利用极坐标解圆锥曲线题.docx

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利用极坐标解圆锥曲线题

利用极坐标解题

知识点精析：

椭圆、双曲线、抛物线可以统一定义为：

与一个定点（焦点）的距离和一

条定直线（准线）的距离的比等于常数e的点的轨迹.

以椭圆的左焦点（双曲线的右焦点、抛物线的焦点）为极点，过点F作相应准线的垂线，垂足为K,以FK的反向延长线为极轴建立极坐标系.

椭圆、双曲线、抛物线统一的极坐标方程为：

eP一.

1ecos

其中p是定点F到定直线的距离，p>0.

当0vev1时，方程表示椭圆；

当e>1时，方程表示双曲线，若p>0,方程只表示双曲线右支，若允许pv0,方程

就表示整个双曲线；

当e=1时，方程表示开口向右的抛物线.

引论

（1）若

ep

1+ecos

则0vev1当时，方程表示极点在右焦点上的椭圆

当e=1时时，方程表示开口向左的抛物线

当e>1方程表示极点在左焦点上的双曲线

（2）若

ep

1-esin

当0vev1时，方程表示极点在下焦点的椭圆

当e=1时，方程表示开口向上的抛物线

当e>1时!

方程表示极点在上焦点的双曲线

⑶

1+esin

当0vev1时，方程表示极点在上焦点的椭圆

当e=1时，方程表示开口向下的抛物线

当e>1时!

方程表示极点在下焦点的双曲线

例题选编

表示曲线的离心率、焦距、长短轴长。

53cos

（1）二次曲线基本量之间的互求

310

解法一：

2

53

1

3彳

3

cos1

一cos

5

5

3

10

e-

P

—

5

3

c

3

3

25

—

—

a

c

a

a

5

5

8

b2

10

5

10

15

—

—

ac

—

c

c

3

3

3

8

例1.（复旦自招）确定方程

252152

（2T）（6）

31525

方程表示椭圆的离心率e-，焦距一，长轴长一，短轴长5

544

解法二：

转化为直角坐标

（2）圆锥曲线弦长问题

若圆锥曲线的弦

MN经过焦点F,

1、椭圆中，p

2.2

ab

c

cc

MNep

1ecos

ep

2ab2

1ecos（

）a2c2cos

—=l（dt>A>0）

若椭圆方程为

口b，半焦距为O0，焦点

设过F1的直线/的倾斜角为葩'交椭圆于A、B两点，求弦长I貝冈

图1

解：

连结耳儿耳爲，设I耳牛山剛”，由椭圆定义得

\^A\=2^-^\F^B\=2a-y，由余弦定理得只+（有-25®“（2应-打1

K——

整理可得，同理可求得d+c曲圧，则弦长

b2

a-ccosa

+ccosa

222a-c~cosa

同理可求得焦点在

y轴上的过焦点弦长为

勿护

22-2

a-csin-a

（a为长半轴,

b为短半轴,

c为半焦距）

结论：

椭圆过焦点弦长公式:

\AB\=-

一（焦点在洒由上）a

2呼（焦点杜轴上）a—Ccosa

~22-2

a-csin

2、双曲线中，（注释：

双曲线问题比较特殊，很多参考书上均有误解。

）

若M

N在双曲线同一支上，

MN

ep

ep

2ab2；

1ecos

1ecos（

222；

）accos

若M

N在双曲线不同支上，

MN

ep

ep

2ab2

1ecos

1ecos

222ccosa

设双曲线/押临>o，其中两焦点坐标为FU）,场（C0）,过列的直线的倾斜角为「，交双曲线于AB两点，求弦长|AB|。

卜b

arctan—<.jt~arctan—

解：

（1）当/a时，（如图2）直线E与双曲线的两个交点A、B

在同一交点上，连匚F,设…一「八「1，由双曲线定义可得

|再卫|=2底丰岛|耳同=2口+y由余弦定理可得兀+（—2"2c-cos口=（2匸+x）

\AB\-x-\-y-

a-ccose

2掳

a2-t73■cos3a

•一耳

整理可得

A—

&+EC0?

