数学建模竞赛第2套试题DOC.docx
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数学建模竞赛第2套试题DOC
第1号题水质评价
按照《中华人民共和国地下水质量标准》，地下水水质共分六个等级（如表一）。
现经过抽样得到三个地区的水质状况（如表二），对照标准，试评价他们各属哪一级。
表一地下水质量标准
Ⅰ类
Ⅱ类
Ⅲ类
Ⅳ类
Ⅴ类
COD（mg/l）
1
2
3
6
6
硒（mg/l）
0.005
0.01
0.01
0.05
0.05
汞（ug/l）
0.05
0.5
1
1
1
总硬度（mg/l）
150
300
450
550
550
硝酸盐（mg/l）
2
5
20
30
30
锰（mgl/l）
0.05
0.05
0.1
1
1
亚硝酸盐（mg/l）
0.001
0.01
0.02
0.1
0.1
表二三个地区水质状况
COD（mg/l）
硒（mg/l）
汞（ug/l）
总硬度（mg/l）
硝酸盐（mg/l）
锰（mgl/l）
亚硝酸盐（mg/l）
1
1.42
0
0.02
360.8
25.6
0.6
0
2
3.41
0.02
0.4
420.7
32.5
0.2
0.02
3
4.01
0.03
0.5
380.9
12.4
0.08
0.01
第2号题工资比较
为研究工资水平与工作年限和性别之间的关系，在某行业中随机抽取10名职工，所得数据如表一所示，试通过回归方程分析月工资收入与性别和工作年限有何关系。
表一10名职工工资水平、工作年限和性别数据
月工资收入
工作年限
性别
月工资收入
工作年限
性别
2900
2
男
4900
7
男
3000
6
女
4200
9
女
4800
8
男
4800
8
女
1800
3
女
4400
4
男
2900
2
男
4500
6
男
第3号题农产品定价
某国政府要为其牛奶、奶油和奶酪等奶制品定价。
所有这些产品都直接或间接的来自国家的原奶生产。
原奶首先要分离成脂肪和奶粉两中组合，去掉生产出口产品和农场消费的产品的部分后，余下的共有60万吨脂肪和70万吨奶粉，可用于生产牛奶、奶油和两种奶酪，供国内全年消费。
各种产品的百分比组成见下表：
产品\成分
脂肪
奶粉
水
牛奶
4
9
87
奶油
80
2
18
奶酪1
35
30
35
奶酪2
25
40
35
往年的国内消费和价格如下表：
产品
牛奶
奶油
奶酪1
奶酪2
消费量（千吨）
4820
320
210
70
价格（元/吨）
297
720
1050
815
价格的变化会影响消费需求。
为表现这方面的规律，定义需求的价格伸缩性E：
E=需求降低百分数/价格提高百分数
各种产品的E值，可以据往年的价格而后需求变化情况的统计数据，用数理统计方法求出。
另外，两种奶酪的需求，随它们价格的相对变化，在某种程度上可以相互替代。
表现这一规律要用需求关于价格的交叉伸缩性EAB定义作：
EAB=A需求提高百分数/B价格提高百分数
奶酪1到奶酪2的E12值和奶酪2到奶酪1的交叉伸缩性E21值,同样可以凭数据用统计方法求出
已经求出牛奶、奶油、奶酪1、奶酪2的E值依次为0.4，2.7，1.1和0.4以及E12=0.1,E21=0.4.
