结果有差异，因此是一种粗略的数据
处理方法，求出的a和b误差较大。
用最小二乘法拟合直线处理数据时，任何人去处理同
一组数据，只要处理过程没有错误，得到的斜率a和截据b是唯一的。
最小二乘法就是将一组符合Y=a+bX关系的测量数据，用计算的方法求出最佳的a
和b。
显然，关键是如何求出最佳的a和b。
（1）求回归直线
设直线方程的表达式为：
y二abx（2-6-1）
要根据测量数据求出最佳的a和bo对满足线性关系的一组等精度测量数据（Xi，yi），假定自变量Xi的误差可以忽略，则在同一Xi下，测量点yi和直线上的点a+bxi的偏差di如下：
di=yi-a-bx-i
d^—y2~a-bx2
dn=yn~a~bxn
显然最好测量点都在直线上（即di=d2=,,=dn=0）,求出的a和b是最理想的，但
测量点不可能都在直线上，这样只有考虑di、d2、”、dn为最小，也就是考虑di+d2+,,
+dn为最小，但因di、d2、，，、dn有正有负，加起来可能相互抵消，因此不可取；而|di|+
|d2|+,,+|dn|又不好解方程，因而不可行。
现在米取一种等效方法：
当d^+d/+,,+dn2
222
对a和b为最小时，di、d2、，，、dn也为最小。
取（di+d2+,,+dn）为最小值，求a
和b的方法叫最小二乘法。
n
D八di2
iJ
D对a和b分别求一阶偏导数为:
n
-na-b'Xi]
iT
n
-b'Xj2]
id
再求二阶偏导数为:
满足最小值条件，令一阶偏导数为零:
引入平均值:
2'
x-x
（2-6-7
将a、b值带入线性方程y=abx，即得到回归直线方程。
（2）y、a、b的标准差
在最小二乘法中，假定自变量误差可以忽略不计，是为了方便推导回归方程。
操作中函数的误差大于自变量的误差即可认为满足假定。
实际上两者均是变量，都有误差，从而导致结果y、a、b的标准差（n>6）如下：
、（%-bXi-a）2
（根式的分母为n-2,是因为有两个变量）
⑶相关系数
相关系数是衡量一组测量数据Xi、yi线性相关程度的参量，其定义为:
（2-6-11）
xy_xy
（x2-x）（y2一/）
r值在0<|r|w1中。
|r|越接近于1,x、y之间线性好；r为正，直线斜率为正，称为正相关；r为负，直线斜率为负，称为负相关。
|r|接近于0，则测量数据点分散或为、屮之间为非线性。
不论测量数据好坏都能求出a和b,所以我们必须有一种判断测量
数据好坏的方法，用来判断什么样的测量数据不宜拟合，判断的方法是|r|数据是非线性的.r0称为相关系数的起码值，与测量次数n有关，如下表2-6-2
表2-6-2相关系数起码值r0
n
r
n
r
n
r0
3
1.000
9
0.798
15
0.641
4
0.990
10
0.765
16
0.623
5
0.959
11
0.735
17
0.606
6
0.917
12
0.708
18
0.590
7
0.874
13
0.684
19
0.575
8
0.834
14
0.661
20
0.561
在进行一元线性回归之前应先求出r值，再与r0比较，若|r|>r0，则x和y具有
线性关系，可求回归直线；否则反之。
R
例9:
灵敏电流计的电流常数K和内阻Rg的测量公式为R2sU_Rg测得的
©Rd9
数据同例7,其中间处理过程如下，试用最小二乘法求出K和Rg,并写出回归方程的表
达式。
解：
测量公式与线性方程表达式y=a+bx比较：
Rs
y=R2x=Ub-a=-R9
KiR1d勺
数据处理如表2-6-3:
表2-6-3Rs=0.100QR1=4350.0Qd=40.0mm
i
1
2
3
4
5
6
7
8
平均值
R（Q）
400.0
350.0
300.0
250.0
200.0
150.0
100.0
50.0
225.0
U（V）
2.82
2.49
2.15
1.82
1.51
1.18
0.84
0.56
1.67125
R；（104q2）
16.00
12.25
9.000
6.250
4.000
2.250
1.000
0.250
6.375