K，同理

』—

d

-c-COSS

，则可求得弦长

0

b

jz—arctan一

a

或&

（2）当

时，如图3,直线I与双曲线交点

在两支上，连耳丘耳月，设I^MI=-\^\=y，则|巧山|=加+乳，|乌罚=丁一2口,

由余弦定理可得■'■'■、'"■—

y1+（2ff）a-2y-2c-cos（^-as）=（y-2d）1

图3

整理可得

|A9|=-j+丿=

护lab1

ccosa-aaH-ccosac2►cos2a-a2

因此焦点在x轴的焦点弦长为

12ab2

-_-（arctan—

―s-（0

同理可得焦点在y轴上的焦点弦长公式

2（sA3—a-u<2、

—

a—csin-ctgo

2a,t7.

z2r（arctan—

£sina—abb

其中a为实半轴，b为虚半轴，c为半焦距，匚为AB的倾斜角。

3、抛物线中,

MN

P

1cos

P2p

1cos（）sin2

若抛物线宀如（P>与过焦点

的直线相交于A、B两点，若•’的倾斜角为

超，求弦长|AB|（图4）

解：

过A、B两点分别向

图4

x轴作垂线左』为垂足，设网"，㈣p

—+7-COS£K

则点A的横坐标为■

—-y-cosa

点B横坐标为'

由抛物线定义可得

—COSC?

+—=X!

—-V-cosa+—=

222Z2

1-cosa

1-bcosa

sina

同理P=2严的焦点弦长为

申|二季

sina

_1^1-

=2砂的焦点弦长为cos2a，所以抛物线的焦点弦长为

（焦点在辭由上）

（焦点在；k轴上）

A,B两点，求

例2.已知抛物线y2=2px（p>0）,过其焦点且斜率为k的直线交抛物线于

AB长.

22

A、B两点,

练习i:

.过双曲线H1的右焦点，引倾斜角为一的直线，交双曲线与

453

求|AB|

解：

根据题意，建立以双曲线右焦点为极点的极坐标系

5

即得23cosA（i，-）,B（2，-）

AB|i

21I

23cos—

3

23cos（—）

80

7

附录直角坐标系中的焦半径公式

设P（x,y）是圆锥曲线上的点,

1、若Fi、F2分别是椭圆的左、右焦点，则

PF1aex,PF2a

ex；

2、若F1、F2分别是双曲线的左、右焦点,

当点P在双曲线右支上时,

exa,PF2exa；

当点P在双曲线左支上时，PF1

aex,PF2aex；

3、若F是抛物线的焦点,

PF

利用弦长求面积

22

例3.设过椭圆——1的右焦点的弦AB=8,求三角形AOB的面积。

2516

a2—cos2&

，其中£为宜线画斜角

2ab~_160

—c~cos^&25—9cos2&

而点O在Zi月上的肓七度730尸yn&

豆出它^73x^-2

3

2练习2.（08年海南卷）过椭圆鼻

5

所^So^ff=2xS2=8

2

y1的焦点F作一条斜率为2的直线与椭圆交于A,

4

b两点，O为坐标原点，求AOB的面积.

简解：

首先极坐标方程中的焦点弦长公式|AB|2°P2—求弦长，然后利用公式

1ecos

1

Saob|AB||OF|sinAFO直接得出答案。

2

2

练习3.（2005年全国高考理科）已知点F为椭圆—y21的左焦点.过点F的直线h与椭

2

圆交于P、Q两点，过F且与11垂直的直线12交椭圆于M、N两点，求四边形PMQN面

辽

—2

、2cos

2

积的最小值和最大值

解析：

以点F为极点，建立极坐标系，则椭圆的极坐标方程为:

设直线h的倾斜角，则直线J的倾斜角为900，由极坐标系中焦点弦长公式知:

|PQ|

12

cos

，|MN

120

1cos（90）

2

.2

1丄sin2

2

用他们来表示四边形的面积

S2|PQ|||MN|亍〒2

sin

24

2

cos

的最大值与最小值

1丄sin22

216

由三角知识易知：

当sin2

16

1时，面积取得最小值；当sin2

9

0时，面积取得最大

利用弦长公式解决常量问题

2

x

例4.过椭圆a

b21（a

b0）

的左焦点F,作倾斜角为

60

的直线I交椭圆于A、B

两点，若

FA

2FB

，求椭圆的离心率•

简解：

建立极坐标系，然后利用等量关系,

可很快求出离心率。

设椭圆的极坐标方程为

FA

IE，解得e

ecos

1ecos60°

fb

0?