试求出4种产品的价格，试所导致的需求使销售总收入为最大。
然而，政策不允许某种价格指标上升，这使得新的价格必须使消费的总费用较上一年度不增加。
因此，对问题的一个特别重要的附加要求，是对这一政策限制的经济代价，给出数量表示。
第4号题投资决策
某地区根据经济发展规划,拟投资建造一级和二级公路若干条，综合分析后，提出公路等级、公路里程、公路用地面积、造价、主要原材料用量和年货运周转量等决策参数列于表一,试选择公路建设的最优方案。
表一公路投资决策参数
决策参数
一级公路
二级公路
资源限额
拟建公路里程（km）
x
y
用地面积（100m2/km）
250
200
6000dm2左右
造价（万元/km）
300
140
5000左右
水泥用量（t/km）
800
500
15000t左右
沥青用量（t/km）
320
90
6500t左右
年货运周转量（104t/km）
1500
800
25000
104左右
第5号题销售选址
某公司准备在某市建立两个销售代理点，向该市7个区的顾客销售商品，每个区的顾客数量（单位：
千人）已经表示在下图上，每个销售代理点只能向本区和一个相邻区的顾客销售商品，这两个销售代理点应该建在何处，才能使所能服务的顾客数量最大，试建立模型并求解。
第6号题绩效评估
某公司有三位副经理，现要对他们进行年度绩效考评，评估结果将作为发放奖金和晋升的依据。
公司对25名关键员工进行了关于三位经理工作满意度的调查，表一中是调查问卷的统计结果。
若公司总经理一职因多方原因空缺，需从三位副经理当中提升，请问哪位副经理才是最合适的人选。
表一调查问卷统计结果
评价
项目
评价等级
好
较好
一般
差
甲
乙
丙
甲
乙
丙
甲
乙
丙
甲
乙
丙
工作能力
9
12
10
14
12
10
2
1
5
0
0
0
团队精神
3
15
1
14
7
19
7
2
5
1
1
0
创新精神
5
14
5
15
8
13
5
2
6
0
1
1
尊重员工
1
13
4
10
8
14
11
2
6
3
2
1
公平公正
2
15
2
11
9
15
12
1
7
0
0
1
帮助员工
5
14
1
14
7
16
6
2
8
0
2
0
认真负责
4
13
2
6
9
17
13
2
5
2
1
1
沟通交流
3
16
1
8
8
14
12
1
8
2
0
2
第7号题校园巴士的运行方案
由于校园巴士存在等客问题，使得校内黑巴载人现象严重，影响校园内的交通。
为了彻底铲除校内黑巴，只靠保卫处严管远远不够，需从运营效益方面限制黑巴的收入，从而使其自行退出。
假设目前有校内巴士12台，每台车可容纳15人；黑巴小面包10台（可容3~5人），大面包3台（可容6－9人），分布于大门口、教学区和荟园公寓处。
如果在高峰时（早晨7：
00—8：
00；中午12：
00—12：
30；晚5：
00—6：
00）校内巴士等待的时间为3分钟，其它时间段校内巴士等待的时间为10-20分钟。
请计算全天各类车的总的运客量，并根据这个运客量安排校内巴士的数量、等车间隔时间，以使每辆黑巴的收入低于20元，可假设校园巴士运行一趟约七公里，车辆的平均速度为30公里/小时。
第8号题搭配问题
14个人A－N可以有以下33组搭配工作方式，
[ABC]，[BCE]，[FGH]，[GHI]，[HIK]，[HJK]，[AB]，[AE]，[BC]，[BE]，[CD]，[CE]，[DE]，[EF]，[EJ]，[FG]，[FH]，[GH]，[GI]，[HI]，[HJ]，[HK]，[IK]，[IL]，[JK]，[JM]，[KL]，[KM]，［LN]，[MN]，[B]，[D]，[L]。
同一时间段内，要求每个人都在工作，试问：
（1）从中选取5组搭配能不能保证每个人都在工作？
为什么。
（2）如果选取6组搭配能不能保证每个人都在工作？
有多少种选取方式？
（3）列举选取6组以上的情况。
第9号题选择应急中心位置
某城镇至今尚无应急设施，今得到一笔上级拨款，拟将消防队，医院和公安局集中在一处，用于在城镇中建立一个应急中心。
根据去年各街区发生应急事件的次数如下图1（每个小方格代表一个街区，横竖线代表街道。
