专题09 圆综合题中考数学母题题源系列第03篇原卷版.docx

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专题09圆综合题中考数学母题题源系列第03篇原卷版

【母题来源一】2017四川省内江市第27题

【母题原题】如图，在⊙O中，直径CD垂直于不过圆心O的弦AB，垂足为点N，连接AC，点E在AB上，且AE=CE．

（1）求证：

AC2=AE•AB；

（2）过点B作⊙O的切线交EC的延长线于点P，试判断PB与PE是否相等，并说明理由；

（3）设⊙O半径为4，点N为OC中点，点Q在⊙O上，求线段PQ的最小值．

【答案】

（1）证明见解析；

（2）PB=PE；（3）

．

【分析】

（1）证明△AEC∽△ACB，列比例式可得结论；

（2）如图2，证明∠PEB=∠COB=∠PBN，根据等角对等边可得：

PB=PE；

（3）如图3，先确定线段PQ的最小值时Q的位置：

因为OQ为半径，是定值4，则PQ+OQ的值最小时，PQ最小，当P、Q、O三点共线时，PQ最小，先求AE的长，从而得PB的长，最后利用勾股定理求OP的长，与半径的差就是PQ的最小值．

（2）PB=PE，理由是：

如图2，连接OB，∵PB为⊙O的切线，∴OB⊥PB，∴∠OBP=90°，∴∠PBN+∠OBN=90°，∵∠OBN+∠COB=90°，∴∠PBN=∠COB，∵∠PEB=∠A+∠ACE=2∠A，∠COB=2∠A，∴∠PEB=∠COB，∴∠PEB=∠PBN，∴PB=PE；

考点：

圆的综合题；最值问题；探究型；压轴题．

【名师点睛】本题是圆的综合题，考查了三角形相似的性质和判定、等腰三角形、等边三角形的性质和判定、垂径定理、切线的性质、勾股定理等知识，第三问有难度，确定PQ最小值时Q的位置是关键，根据两点之间线段最短，与勾股定理、方程相结合，解决问题．

【母题来源二】2017四川省成都市第20题

【母题原题】如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径作圆O，分别交BC于点D，交CA的延长线于点E，过点D作DH⊥AC于点H，连接DE交线段OA于点F．

（1）求证：

DH是圆O的切线；

（2）若A为EH的中点，求

的值；

（3）若EA=EF=1，求⊙O的半径．

【答案】

（1）证明见解析；

（2）

；（3）

．

【分析】

（1）根据同圆的半径相等和等边对等角证明：

∠ODB=∠OBD=∠ACB，则DH⊥OD，DH是圆O的切线；

（2）如图2，先证明∠E=∠B=∠C，则H是EC的中点，设AE=x，EC=4x，则AC=3x，由OD是△ABC的中位线，得：

OD=

AC=

，证明△AEF∽△ODF，列比例式可得结论；

（3）如图2，设⊙O的半径为r，即OD=OB=r，证明DF=OD=r，则DE=DF+EF=r+1，BD=CD=DE=r+1，证明△BFD∽△EFA，列比例式为：

，则

，求出r的值即可．

（3）如图2，设⊙O的半径为r，即OD=OB=r，∵EF=EA，∴∠EFA=∠EAF，∵OD∥EC，∴∠FOD=∠EAF，则∠FOD=∠EAF=∠EFA=∠OFD，∴DF=OD=r，∴DE=DF+EF=r+1，∴BD=CD=DE=r+1，在⊙O中，∵∠BDE=∠EAB，∴∠BFD=∠EFA=∠EAB=∠BDE，∴BF=BD，△BDF是等腰三角形，∴BF=BD=r+1，∴AF=AB﹣BF=2OB﹣BF=2r﹣（1+r）=r﹣1，在△BFD和△EFA中，∵∠BDF=∠EFA，∠B=∠E，∴△BFD∽△EFA，∴

，∴

，解得：

r1=

，r2=

（舍），综上所述，⊙O的半径为

．

考点：

圆的综合题；压轴题．

【名师点睛】本题是圆的综合题，考查了等腰三角形的性质和判定、切线的性质和判定、三角形的中位线、三角形相似的性质和判定、圆周角定理，第三问设圆的半径为r，根据等边对等角表示其它边长，利用比例列方程解决问题．

【命题意图】母题1考查了三角形相似的性质和判定、等腰三角形、等边三角形的性质和判定、垂径定理、切线的性质、勾股定理等知识；母题2考查了等腰三角形的性质和判定、切线的性质和判定、三角形的中位线、三角形相似的性质和判定、圆周角定理．

【方法、技巧、规律】判定切线的方法：

①连半径，证垂直；②作垂直，证半径．圆的综合题涉及知识点多，要善于把复杂图形分解为多个基本图形．