F（V2）
7.95
6.20
4.62
3.31
2.28
1.39
0.71
0.31
3.34625
RU（102qV）
11.3
8.72
6.45
4.55
3.02
1.77
0.84
0.28
4.615625
中间过程可多取位：
X=1.67125y=225.0x2=3.34625
相关系数
查表得知，当n=8时,关，可以求回归直线。
求回归方程的系数
a=y-bx=-33.4
代换
Rg=-a=33.4Q
丘二b=154.6192304
KRd
K=Rs=3.7170X10-gA/mmbRd
计算标准差为:
计算不确定度:
测量结果表达式
因为
②操作步骤和方法
（i）按[MODE][0]键，计算器进入单变量统计计算状态。
屏右上角显示“STAT1'
指示符。
（ii）清除内存数据：
按[INV][ON/C.CE]键。
（iii）数据输入：
依次先键入数值，然后按[DATA]键，每完成一次输入的同时，屏
幕均会显示数据的个数n值。
（iv）数据修正：
按[DATA]键之前，要删除错误数据，按[ON/C.CE];按[DATA]键后
要删除错误数据，再次输入该错误值，然后按[INV][DEL]。
（v）取分析结果：
[INV][X]:
平均值
[INV][、X]:
数据和
2
[INV][vX]:
数据平方和
[INV][S]:
测量列的标准偏差
[INV][n]:
数据个数
例10:
一组等精度测量值为：
83.1>83.3、83.3、83.7、83.9、83.6、83.4、83.4、
2
83.1>83.2，试求x、、•x、'x、S、n。
解:
按键
显示
[MODE][0]
ST10
[INV][ON/C.CE]
0
83.1[DATA]
n1
83.3[DATA]
n2
83.3[DATA]
n3
83.7[DATA]
n4
83.9[DATA]
n5
83.6[DATA]
n6
83.4[DATA]
n7
83.4[DATA]
n8
83.1[DATA]
n9
83.2[DATA]
n10
[INV][X]
83.4
[INV][瓦x]
834
[INV][迟x2]
69556.22
[INV][S]
0.262466929
[INV][n]
10
注：
当n》6时，认为二=S。
（2）最小二乘法求回归直线
①求回归直线参量a、b、r的计算器运行公式
由（2-6-6）、（2-6-7）、（2-6-11）式得到以下只含Xi、yi两个变量的公式:
nn
'y,-b'Xi
i2
n
'Xi'yi_n'Xiyi
iTiTi£
nn
（'Xi）2-n'x：
ii咼
nnn
n'kwx「yi
i#i#i=1
r=I
nnnn
、[n，X2-CXi）2][n'y：
-Cyj2]Yimi=1imi#
②操作步骤和方法：
STAT2
按[b]键,
（i）按[MODE][.]，计算器进入双变量统计计算状态。
屏幕右上角显示“指示符。
（ii）清除内存数据：
按[INV][ON/C.CE]键
（iii）双变量数据输入：
先键入x的值、按⑻键，然后键入y的值、再按[DATA]键，完成输入。
屏幕会同时显示数据的个数，即n值。
（iv）数据修正：
同单变量数据输入。
（v）取分析结果
[INV][a]:
回归直线的截距
[INV][b]:
回归直线的斜率
[INV][r]:
相关系数
还可以取以下值：
22[INV][x]、[INV][y]、[INV][工x]、[INV][工x]、[INV][工y]、[INV][工y]、
则：
[INV][工xy],以便计算二y、二a、二b（计算器没有该三项的计算程序）。
例11:
灵敏电流计实验所测数据如下：
Rs=0.100QR1=4350.0Qd=40.0mm
R2（Q）
400.0
350.0
300.0
250.0
200.0
150.0
100.0
50.0
U（V）
2.82
2.49
2.15
1.82
1.51
1.18
0.84
0.56
要求所使用计算器具有计算最小二乘法的功能，求回归直线以及电流计的电流常数
K和内阻Rgo
按键
显示
[MODE][.]