图中左边有一反“L”形阴影区域表示该处有一障碍，右边长方形阴影区域是一浅水塘公园，可以认为这些阴影部份应急事件次数均为零。
）
应急车驶过南北向一个街区平均花15S，东西街区平均花20S，试问应将应急中心建于何处，能使最长应急响应时间最短。
注：
应急中心一般建在街角处。
若建两处应急中心，又应选在什么位置呢？
第10号题房地产销售问题
我市某房地产公司通过对历史资料进行回归分析（即数据拟合），并结合2008年上半年可能出现的影响楼盘销售的因素，预测该公司2008年上半年的销售情况如下表所示：
月份
123456
销售量（套）
423241672529
该公司的楼盘2007年12月的销售均价为4800元/平方米，平均每套120平方米，2008年上半年的售价保持不变。
2007年12月末尚有49套现房未售出。
商品房从规划到售出会发生下列费用：
（1）建造成本，包括固定成本（主要是指购地、机器设备的折旧）和可变成本（钢材、水泥、装饰材料和人工成本等，其中人工成本在可变成本中占到大约40%），按照2007年12月份的建材价格计算，可变成本（万元）与商品房建造套数（以平均每套120平方米计算）的平方成正比，比例系数为0.5。
且可变成本与建材价格上涨幅度有关，例如建材价格上涨10%，则可变成本是按前面方法计算结果的1.1倍。
（2）销售费用，与当月销售金额成正比。
（3）折旧，建造好的商品房未售出的必须计提折旧，折旧分40年平均摊销，即该公司生产的商品房平均每套每月的折旧为48万元/（40*12）=0.1万元。
近年以来，央行和国家发改委等部门出台了一系列措施平抑建材价格，但由于对建材需求结构而言，总体上求大于供的市场状况没有得到根本改善，预计今年建材的价格仍会有一定的增长。
预计的增长速度（以2007年12月的价格为基准）见下表：
月份
123456
增长速度
10%10%15%15%20%20%
该公司希望在上半年就把建造好的房屋全部销售完，为使利润最大化，需要制定出从2008年1月到6月每月的建造计划（即每月完成多少套，以平均每套120平方米计算）。
（1）如果公司的月建造能力没有限制，并允许期房（即尚未建好的房屋）销售，但在6月底前要全部完成交房，如何制定月建造计划？
（2）如果公司的月建造能力限于33套（以平均每套120平方米计算），并且允许期房（即尚未建好的房屋）销售，但在6月底前要全部完成交房，又该如何制定月建造计划？
第11号题牧场的管理
有一块一定面积的草场放牧羊群，管理者要估计草场能放牧多少羊，每年保留多少母羊羔，夏季要贮存多少草供冬季之用.
为解决这些问题调查了如下的背景材料：
1）本地环境下这一品种草的日生长率为
季节
冬春夏秋
日生长率（g/m2）
0374
2）羊的繁殖率通常母羊每年产1~3只羊羔，5岁后被卖掉。
为保持羊群的规模可以买进羊羔，或者保留一定数量的母羊。
每只母羊的平均繁殖率为
年龄
0~11~22~33~44~5
产羊羔数
01.82.42.01.8
3）羊的存活率不同年龄的母羊的自然存活率（指存活一年）为
年龄
1~22~33~4
存活率
0.980.950.80
4）草的需求量母羊和羊羔在各个季节每天需要的草的数量（kg）为
季节
冬春夏秋
母羊
2.052.401.151.30
羊羔
01.001.650
注：
只关心羊的数量，而不管它们的重量。
一般在春季产羊羔，秋季将全部公羊和一部分母羊卖掉，保持羊群数量不变。
第12号题选课问题
某同学考虑下学期的选课，其中必修课只有一门（2学分），可供选修的限定选修课（限选课）有8门，任意选修课（任选课）有10门。
由于有些课程之间相互关联，所以可能在选修某门课程时必须同时选修其他某门课程，课程信息见下表：
限选课课号
1
2
3
4
5
6
7
8
学分
5
5
4
4
3
3
3
2
同时选修要求
1
2
任选课课号
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
学分
3
3
3
2
2
2
1
1
1
1
同时选修要求
8
6
4
5
7
6