ecos240

练习4.求过椭圆

3cos

的左焦点,

且倾斜角为一的弦长

4

AB

和左焦点到左准线的

距离。

解：

先将方程

化为标准形式:

2

3

1cos

3

则离心率e

2

ep一

3

所以左焦点到左准线的距为

设A（

1,4），b（

AB

—），代入极坐标方程,

4

2

则弦长

3cos4

2

-5~

3cos—

4

24

17

（3）定值问题

例5.抛物线

2px（p0）的一条焦点弦被焦点分为

a,b的两段,

证明:

解：

以焦点F为极点，以FX

轴为极轴建立极坐标系，则抛物线的极坐标方程为

—，设A（a,）,B（b,

1cos

将A,B两点代入极坐标方程，得

p

1cos

p

cos（

则丄

a

11cos

b

1cos（

2

=-（定值）

p

点睛:

引申到椭圆和双曲线也是成立的。

推论:

若圆锥曲线的弦MN经过焦点F,

则有

1

MF

1

NF

ep

例6.经过椭圆的的焦点作两条相互垂直的弦

AB和弦CD,求证

AB

—为定值。

CD

证明：

以椭圆的左焦点建立极坐标系，此时椭圆的极坐标方程为

坐，又设

1ecos

1,1,B

2,+

C忖

D

3

4，1

+则代入可得

|AB|厂也

1ecos

2ep

|AB|1e2sin2

12-e2

AB

CD2ep

注释。

此公式对抛物线也成立，但对双曲线不成立。

注意使用的范围。

推广1若经过椭圆的中心做两条相互垂直的弦，倒数和也为定值。

需要以原点为极点建立极坐标方程。

推广2若不取倒数，可以求它们和的最值。

22

例7.（2007重庆理改编）中心在原点O的椭圆—-1，点F是其左焦点，在椭圆上任

3627

取三个不同点P1,P2,P3使/RFP2/F2FP3/P3FP11200•

证明:

1

FPi

1

FP2

1

为定值，并求此定值.

FP3

解析：

以点F为极点建立极坐标系，则椭圆的极坐标方程为:

的极角为，则点P2与F3对应的极角分别为1200、

，设点P1对应

2cos

1200,P1、P2与P3的极径

就分别是|FP11

9

2cos

IFP2I

9

2cos（1200）

与|FP3|

1112cos

|fpJIFP2I|fp39

0

2cos（120）

9

0

2cos（120）

9

而在三角函

数的学习中，我们知道coscos（

1200）cos（1200）0,因此

1_1_1

FP1IFP2IFP3

I为定值

9

点睛：

极坐标分别表示|FP1|、|FP2|与|FP31，这样一个角度对应一个极径.就不会象解

，这就是极坐标

析几何那样，一个倾斜角，对应两个点，同时对应两条焦半径（极径）表示圆锥曲线的优点.

推广：

若放在抛物线和双曲线中是否成立呢

Xy2

例8（2006全国联赛江苏）椭圆1的右焦点为F,P,巳，…，P24为24个依逆

2516

时针顺序排列在椭圆上的点，其中P1是椭圆的右顶点，并且/RFF2=ZP2FPF/P3FPF…=/

P24FP1.若这24个点到右焦点的距离的倒数和为S,求S的值.

推广:

设^P2F^|||Pn是椭圆上的n个点，且卩只門門卄阡“圆周角等分则

2

i=1OR

也为定值

作业

（2003年希望杯竞赛题）

1（ab0）的焦点Fi作倾斜角为60°的直线和

椭圆相交于A,B两点，［ARI2|BF||.

（1）求椭圆的离心率e；

15

（2）若|AB|，求椭圆方程

4

戸+左=2芒