ST20
[INV][ON/C.CE]
0
2.82{a}400.0[b][DATA]
n1
2.49[a]350.0[b][DATA]
n2
2.15[a]300.0[b][DATA]
n3
1.82[a]250.0[b][DATA]
n4
1.51[a]200.0[b][DATA]
n5
1.18[a]150.0[b][DATA]
n6
0.84[a]100.0[b][DATA]
n7
0.56[a]50.0[b][DATA]
n8
[INV][a]
a-32.12335698
[INV][b]
b153.8509241
[INV][r]
r0.9998323336
解：
测量公式R2二RsU-尺与线性方程表达式y=a+bx比较y=R2x=U,
KRd
查表知道，当n=8时，ro=0.834,r>r0，说明UR2之间线性相关。
得到:
回归方程R2=154U-32
电流计内阻Rg=321
电流常数K=3.74X10-9A/mm
习
1指出下列测量结果的有效数字：
（1）I=5010mA
8
⑵C=2.99792458X10m/s
2•按“四舍五入”修约法，将下列数据只保留
（1）1.005
⑵979.499
（3）980.501
⑷6.275
（5）3.134
3.单位变换：
（1）m=3.162±0.002kg
=g
=mg
=T
（2）0=（59.8±0.1）°
=（_）“
（3）L=98.96±0.04cm
=m
=mm
=jin
4•改错并且将一般表达式改写成科学表达式：
1192
（1）Y=（1.96X10±5.78X10）N/m
（2）L=（160000±100）m
5•按有效数字运算规则计算下列各式：
（1）1000-=
3
（2）3.2X10+3.2=
（3）tg3005—
100.325+100.125
（4）=
100.325-100.125
2
（5）R1=5.10kQ,R2=5.10X10q,
R=R]+R>+Rj=
（6）
3位有效数字:
R*=51Qo求:
L=1.674m-8.00cm=
6.求下列公式的不确定度:
4m
二d2h
-J
⑶L=h+d
3
x-y
xy
7.用分度值为1mm的米尺测量一物体长度L,测得数据为：
98.98cm、98.96cm、98.97cm、
98.94cm、99.00cm、98.95cm、98.97cm，试求L、△L,并写出测量结果表达式
L±AL。
&测量出一个铅圆柱体的直径为d=（2.040±0.001）cm,高度为h=件120±0.001）cm,
质量为m=（149.10±0.05）g，试计算1、X，并表示测量结果。
9•某同学测量弹簧倔强系数的数据如下：
F（g）
2.00
4.00
6.00
8.00
10.00
12.00
14.00
y（cm）
6.90
10.00
13.05
15.95
19.00
22.05
25.10
1
其中F为弹簧所受的作用力，y为弹簧的长度，已知y-y0=（-）F，试用作图法求弹
k
簧的倔强系数k及弹簧的原来长度y。
。
10•用伏安法测电阻时，测出的数据如下，试求回归直线，并求出测量结果R值。
I（mA）
2.00
4.00
6.00
8.00
10.00
12.00
14.00
16.00
18.00
20.00
U（V）
1.00
2.01
3.05
4.00
5.01
5.99
6.98
8.00
9.00
9.96
11.用双臂电桥对某一电阻作多次等精度测量，测得数据如下：
R（Q）:
12.0612.1012.1212.1512.1612.1712.1912.2112.22
12.2512.2612.3512.4212.83
试用3二准则判断该测量列中是否有坏值，计算出检验后的算术平均值及平均值的标准差，正确表达测量结果。
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