按学校规定，学生每个学期选修的总学分数不能少于20学分，因此该同学必须在上述18门课中至少选修18个学分，学校还规定学生每学期选修任选课的比例不能少于所修总学分（包括2个必修学分）的1/6,也不能超过所修总学分的1/3。
学院也规定，课号为5，6，7，8的课程必须至少选一门。
试问：
1）为了达到学校和院系的规定，该同学下学期最少应该选几门课？
应该选哪几门课？
2）若考虑在选修最少学分的情况下，该同学最多可以选修几门课？
选哪几门？
3）若考虑到选修时课程能否如愿选上的问题，请多准备几套选择方案。
已知课程限选人数为1，2，3，4限选人数最多，5，6，7，8次之，13、17、18限选人数最少。
请考虑选课时的先后顺序（先选者先录，人满停选）。
第13号题企业评价
选定20个评价者对某一企业的市场营销效果进行评价，将评价等级分为五等，如表一所示，评价等级的数字表示人数，如“资产负债率”一栏表示有6个人认为很好，9个人认为较好等等，采用适当的方法对该企业属于哪一等级作出评价。
表一企业市场营销效果评价情况
评价因素
评价因子
评价等级
很好
较好
一般
较差
很差
财务效果
资产负债率
6
9
4
1
0
资产报酬率
2
16
2
0
0
股东权益报酬率
1
12
7
0
0
销售净利率
1
9
8
2
0
竞争效果
顾客渗透率
3
10
6
1
0
顾客忠诚度
2
6
8
4
0
顾客选择性
3
9
7
1
0
价格选择性
1
8
2
9
0
营销效率
市场扩大速度
1
8
9
2
0
销售费用对销售额比率
2
7
3
4
2
公众效果
社会贡献率
1
8
5
5
1
竞争者仿效率
1
4
8
6
1
媒介注意度
1
7
9
3
0
顾客满意度
2
5
8
4
1
服务效果
承诺履约率
5
7
4
3
1
用户投诉率
0
8
4
7
1
商品退换率
1
9
5
5
0
社会导向
消费者影响率
8
6
2
4
0
品牌形成率
4
4
8
3
1
14:
考试场次的安排
某校有学生班40个，开设课程50门（课程代号为：
1，2，3，4，…,50），课表如下：
班号
A1
A2
A3
A4
选课
1,2,5,8,13,16,17,24
2,4,6,9,43,45,50
3,7,35,38,40,41
23,26,28,32,31,45
班号
A5
A6
A7
A8
选课
11,14,18,19,24,25,28
1,5,9,29,26,34,38
3,4,7,10,15,19,20
4,11,14,16,19,21,24
班号
A9
A10
A11
A12
选课
1,2,5,8,18,50,23
3,5,23,24,26,30,39,41
7,8,9,45,48,49,50
10,12,15,19,21,27,31
班号
A13
A14
A15
A16
选课
5,41,44,45,46,48,49
10,12,18,20,23,27,29
20,22,26,30,31,33,35
23,25,29,32,35,36
班号
A17
A18
A19
A20
选课
32,33,36,38,40,42,44
1,8,9,21,22,34,35,36
11,13,15,18,19,24
22,25,28,29,34,35,42
班号
A21
A22
A23
A24
选课
50,45,46,35,37,38,39
33,35,2,5,12,28
2,5,9,12,19,29,48
3,13,23,33,43,44,48
班号
A25
A26
A27
A28
选课
4,7,22,17,27,37,44
5,7,33,48,49
33,36,48,49,50
2,8,12,28,39,48,49
班号
A29
A30
A31
A32
选课
10,12,33,23,45,35,37
2,4,8,12,42,48
3,6,9,10,43,45,50
21,26,27,29,37,39
班号
A33
A34
A35
A36
选课
2,4,6,8,18,28,30,32
10,4,24,26,27,28
20,22,23,33,42
5,9,15,25,37,46
班号
A37
A38
A39
A40
选课
1,3,5,13,24,26,33
9,10,12,23,43,46
21,23,27,39,44,48
33,34,44,45,46,47
所有课都在同一时间结束，并规定了考试时间，请解决下列问题：
1．如果每个学生只选三门课（课程编号大的优先）进行考试，试安排考场。
2．每一个学生所选的每一门课都必须考试，试安排考场。
3．若学校被用来考试的教室有限，最少应是多少教室，应如何考虑？
4．一般情况如何考虑？
注：
学校要求：
考试的整个场次尽可能的少，同一门课必须用同一张试卷。
15飞越北极
今年6月，扬子晚报发布消息：
“中美航线下月可飞越北极，北京至底特律可节省4小时”，摘要如下：
7月1日起，加拿大和俄罗斯将允许民航班机飞越北极，此改变可大幅度缩短北美与亚洲间的飞行时间，旅客可直接从休斯敦，丹佛及明尼阿波利斯直飞北京等地。
据加拿大空中交通管制局估计，如飞越北极，底特律至北京的飞行时间可节省4个小时。
由于不需中途降落加油，实际节省的时间不止此数。
假设：
飞机飞行高度约为10公里，飞行速度约为每小时980公里；从北京至底特律原来的航线飞经以下10处：
A1（北纬31度，东经122度）；A2（北纬36度，东经140度）；
A3（北纬53度，西经165度）；A4（北纬62度，西经150度）;
A5（北纬59度，西经140度）；A6（北纬55度，西经135度）；
A7（北纬50度，西经130度）；A8（北纬47度，西经125度）；
A9（北纬47度，西经122度）；A10（北纬42度，西经87度）。
请对“北京至底特律的飞行时间可节省4小时“从数学上作出一个合理的解释，分两种情况讨论：
（1）设地球是半径为6371千米的球体；
设地球是一旋转椭球体，赤道半径为6378千米，子午线短半轴为6357千米。
16题如何填报高考志愿
每年的高考牵动千家万户，如何根据自己的高考成绩合理地填报志愿是困扰每个考生的实际问题。
请你收集自己所在的省、市、自治区各高校历年的录取分数线（至少从2001年至2006年）解决以下问题：
1.首先将各高校按照重点院校（第一批招生），一般本科和高职高专分为三类，依据历年各地区的一本、二本、专科分数线，给出三类院校录取分数线与各地区的一本、二本、专科分数线之间的关联分析.
2.根据每个高校历年的录取分数线，从中找出规律，进而预测2007年的录取分数线
3.由于每年都会发生高分学生“撞车现象”，请你收集自己所在地区的“高分撞车”数据，建立模型进行分析并给出如何避免“高分撞车”现象的策略.
17空洞探测
山体、隧洞、坝体等的某些内部结构可用弹性波测量来确定。
一个简化问题可描述为，一块均匀介质构成的矩形平板内有一些充满空气的空洞，在平板的两个邻边分别等距地设置若干波源，在它们的对边对等地安放同样多的接收器，记录弹性波由每个波源到达对边上每个接收器的时间，根据弹性波在介质中和在空气中不同的传播速度，来确定板内空洞的位置。
现考察如下的具体问题：
一块240（米）×240（米）的平板（如图），在AB边等距地设置7个波源Pi（i=1,…,7），CD边对等地安放7个接收器Qj（j=1,…,7），记录由Pi发出的弹性波到达Qj的时间tij（秒）;在AD边等距地设置7个波源Ri（i=1,…,7），BC边对等地安放7个接收器Sj（j=1,…,7），记录由Ri发出的弹性波到达Sj的时间τij（秒）。
已知弹性波在介质和空气中的传播速度分别为2880（米/秒）和320（米/秒），且弹性波沿板边缘的传播速度与在介质中的传播速度相同。
1）确定该平板内空洞的位置。
2）只根据由Pi发出的弹性波到达Qj的时间tij（i,j=1,…,7），能确定空洞的位置吗；讨论在同样能够确定空洞位置的前提下，减少波源和接受器的方法。
tij
Q1
Q2
Q3
Q4
Q5
Q6
Q7
P1
0.0611
0.0895
0.1996
0.2032
0.4181
0.4923
0.5646
P2
0.0989
0.0592
0.4413
0.4318
0.4770
0.5242
0.3805
P3
0.3052
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